基于ARIMA模型對(duì)恒生指數(shù)的實(shí)證分析

祁筠超

摘 要：恒生指數(shù)由恒生指數(shù)服務(wù)有限公司負(fù)責(zé)計(jì)算及發(fā)布，于1969年1月24日正式公開發(fā)布。其自推出以來， 一直被廣泛視為香港股票市場(chǎng)乃至整個(gè)香港經(jīng)濟(jì)發(fā)展的指標(biāo)。而作為一個(gè)重要的離岸金融市場(chǎng)，香港的經(jīng)濟(jì)一直倍受關(guān)注。對(duì)此，文章選用經(jīng)典時(shí)間序列模型ARIMA模型對(duì)2012年5月1日起，到2014年5月31日共兩年105個(gè)周數(shù)據(jù)，利用SAS軟件進(jìn)行時(shí)間序列分析，并基于擬合結(jié)果ARIMA（0，2，1）對(duì)恒生指數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的短期預(yù)測(cè)，從而為進(jìn)一步分析未來股市的發(fā)展變化提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：ARIMA模型 恒生指數(shù)（HSI） SAS 實(shí)證分析

中圖分類號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2014）08-108-03

一、恒生指數(shù)

（一）恒生指數(shù)概念

恒生指數(shù)是以香港股票市場(chǎng)中的33家上市股票為成分股樣本，以其發(fā)行量為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均股價(jià)指數(shù)。該指數(shù)由香港恒生銀行全資附屬的恒生指數(shù)服務(wù)有限公司編制并發(fā)布，于1969年11月24日首次公開發(fā)布，基期為1964年7月31日，基期指數(shù)定為100。恒生指數(shù)是香港股市價(jià)格的重要指標(biāo)，指數(shù)共有若干只成份股（即藍(lán)籌股）市值計(jì)算出來的，代表了香港交易所所有上市公司的70%市值。

1985年1月2日，恒生指數(shù)增加4只分類指數(shù)，把33只成份股以行業(yè)分為4個(gè)分類：

恒生金融分類指數(shù)

恒生公用事業(yè)分類指數(shù)

恒生地產(chǎn)分類指數(shù)

恒生工商業(yè)分類指數(shù)

（二）計(jì)算方法

今日恒生指數(shù)的計(jì)算公式如下：

Current Index= ×Yesterdays Closing Index

其中，

Current Index：現(xiàn)時(shí)指數(shù)

Yesterday's Closing Index：上日收市指數(shù)

P（t）：現(xiàn)時(shí)股價(jià)

P（t-1）：上日收市股價(jià)

IS：已發(fā)行股票數(shù)量

FAF：流通系數(shù)

CF：比重上限系數(shù)

四個(gè)分類指數(shù)的計(jì)算方法及公式與恒生指數(shù)相同。

（三）選股原則

恒生指數(shù)成份股的選取原則如下：

1.按股票市值大小選擇，必須屬于占聯(lián)交所所有上市普通股份總市值90%的排榜股票之列（市值指過去12個(gè)月的平均值）。

2.按成交額大小選擇，必須屬于占聯(lián)交所上市所有普通股份成交額90%的排榜股票之列（成交額乃指過去24個(gè)月的成交總額）。

3.必須在聯(lián)交所上市滿24個(gè)月以上。

根據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)初選出合格股票后，再按以下準(zhǔn)則最終選定樣本股：

（1）公司市值及成交額之排名。

（2）四個(gè)分類指數(shù)在恒生指數(shù)內(nèi)各占的比重需大體反映市場(chǎng)情況。

（3）公司在香港有龐大業(yè)務(wù)。

（4）公司的財(cái)政狀況。

二、ARIMA（p，d，q）的建立

（一）AR（p）模型

AR（p）模型稱為p階自回歸（auto regression）模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Xt=фu+ф1Xt-1+ф2Xt-2+…+фpXt-p+εt

其中，фp/0且隨即干擾序列{εt}為零均值白噪聲序列。AR（p）模型說明序列當(dāng)前值是由此前p項(xiàng)的序列值與當(dāng)前隨機(jī)干擾項(xiàng)共同影響形成的。

（二）MA（q）模型

MA（q）模型稱為q階移動(dòng)平均（moving average）模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Xt=μ+εt-θ1εt-1-θ2εt-1-…-θqεt-p

其中，θq/0且隨即干擾序列{εt}為零均值白噪聲序列。MA（q）模型說明序列當(dāng)前值是由此前q項(xiàng)的隨即干擾項(xiàng)與當(dāng)前隨機(jī)干擾項(xiàng)共同影響形成的。

（三）ARMA（p，q）模型

ARMA（p，q）模型稱為自回歸移動(dòng)平均（auto regression moving average）模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Xt=фu+ф1Xt-1+ф2Xt-2+…+фpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-1-…-θqεt-p

事實(shí)上，AR（p）模型和MA（q）模型均為ARMA（p，q）模型的特例。ARMA（p，q）模型為AR（p）模型和MA（q）模型的有機(jī)結(jié)合。

（四）ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA（p，d，q）模型稱為求和自回歸移動(dòng)平均（autoregressive integrated moving average）模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

ф（B）VdXt=θ（B）εt

其中，Vd=（1-B），ф（B）為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，θ（B）為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式。

可以看出，ARIMA模型的實(shí)質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合，故我們可以對(duì)差分平穩(wěn)序列進(jìn)行ARMA擬合。

（五）ARIMA（p，d，q）模型的建立步驟

利用ARIMA模型對(duì)觀察序列建模遵循以下步驟：

1.獲得觀察值序列：本文采用恒生指數(shù)2012年5月1日-2014年5月31日，數(shù)據(jù)來自網(wǎng)絡(luò)。

2.判斷序列平穩(wěn)性：對(duì)原始數(shù)列做時(shí)序圖，直觀判定原序列平穩(wěn)性。

3.對(duì)原序列進(jìn)行差分運(yùn)算，并對(duì)差分后的序列做其自相關(guān)圖，進(jìn)一步判斷平穩(wěn)性。

4.對(duì)平穩(wěn)差分序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，確認(rèn)差分序列還蘊(yùn)涵不容忽視的相關(guān)信息可供提取。endprint

5.對(duì)平穩(wěn)的非白噪聲差分序列擬合ARMA模型，根據(jù)序列自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖選擇合適的ARMA模型，利用條件最小二乘估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。

6.根據(jù)AIC、SBC準(zhǔn)則對(duì)擬合的ARMA模型進(jìn)行優(yōu)化。

7.根據(jù)最終選定的ARMA模型進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

三、對(duì)恒生指數(shù)的實(shí)證分析

（一）HSI原始數(shù)據(jù)的時(shí)序圖

利用SAS軟件gplot過程步做恒生指數(shù)周數(shù)據(jù)時(shí)序圖如下：

（二）對(duì)HSI原始數(shù)據(jù)做差分運(yùn)算，并判斷其平穩(wěn)性

對(duì)原始數(shù)據(jù)做二階差分，結(jié)果如下圖：

時(shí)序圖沒有明顯的非平穩(wěn)特征，進(jìn)一步考察其自相關(guān)圖及偏自相關(guān)圖，結(jié)果如下：

根據(jù)自相關(guān)圖及偏自相關(guān)圖判定，差分后的序列平穩(wěn)，可以選取ARMA模型進(jìn)行擬合。

根據(jù)自相關(guān)系數(shù)一階截尾，偏自相關(guān)系數(shù)拖尾的特點(diǎn)將模型定為MA（1）模型。

（三）利用條件最小二乘法擬合模型

利用條件最小二乘法擬合MA（1）模型，結(jié)果如下圖：

可以看出，模型整體顯著，可以較好地?cái)M合原序列。

其最后模型為：

輸出結(jié)果顯示，序列的擬合模型為ARIMA（0，2，1）模型。

（四）利用AIC、SBC法則優(yōu)化模型

AIC、SBC法則是常用的判定模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，其數(shù)值越小，模型精確度越高，利用SAS軟件結(jié)果如下：

可以看出，MA（1）模型已為最優(yōu)模型。

（五）利用模型進(jìn)行短期預(yù)測(cè)

利用模型做4期（未來一月）預(yù)測(cè)，結(jié)果如下：

四、結(jié)論

本文對(duì)恒生指數(shù)采用了時(shí)間序列分析法，以2012年5月1日到2014年5月31日的周恒生指數(shù)收盤價(jià)格為數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究，得出如下近似關(guān)系：

Xt=εt-0.92814εt-1

上式表明了各恒生指數(shù)間的定量關(guān)系，并可利用它對(duì)恒生指數(shù)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，并為進(jìn)一步分析未來股市的變化發(fā)展提供了借鑒。

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（作者單位：湖南大學(xué) 湖南長(zhǎng)沙 410079）

（責(zé)編：賈偉）endprint