(3+1)維YTSF方程的對稱約化、精確解和守恒律

于金倩，明清河

(棗莊學(xué)院a.信息科學(xué)與工程學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊277160)

(3+1)維YTSF方程的對稱約化、精確解和守恒律

于金倩a，明清河b

(棗莊學(xué)院a.信息科學(xué)與工程學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊277160)

在本文中通過直接對稱法，得到了(3+1)維YTSF方程的對稱，群不變解，相似約化和新精確解，其中新解包括有理解，雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)周期解.最后運(yùn)用共軛方程得到了(3+1)維YTSF方程的無窮守恒定律.

YTSF方程;直接對稱法;相似約化;精確解;守恒律①

0 引言

因?yàn)檎嬲奈锢頃r(shí)空是(3+1)維的并且有關(guān)(3+1)維可積模型的理論還沒有很充分，所以，尋找(3+1)維可積或非可積模型，并研究它們是非常重要并且有意義的.

近期，Yu et a1把Bogoyavlenskii Schif方程

擴(kuò)展成一個(gè)新的(3+1)維非線性發(fā)展方程

方程(2)被叫做(3+1)維YTSF方程，為了方便研究方程(2)，在本文中，我們做如下變換，令w=ux，可得如下方程

其中u=u(x，y，z，t)，ux=.對于方程(3)已經(jīng)有幾位作者研究過，并求得了一些行波解或精確解［1-4］.

本文的結(jié)構(gòu)如下:在第二部分列出的是方程的對稱和直接對稱方法得到的方程的群不變解.在第三部分，我們利用對稱對YTSF方程進(jìn)行約化，使其降為更低維的偏微分方程.方程的一些新的精確解在第四部分給出.第五我們給出了YTSF方程的無窮守恒律.最后部分是一個(gè)簡短的總結(jié).

1 YTSF方程的對稱群和群不變解

對于一個(gè)非線性發(fā)展方程

F(t，x，y，z，u，ux，....)=0，(4)

如果函數(shù)σ滿足

F'(u)σ=0，(5)

則稱函數(shù)σ為方程(4)的一個(gè)對稱.對于方程(4)的所有解u，滿足下式

由方程(5)可得方程(3)的對稱滿足下式

-σtx+σxxxz+4σxuxz+4uxσxz+2σxxuz+2uxxσz+3σyy=0.(6)

令σ=aut+bux+cuy+duz+eu+k，(7)

其中a，b，c，d，e和k是x，y，z和t的函數(shù).

把(7)代入(6)，我們可以得到一些決定方程，解這些決定方程我們可得到

由方程(8)，我們可得到方程(3)的對稱如下:

其中ci(i=1，2，3)是任意常數(shù)，F(xiàn)i(i=1，2，3，4，5)是關(guān)于t的任意函數(shù).

為了能從已知解得到新解，我們需要從相關(guān)的對稱中找到李對稱群，由微分方程組

得到李對稱群，其中ε是一個(gè)參數(shù).這樣我們就可以得到由Vi所產(chǎn)生的一組參數(shù)群Gi形式如下:

根據(jù)參數(shù)群，我們可以得到方程(3)的不變?nèi)喝缦?

其中ε是一個(gè)參數(shù)，f(t，x，y，z)是方程(3)的解.

2 YTSF方程的對稱約化

為了求出方程(3)的相似約化和精確解，利用方程(3)和σ=0的相容性，可得方程(3)的對稱所對應(yīng)的特征方程如下:

運(yùn)用方程(10)，我們可尋求方程(3)的對稱約化和相似解，考慮如下情況:

情況(1)c1=1，ci=0，F(xiàn)j=0，(i=2，3，j=1，..5)

則σ=tut-xux+3zuz-u，解偏微分方程σ=0，得

u=U(ξ，η，τ)t，其中ξ=xt，η=y，τ=zt-3，

將其代入方程(3)，得到約化方程如下:

3τUξτ-ξUξξ-2Uξ+Uξξξτ+2UξξUτ+4UξUξτ+3Uηη=0(11)

情況(2)c3=1，ci=0，F(xiàn)j=0，(i=1，3，j=1，..5)

在這種情況下，得到方程(3)的解u如下

u=U(ξ，η，τ)y-2，ξ=xy-2，η=zy4，τ=t且U(ξ，η，τ)滿足

Uξξξη-Uξτ+4UξUξη+2UξξUη+12ξUξξ-48ξηUξη+42ξUξ+48η2Uηη-12ηUη+18U=0 (12)

情況(3)F1≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=2，3，4，5，i=1，2，3)

得到解u的表達(dá)式如下:

情況(4)F2≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=1，3，4，5，i=1，2，3)

由σ=0，得到方程(3)的相似解如下:

其中ξ=x，η=y，τ=t，將其代入方程(3)，可得約化方程為

情況(5)F3≠0，F(xiàn)i=0，cj=0，(i=1，2，4，5，i=1，2，3)

在這種情況下，可得

情況(6)c2≠0，F(xiàn)3≠0，F(xiàn)4≠0，F(xiàn)5≠0，c1=c3=F1=F2=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(16)

情況(7)c1≠0，F(xiàn)4≠0，F(xiàn)5≠0，c2=c3=F1=F2=F3=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

2Uξ-ξUξξ+3τUξτ+UUξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0(17)

情況(8)c2≠0，c3≠0，c1=Fi=0，(i=1，...，5)

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

4c3Uξ+2c3ξUξξ+c3ηUξη-4c3τUξτ+c2Uξξξτ+4c2UξUξτ+2c2UξξUτ+3c2Uηη=0 (18)

情況(9)F1(t)=b，F(xiàn)2(t)=c，F(xiàn)3(t)=a，F(xiàn)5(t)≠0，c1=c2=c3=0

在這種情況下，可得群不變解ξ，η，τ和解u的形式如下:

代入方程(3)，可得約化方程

3 YTSF方程的精確解

由于求解(3+1)維偏微分方程是很困難的，我們可以通過尋求約化方程的解來求得原方程的解.在這一部分，我們考慮情況(6)和(9)，通過求解情況(6)和(9)的約化方程，得到原方程的新精確解.

3.1約化方程為Uξξξτ+4UξUξτ+2UξξUτ+3Uηη=0時(shí).

作變換δ=kξ+lη+mτ，其中k，l，m是任意常數(shù)，通過對δ積分兩次方程(16)可寫成如下形式:

令U'=f，則方程(20)變?yōu)?/p>

其中k3=-，k2=-，k1和k0是可積常數(shù).

(I)當(dāng)k0=k1=0，k2＞0時(shí)，方程(21)有種鐘形孤立子解

f=-，于是可得U=-+C0，

則方程(3)的解為

其中k3=-，k2=-，C0為可積常數(shù).

(II)當(dāng)k0=k1=0，k2＜0時(shí)，方程(21)有種三角函數(shù)解

此時(shí)方程(3)的解為

其中k3=-，k2=-，C1是一個(gè)可積常數(shù).

(III)當(dāng)k0=k1=k2=0時(shí)，方程(21)有種有理解

可得方程(3)的解如下

其中k3=-，C2是一個(gè)可積常數(shù).

(IV)當(dāng)k2=0，k3＞0時(shí)，方程(21)有Weierstrass橢圓函數(shù)雙周期解f=(δ，g2，g3)，可得U=(δ，g2，g3)dδ+C3，

可得方程(3)的解如下

其中δ=kξ+lη+mτ，g2=-，g

3=-，C3為可積常數(shù).

1.因此方程(22)具有下述形式的解，

其中G(δ)滿足下面的二階線性常微分方程

G″(δ)+λG'(δ)+μG(δ)=0，(24)

a1=2k，其中a0為任意常數(shù).

通過方程(19)和(23)，我們可以得到方程(3)的三種類型的行波解

4 YTSF方程的守恒律

在本節(jié)，我們將通過YTSF方程的共軛方程和對稱來研究它的守恒律，共軛方程有下述形式

F=2vxxuz+4vxuxz-vxt+4vxzux+2vzuxx+3vyy+vxxxz=0(25)

拉氏量函數(shù)L=v(-uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz+3uyy)

=vxut-vzuxxx-4vxuxuz-2vuxxuz+3vuyy

定理1每個(gè)李點(diǎn)對稱，李貝克隆變換和方程(3)的對稱都給出了(3)和共軛方程的一個(gè)守恒律.并且守恒向量(C1，C2，C3，C4)由下式表達(dá)式確定

利用定理1和公式(26)，計(jì)算方程的守恒律可得

C1=3vtuyy-tvzuxxx-4tvxuxuz-2tvuxxuz-uvx-xuxvx-yuyvx+zuzvy

C2=(u+tut+xux+yuy-zuz)(2vxuz-2vuxz+vxxz)+vz(3uxx+tuxxt+xuxxx+yuxxy-zuxxz)-(vxz-2vuz)(2ux+tuxt+xuxx+yuxy-zuxz)+(v-tvt-xvx-yvy+zvz)(ut-4uxuz)

C3=3vy(u+tut+xux+yuy-zuz)-3v(2uy+tuty+xuxy+yuyy-zuzy)

C4=(4vxux+2vuxx)(u+tut+xux+yuy-zuz)+uxxx(v+tvt+xvx+yvy-zvz)

其中Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)+Dz(C4)=0.

5 結(jié)論

本文通過直接對稱法，得到了YTSF方程的對稱，同時(shí)獲得了群不變解，相似約化.并通過求解約化方程，得到原方程的一些新的精確解.最后利用對稱和共軛方程得到Y(jié)TSF方程的無窮多守恒律.

［1］Wazwaz.A.M.Multiple-soliton solutions for the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff，Jimbo-Miwa and YTSFequations［J］，Applied Mathematics and Computation，2008，203:592-597.

［2］Zhang T.X，Xuan H.N，Zhang D.F.Non-travelling solutions to a(3+1)-dimensional potential-YTSF equation and a simplified model for reacting mixturea［J］.Chaos.Solitions and Fractals，2007，34:1006-1013.

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［4］an.Z.Y.New families of non-travelling wave solutions to a new(3+1)-dimensional potential-YTSF equation［J］.PhysICS.Letters A.2003，318:78-83.

［責(zé)任編輯:閆昕］

Symmetry Reductions，Exact Solutions and Conservation Laws to (3+1)-Dimensional YTSF Equation

YU Jin-qiana，MING Qing-heb
(a.College of Information Science and Engineering，b.School of Mathematics and Statistics，Zaozhuang University，Zaozhuang 277160，China)

In this paper，we obtain symmetries，group invariant solutions，similarity reductions and new exact solutions to the (3+1)-dimensional YTSF equation by using direct symmetry method，including rational solutions，hyperbolic function solutions，and triangular periodic solutions.We also find infinite conservation laws of the(3+1)-dimensional YTSF equation by applied adjoint equation.

YTSF equation;direct symmetry method;similarity reductions;exact solutions;conservation laws

O175.29

A

1004-7077(2015)02-0049-06

2015-01-10

國家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號:11101357);山東省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號:ZR2011AL006).

于金倩(1985-)，女，山東聊城人，棗莊學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院助教，理學(xué)碩士，主要從事偏微分方程發(fā)展及應(yīng)用的研究.明清河(1964-)，男，山東滕州人，棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)方法論、非線性規(guī)劃的研究.