具有通信約束的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)LQG控制器設計

邵奇可，解　洋，張　江，洑佳紅

(浙江工業(yè)大學 計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310023)

具有通信約束的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)LQG控制器設計

邵奇可，解洋，張江，洑佳紅

(浙江工業(yè)大學 計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310023)

摘要：針對一類具有噪聲影響的通信受限多輸入、多輸出網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，利用非均勻采樣方式將其建模為一類集控制與調(diào)度為一體的網(wǎng)絡化控制模型，根據(jù)卡爾曼濾波器思想設計了最優(yōu)狀態(tài)估計器和最優(yōu)保性能輸出反饋控制器并在此基礎上給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.通過仿真驗證了所提算法的可行性.該設計方法特別適用于通信受限情況下，系統(tǒng)存在多種信號類型時，可方便的根據(jù)不同信號特征設置系統(tǒng)的采樣周期和調(diào)度周期，從而克服原離散周期性時變系統(tǒng)的控制器受通信序列周期性約束問題，避免多個控制器周期性切換，增加控制系統(tǒng)設計的自由度，提高系統(tǒng)動態(tài)重構能力和整體性能.

關鍵詞：網(wǎng)絡控制系統(tǒng)；通信受限；線性矩陣不等式；卡爾曼濾波；LQG最優(yōu)控制

中圖分類號：TP273

文獻標志碼：A

文章編號：1006-4303(2015)01-0103-07

LQG controller design for networked control systems with

communication constraints

SHAO Qike, XIE Yang, ZHANG Jiang, FU Jiahong

(College of Computer Science and Technology, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:The problem of LQG controller design for a class of MIMO networked control systems (NCSs) with limited communication and noise is studied in this paper. Firstly, a new network control model for the integration of control and scheduling is established by using non-uniform sampling method. Secondly, according to the design method of the Kalman filtering, an optimal state estimator based on the output value and the corresponding optimal guaranteed cost output feedback controller is proposed. An sufficient condition for asymptotic stability of the system is given. Finally, the simulation verifies the feasibility of the proposed algorithm.The design method is particularly applicable to the case under limited communication. When the system has a variety of signal types in the networked control systems, it will be convenient to set the sampling periods and scheduling periods according to the feature of each signal. It will overcome the problem of the controllers in original discrete periodically varying systems constrained periodically by communication sequence. It will avoid periodically switching among multiple controllers, increase the design freedom of control system, and improve the system dynamical reconfiguration capability and overall performance.

Keywords:networked control system; communication constraints; linear matrix inequalities; Kalman filtering; LQG optimal control

通過共享網(wǎng)絡形成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)稱為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)[1-3]，其中，傳感器，控制器，執(zhí)行器之間的信息傳輸是通過共享式數(shù)字網(wǎng)絡進行信息交換的.網(wǎng)絡的介入給控制系統(tǒng)帶來諸多的優(yōu)點，但同時也不可避免地給控制系統(tǒng)的設計和分析帶來更多的挑戰(zhàn).有限的帶寬，數(shù)據(jù)包的傳輸速率和長度以及介質(zhì)訪問控制協(xié)議等都會給網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的性能帶來影響[4].因此，傳統(tǒng)的設計方法已不再適用于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，需要探索新的設計方法.針對通信受限帶來的問題，現(xiàn)有的研究結果大致可分為以下幾類：第一類方法的主要思想是將網(wǎng)絡服務質(zhì)量(Quality of serviece，QoS)對系統(tǒng)控制性能(Quality of performance，QoP)的影響抽象為具有不同特性的時延、丟包等因素，忽略網(wǎng)絡的存在并按常規(guī)方法設計控制器[5-9].這類方法主要側重于NCSs中控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的保證，但不利于提高系統(tǒng)的總體性能.第二類則是從QoS角度出發(fā)研究調(diào)度策略，即從通信技術的角度研究合適的信息傳輸方式或帶寬配置策略等，確保事先設計好的控制算法的有效實施[10-11].這類方法將控制性能要求簡單定義為保證數(shù)據(jù)傳輸?shù)膶崟r性及可靠性，因而不能完全了解控制系統(tǒng)的總體性能[12].

以上方法為降低控制系統(tǒng)設計的復雜性，往往忽略控制器和調(diào)度器設計的耦合性，因而對于保證系統(tǒng)的總體性能尚存不足.第三類方法通過對NCSs中的控制與通信問題進行綜合考慮以解決這一問題，稱為控制與調(diào)度的協(xié)同設計方法[13-15].現(xiàn)有系統(tǒng)一般采用統(tǒng)一采樣頻率.然而，實際應用中諸多被控對象往往存在多種信號類型(如電機控制里同時具有溫度，轉速，電流等快變或慢變信號)及控制系統(tǒng)對不同信號量存在不同的控制要求.因此針對通信受限的多輸入、多輸出網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，根據(jù)其不同信號的不同特點，通過采用信號量非均勻采樣(Non-uniform sampled-data)[16-17]的方式將其建模為集成控制與調(diào)度為一體的離散周期性系統(tǒng).進而，根據(jù)Kalman濾波器思想設計了基于輸出值的最優(yōu)狀態(tài)估計器，并基于線性矩陣不等式方法給出了最優(yōu)保性能控制器的設計方法.

1通信受限NCSs模型

考慮一類通信受限的多輸入、多輸出網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，其系統(tǒng)結構如圖1所示.假設被控對象為具有m個輸入和r個輸出的離散線性時不變系統(tǒng)，可用狀態(tài)方程描述為

(1)

其中：T為系統(tǒng)采樣周期；x(kT)∈Rn，u(kT)∈Rm，y(kT)∈Rr分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入向量以及測量輸出向量；A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rr×n分別為適當維數(shù)的系數(shù)矩陣；過程噪聲ω(kT)，測量噪聲v(kT)服從高斯獨立同分布，且滿足ω(kT)～N(0,G)，v(kT)～N(0,Ir×r)，其中Ir×r為r×r維單位矩陣，G為n×n維正定矩陣.同時假定系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)滿足x(0)～N(x0,P0).

圖1　介質(zhì)訪問約束NCSs系統(tǒng)模型Fig.1　Diagram of NCSs with communication constraints

假設每個采樣周期內(nèi)，NCSs中僅有有限個節(jié)點能夠通過網(wǎng)絡傳輸數(shù)據(jù).如圖1中被控對象具有m個輸入和r個輸出，其中m個執(zhí)行器共享輸入通道，r個傳感器共享輸出通道，由于介質(zhì)訪問約束共享輸入通道數(shù)通常小于m個，而共享輸出通道數(shù)小于r個，即在每個采樣周期T內(nèi)，r個傳感器共享bs(1≤bs

1.1通信受限特性描述

為了給出通信受限的NCSs模型，首先給出如下定義：

定義1定義二值函數(shù)σβ(t)∈{0,1}(j∈1,2,…,m)和δα(t)∈{0,1}(i∈1,2,…,r)分別代表t時刻系統(tǒng)執(zhí)行器和傳感器的工作狀態(tài).若σj(t)=1，則表示第β路控制輸入uβ在t時刻被更新；否則，則表示uβ在t時刻不被更新.同理，若δα(t)=1，則表示第α路采樣輸出yα在t時刻能夠通過網(wǎng)絡傳輸至控制器；否則，則表示yα在t時刻不能傳輸至控制器.

根據(jù)定義2，3，此類通信受限NCSs的網(wǎng)絡資源約束條件可以表示為

?k1,k2,i∈[0,N1-1],j∈[0,N2-1],

(2)

舉例說明，令δ(t)=[1,1,0,1]T時，則

舉例說明，令σ(t)=[1,1,0,1]T時，則

1.2系統(tǒng)模型

采用提升技術[19]來推導系統(tǒng)模型，假設系統(tǒng)模型如式(1)所示，令N為更新序列周期N1和采樣序列周期N2的最小公倍數(shù)，即

N=LCM(N1,N2)

同時，令T0=NT，則T0為幀周期，即整個系統(tǒng)的循環(huán)周期.

由式(1)可得，在不考慮噪聲的情況下可得離散化模型，即

同理，遞推可得

依此類推，可得

令系統(tǒng)的控制輸入向量、測量輸出向量的增廣形式分別為

同理，分別令控制器輸入向量和輸出向量的增廣形式分別為

(3)

(4)

其中：

(5)

其中：

Ar=AN，Br=[AN-1B…ABB]

2系統(tǒng)LQG控制器設計

最優(yōu)LQG控制器的具體結構見圖2.考慮被控對象的過程干擾和測量干擾，系統(tǒng)控制器的設計可分為兩步：

圖2　具有LQG控制器的NCSs結構圖Fig.2　Diagram of NCSs with LQG controller

2.1狀態(tài)估計器設計

假設濾波器的估計狀態(tài)形式為

(6)

(7)

將式(7)兩端取期望值，可得

(8)

定義狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差為

(9)

根據(jù)式(7~9)可得

(10)

極小化這個協(xié)方差矩陣可得到最優(yōu)的增益矩陣和協(xié)方差矩陣分別為

(11)

(12)

綜上所述，由式(6，11，12)構成了系統(tǒng)的狀態(tài)估計算法.

2.2最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器

為求解控制器增益K，可以考慮式(5)所對應確定系統(tǒng)的LQG問題，即不考慮噪聲干擾的情況.假設沒有噪聲干擾的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

(13)

設系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為

(14)

同時，考慮控制器設計的性能指標為

(15)

其中：Q和R分別為已知的正定加權矩陣.

引理1[20]對于式(13，15)，存在對稱正定矩陣P>0和矩陣K，使以下矩陣不等式成立時，即

(16)

定理1當且僅當存在矩陣Y和對稱正定矩陣X>0，使得以下線性矩陣不等式成立時，即

(17)

證明由引理1可知：當式(16)成立時，式(13)存在一個保性能控制器.根據(jù)Schur補性質(zhì)可知式(16)等價于

(18)

在式(18)的左右兩端分別乘上矩陣diag{P-1,I,I,I}，并取X=P-1，Y=KP-1即可得到矩陣不等式(17).定理得證.

式(17)是關于變量X和Y的一個線性矩陣不等式，因此可以利用LMI工具箱中的求解器feasp來求解此線性矩陣不等式的可行性問題，并利用得到的可行解來構造所求的二次保性能控制律.

定理2對給定的式(13，15)，有

(19)

針對一個存在通信受限的多輸入多輸出被控對象設計輸出反饋LQG控制器的主要步驟如下：

Step 1在滿足約束條件的前提下，選擇適當?shù)牟蓸有蛄泻透滦蛄幸员ＷC系統(tǒng)的能控性和能觀性不變.

Step 2根據(jù)式(5)確定系統(tǒng)增廣狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣.

Step 4根據(jù)定理2，利用LMI工具箱中的求解器mincx求解線性矩陣不等式(19)，得到狀態(tài)反饋控制器式(14)的增益矩陣K.

3仿真結果

考慮一個控制系統(tǒng)，其離散狀態(tài)空間模型為

下面分別考慮在兩種不同的調(diào)度策略下，系統(tǒng)控制性能指標的變化.

1) 根據(jù)約束條件選取以下更新序列和采樣序列，即

其中更新序列周期Tu等于采樣序列周期Ty，即N1=N2=2，則系統(tǒng)的幀周期T0=2T.

圖4　狀態(tài)估計誤差曲線Fig.4　The error curves of the state estimation

圖5　系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.5　The state response curves

2) 同理，根據(jù)約束條件選取以下更新序列和采樣序列為

{[1,0]T,[1,0]T,[0,1]T}

{[1,0]T,[1,0]T,[0,1]T}

圖6　狀態(tài)估計誤差曲線Fig.6　The error curves of the state estimation

圖7　系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.7　The state response curves

從仿真結果可以看出：對于相同通信通道約束條件，選擇不同的調(diào)度策略，可以得到不同的系統(tǒng)性能指標.因此，調(diào)度策略的選取同樣能夠影響系統(tǒng)的性能.

4結論

針對通信受限的多輸入、多輸出網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，研究了LQG控制器的設計問題，分析了由于網(wǎng)絡受限給系統(tǒng)建模帶來的影響.采用提升技術建立了通信受限NCSs的增廣狀態(tài)空間模型，此模型集成了調(diào)度信息，并同時保持了原被控對象的時不變性質(zhì)，為控制器分析提供了方便.接著，根據(jù)輸出值設計了基于Kalman濾波思想的狀態(tài)估計器以提供狀態(tài)估計最優(yōu)值，利用LMI分析了系統(tǒng)保性能控制器的設計方法.該方法特別適用于被控對象存在不同類型控制信號的情況下，可方便地針對不同信號的特征設計相應的采樣頻率和通信序列，其控制設計的自由度和動態(tài)重構能力都能有效提高，而且更方便系統(tǒng)采樣周期調(diào)度和工程化實施.

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(責任編輯：劉巖)

作者簡介：邵奇可(1977—)，男，浙江舟山人，副教授，博士，研究方向為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，E-mail：sqk@zjut.edu.cn.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61104095)

收稿日期：2014-10-24