邊界Logistic 違約模型的經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計方法及其應(yīng)用

侯瑞環(huán)，蘇佳琳，原星星

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系，四川 成都 610031)

在商業(yè)銀行信用風(fēng)險管理中，違約概率是指借款人在未來一定時期內(nèi)不能按合同要求償還銀行貸款本息或履行相關(guān)義務(wù)的可能性.早期關(guān)于違約概率模型的研究主要以線性判別為主，在線性判別模型中，Beaver 的單變量模型及Altman的多元模型影響最廣.在度量企業(yè)信用風(fēng)險時企業(yè)是否違約是一個兩分類變量，作為兩分類因變量的信用狀況的概率取值在0 ～1，但在線性模型條件下，不能保證自變量在各種組合下，因變量的取值仍在0 ～1;可通過對因變量作Logist 轉(zhuǎn)換來解決這一問題.就目前而言，建立違約概率模型的有效與主流方法為Logistic 方法.然而Cramer 研究發(fā)現(xiàn)，對于貸款違約率的建模用一般的Logistic 模型無法有效解決［1］.換言之，就是一般的Logistic 模型不能夠很好解決在H -L 檢驗(yàn)中所反映出的Cramer 問題.為了解決這一問題，Cramer 提出了邊界Logistic 模型，但并未對邊界Logistic 模型優(yōu)于一般Logistic 模型的原因做理論分析.石小軍等［2-4］分析了這種原因，并發(fā)現(xiàn)邊界Logistic 模型不僅能克服Cramer 問題，而且對臨界值不敏感，模型的預(yù)測效率也較好.然而，對邊界Logistic 模型的參數(shù)估計研究較少，主要是運(yùn)用極大似然估計解決.

經(jīng)驗(yàn)似然是Owen［5-6］在完全樣本下提出的一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法，它有類似于bootstrap的抽樣特性.這種思想是由 Thomas＆Grun kemeier［7］提出，并在隨機(jī)刪失下發(fā)展非參數(shù)似然比方法構(gòu)造生存概率置信區(qū)間.Owen將這一思想方法應(yīng)用到完全獨(dú)立同分布樣本下總體均值的統(tǒng)計推斷.然而，相比經(jīng)典現(xiàn)代統(tǒng)計方法，用經(jīng)驗(yàn)似然法構(gòu)造的置信區(qū)間有域保持性、變換不變性、Bartlett 糾偏性等突出優(yōu)點(diǎn).近年來，一些統(tǒng)計學(xué)家又將經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用到不完全數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，發(fā)展了所謂的被估計的經(jīng)驗(yàn)似然，調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)似然及bootstrap 經(jīng)驗(yàn)似然.在數(shù)據(jù)分布已知與數(shù)據(jù)不缺失的情況下，經(jīng)驗(yàn)似然估計法對參數(shù)的估計顯得沒有參數(shù)估計那么高效.實(shí)踐中數(shù)據(jù)通常受到不同程度的破壞，這種破壞主要表現(xiàn)在:隨機(jī)刪失、測量誤差及數(shù)據(jù)丟失.Owen在完全樣本下的經(jīng)驗(yàn)似然方法被一些學(xué)者基于這3 類被破壞數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計推斷的推廣［8-11］.本文在石小軍等的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論邊界Logistic 模型的參數(shù)估計，并利用經(jīng)驗(yàn)似然方法給出參數(shù)的一種極大經(jīng)驗(yàn)似然估計，最后通過實(shí)證分析，進(jìn)一步說明這種估計方法得到參數(shù)的可靠性.

1 經(jīng)驗(yàn)似然及模型參數(shù)估計

1.1 經(jīng)驗(yàn)似然

經(jīng)驗(yàn)似然的方法最早由Owen 提出.這種方法在構(gòu)造參數(shù)置信區(qū)域方面有著突出的優(yōu)點(diǎn).設(shè)X1，X2…，是來自于Rp(p ≥1)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F，在這里無需知道F 的具體參數(shù)形式，可以通過一個r 維獨(dú)立估計函數(shù)

對參數(shù)θ 進(jìn)行估計，并由Qin＆Lawless 給出了如下估計方程［12］:

EF與θ0表示關(guān)于分布F 的數(shù)學(xué)期望和參數(shù)θ 的真實(shí)值，通常也將上述估計方程稱為矩條件方程.

Owen 給出經(jīng)驗(yàn)似然方程，定義為

其中pi= pr(X = xi).在條件(1)下經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)為

同時Owen 與Qin＆Lawless 指出，當(dāng)

時，上述經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)LE(θ)有唯一值:

其中t 與θ 和n 有關(guān)，并且可通過方程

確定t.

1.2 邊界Logistic 模型的極大經(jīng)驗(yàn)似然估計

Cramer 給出邊界Logistic 模型為:

其中ω 為［0，1］之間的任意常數(shù)，稱為違約邊界.Xi是第i 個自變量值，β 為一個包含截距項(xiàng)的系數(shù)向量，對于模型(2):

其中設(shè)Z = XTiβ，則

參數(shù)β 的參數(shù)似然為:

對數(shù)似然為:

對上式求關(guān)于β 的導(dǎo)數(shù)得到估計方程為:

在這里

由此(5)式估計方程可簡化為

ω ∈［0，1］為任意常數(shù)，故而(6)式也可表示為

因此，邊界Logistic 模型的經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)為:

這里估計函數(shù)

可根據(jù)(7)式得到參數(shù)β 與ω 的極大經(jīng)驗(yàn)似然估計方法，即參數(shù)θ 的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然函數(shù)為:

其中θ = (ω，βT)T∈Θ 的參數(shù)向量，

假設(shè)t 與θ 相互獨(dú)立，類似于丁先文等［13］對Logistic模型基于檢驗(yàn)似然估計的方法，可定義:

t 與上文一樣，都與n 和θ = (ω，βT)T∈Θ 有關(guān).

顯然，參數(shù)θ = (ω，βT)T∈Θ 極大經(jīng)驗(yàn)似然估計和t 的估計為下列方程組

的解，其中

由此可以得到邊界Logistic 模型參數(shù)β 與ω 的極大經(jīng)驗(yàn)似然估計^β 和^ω.

2 實(shí)證分析

2.1 樣本與指標(biāo)

本文選用2012年第一至第四季度40 家房地產(chǎn)行業(yè)上市公司的主要財務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究.其中有20 家公司的每股收益大于零，認(rèn)為其為正常運(yùn)行公司，定義其信用度為1.另外20 家公司每股收益小于零，為違約公司，定義其信用度為0.模型樣本包括了這一年的總資產(chǎn)利潤率、流動比率、存貨周轉(zhuǎn)率等12 個指標(biāo)(見表1)，并且采用參數(shù)兩獨(dú)立樣本T 檢驗(yàn)和非參數(shù)的K -W 檢驗(yàn)對指標(biāo)變量進(jìn)行分析，分析結(jié)果見表2與表3.由于指標(biāo)之間存在線性或非線性關(guān)系，通過因子分析方法消除多重共線性，分析結(jié)果見表4.由因子分析的總方差解釋表可知，變量相關(guān)矩陣的前3 個因子的特征值大于1，它們一起解釋了總方差的87.81﹪.最終選出3 個因子來研究房地產(chǎn)上市公司的信用風(fēng)險.

表1 銀行對房地產(chǎn)客戶信用評級五大指標(biāo)

表2 兩獨(dú)立樣本T-檢驗(yàn)結(jié)果

表3 兩獨(dú)立樣本K-W 檢驗(yàn)結(jié)果

通過T 檢驗(yàn)和K-W 檢驗(yàn)的結(jié)果可知，所有指標(biāo)中顯著的指標(biāo)有每股收益、總資產(chǎn)利潤率、股本報酬率、總資產(chǎn)增長率、主營業(yè)務(wù)增長率、凈資產(chǎn)增長率、總資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率、流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率、經(jīng)營現(xiàn)金流對負(fù)債比率以及現(xiàn)金流量比率.這也表明上市公司在這幾個指標(biāo)正常時就可以避免或很少出現(xiàn)違約現(xiàn)象.

表4 因子分析結(jié)果

2.2 估計結(jié)果

利用R 軟件求解出邊界Logistic 的極大經(jīng)驗(yàn)似然非線性方程組，得到各參數(shù)的估計結(jié)果，見表5.

表5 邊界Logistic 模型系數(shù)估計結(jié)果

因此，邊界Logistic 違約率模型為:

有x1，x2，x33 個指標(biāo)最終進(jìn)入模型.由此看出企業(yè)的凈利潤、盈利能力、營運(yùn)能力以及成長能力對房地產(chǎn)行業(yè)信用風(fēng)險的影響較大，其中影響最大的是企業(yè)的成長能力.也就是說，在房地產(chǎn)行業(yè)里，成長能力強(qiáng)的企業(yè)會有很大的獲利空間，從而也較大幅度地降低對投資者產(chǎn)生違約的危險.

再利用這個邊界Logistic 違約模型計算出樣本的違約率，并得到違約率分布，如圖1.

圖1 邊界Logistic 違約模型的檢驗(yàn)樣本違約率分布圖

3 結(jié)果分析與討論

(1)邊界Logistic 違約模型計算出的違約率剔除了灰色區(qū)域，能夠很好觀測出上市公司違約與否.

(2)邊界Logistic 違約模型的系數(shù)估計除了極大似然估計方法，也可以利用經(jīng)驗(yàn)極大似然估計求解，二者的估計結(jié)果差不多，但經(jīng)驗(yàn)極大似然法對數(shù)據(jù)的分布不做任何要求.

(3)除了Cramer 問題，同樣可以研究其對臨界點(diǎn)的穩(wěn)定性，也可以在文章找到邊界Logistic違約模型對臨界點(diǎn)更穩(wěn)定的依據(jù)(見圖1).

(4)本文僅僅利用經(jīng)驗(yàn)極大似然估計方法研究了邊界Logistic 違約率模型的參數(shù)估計，同樣也可以立足于經(jīng)驗(yàn)似然對估計參數(shù)嘗試給出區(qū)間估計.

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