立體幾何課堂教學(xué)中模型應(yīng)用的思考和探索

邵鵬菲

立體幾何是高中數(shù)學(xué)較有特色的一個(gè)部分，是學(xué)生第一次較為系統(tǒng)和全面地學(xué)習(xí)三維空間的知識(shí)，不僅是對(duì)初中所學(xué)的平面幾何的延伸，也是為他們今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，這部分內(nèi)容在高考中也占有一定的比重，因此教師在進(jìn)行這部分的教學(xué)時(shí)較為細(xì)致。其中“異面直線所成角”這一小節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求中明確文理科都必須掌握的，可謂是重中之重。

在我初次接觸立體幾何教學(xué)時(shí)，我注意到教材中在介紹了異面直線所成角的定義之后，給出了下面這個(gè)非?；A(chǔ)的例題：

【例】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求下列異面直線所成角的大小：

（1）AB與B1C1；（2）A1B與CC1；（3）AB1與BC1

作為如此重要的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，當(dāng)時(shí)的我覺得僅給出這樣一個(gè)例題太過簡(jiǎn)單。正方體是學(xué)生較為熟悉的一種幾何體，也是比較特殊的幾何體，即使學(xué)生會(huì)在正方體中求異面直線所成角，那在其他幾何體中，他們是否還會(huì)呢？何況在配套的練習(xí)中，的確出現(xiàn)了很多在普通棱柱、棱錐中求異面直線所成角的習(xí)題。于是，我在教學(xué)過程中，添加了兩道例題：

【補(bǔ)1】空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求AM與CN所成角的大小。（平移法）

【補(bǔ)2】長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，BC=3，AA1=4，求AC與BD1所成角的大小。（補(bǔ)形法）

經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)這樣的課堂效果并不理想，主要有這樣一些問題：

1.學(xué)生接觸立體幾何時(shí)間還不長(zhǎng)，對(duì)于用平面圖像表現(xiàn)空間幾何體還未完全接受，因此，識(shí)圖和繪圖有困難，每道題出現(xiàn)，他們要花很多時(shí)間來畫圖，添加輔助線時(shí)更是不知所措，經(jīng)常是畫平行線卻畫出異面直線；

2.整節(jié)課時(shí)間非常緊張，學(xué)生能夠自主思考的時(shí)間非常少，基本上是聽老師不停地提示和引導(dǎo)，就算是這樣緊湊的情況下，補(bǔ)2還沒能講完；

3.三道例題需要畫出三種不同的圖像，其中還蘊(yùn)含兩種解題方法。上課時(shí)就發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生皺著眉頭，有些學(xué)生一臉茫然，只顧著模仿我的作圖和抄寫筆記。學(xué)生反饋說感覺就是一會(huì)兒這樣一會(huì)兒那樣，即使跟著老師的引導(dǎo)，也會(huì)覺得比較累。

出現(xiàn)了這樣的情況，讓我意識(shí)到這節(jié)課內(nèi)容的教學(xué)活動(dòng)不能一味加大例題的容量，而應(yīng)從根本上先排除學(xué)習(xí)障礙——圖像。我回憶了我自己在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)的經(jīng)歷：那時(shí)候我作為學(xué)生，對(duì)于立體圖像也不是一下子適應(yīng)的，于是我每天會(huì)有一些時(shí)間用在制作模型上，遇到難以理解的圖像，就根據(jù)題意用細(xì)鉛絲和老虎鉗做個(gè)實(shí)物拿在手上觀察，用細(xì)繩綁在模型上表示各種異面直線，久而久之，我能夠自如地畫出各種立體圖像，熟練地判斷空間各種關(guān)系，也不再覺得添加輔助線是很難預(yù)知的事情了。

在第二天的教學(xué)中，我?guī)チ藘蓚€(gè)相同的長(zhǎng)方體模型。當(dāng)我拿著模型出現(xiàn)在講臺(tái)上時(shí)，學(xué)生都很新奇地看著這個(gè)東西，瞬間注意力集中到了課堂上。為了將前一天未講完的補(bǔ)2分析清楚，我配合例題在模型上用彩色的塑料繩分別表示出了異面直線，讓學(xué)生很直觀地看到了它們的位置。因?yàn)橐v的是補(bǔ)形法，我便將兩個(gè)長(zhǎng)方體拼接起來，幾乎就是在那一瞬，他們看出了異面直線所成角的位置。

課后竟然有學(xué)生跑上講臺(tái)主動(dòng)要求看那個(gè)模型，他們覺得看著模型就能夠理解圖像中的實(shí)線和虛線分別表示了哪些線條，摸到看到實(shí)物后，就很容易聯(lián)想到需要添加哪些輔助線。同時(shí)他們表示，可惜上課時(shí)只有老師手里有模型，他們只能下課后來摸一摸。我很高興曾經(jīng)幫助過我的模型在多年后也能幫到我的學(xué)生們，于是鼓勵(lì)學(xué)生們自己嘗試做一些模型。這之后，在立體幾何的學(xué)習(xí)過程中，圖像對(duì)他們來說不再那么難以接受，輔助線也不再那么“高深莫測(cè)”。

時(shí)間飛逝，一轉(zhuǎn)眼我第二次接觸到了立體幾何這一章的教學(xué)。雖然在第一次教學(xué)中，我及時(shí)用模型補(bǔ)救，幫助學(xué)生克服了圖像的障礙，可是那節(jié)課呈現(xiàn)出的其他問題不止一次地引起我的反思。

隨著不斷地學(xué)習(xí)和進(jìn)修，我的教學(xué)理念也發(fā)生了一些變化，我開始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是活動(dòng)的教學(xué)，教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是自主探索、合作交流與動(dòng)手實(shí)踐。而且在校本培訓(xùn)中，前輩們不止一次地提到過，我們不是要將所有的題目呈獻(xiàn)給學(xué)生，而是要教會(huì)他們自己思考和總結(jié)方法，正所謂“授人以魚不如授人以漁”。所以我想在這次教學(xué)中嘗試新的模式，不僅解決圖像的問題，也要盡量增加學(xué)生的思考空間。既然上次題量過大導(dǎo)致學(xué)生無暇思考，那這次我就精簡(jiǎn)例題，以期事半功倍。

我事先利用課余時(shí)間組織學(xué)生用一次性吸管做了很多正方體模型，基本上全班可以保證每?jī)扇酥辽儆幸粋€(gè)模型。而上課時(shí)，我先用動(dòng)畫課件解釋了異面直線所成角的定義和原理，然后給出了唯一的例題：

【例】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M、N分別是BB1、CC1的中點(diǎn)，求下列異面直線所成角的大?。?/p>

（1）AB與B1C1；（2）AB1與CC1；（3）AB1與BC1；（4）AM與BN；（5）AC與BD1

前三個(gè)小題是書上的原題，比較基礎(chǔ)，常規(guī)方法（平移法）足以解決，所以我決定完全由學(xué)生自己看著模型思考，我只是根據(jù)他們的描述簡(jiǎn)單寫了較為規(guī)范的解題過程，提醒他們?nèi)绾螌⑺悸酚脭?shù)學(xué)語言表達(dá)清楚。

第四小題稍有變化，我建議他們兩人一組討論。一陣沉默之后，他們一人扶著模型，一人拿著塑料繩比劃。過了沒多久，有人叫著“這兩條不是平行線嘛，這不就平移到一個(gè)交點(diǎn)了嘛！”“我找到這條了！”……我笑著請(qǐng)幾位學(xué)生分別介紹他們找到的平行線，雖然線各不相同，但是答案卻不謀而合，真正是“英雄所見略同”。

第五小題是思考題，是“借用”了之前的補(bǔ)2，我建議他們四人一組討論。與之前大不相同的是，這次時(shí)間上很充足。有的學(xué)生還是在努力比劃著平行線，想模仿之前的小題用平移法解決問題，而有的學(xué)生看到自己有不止一個(gè)模型，便考慮將兩個(gè)模型拼接起來，這樣一來他們竟然在沒有得到任何提示的情況下，自己找到了補(bǔ)形法！我順利地“教”會(huì)了他們這兩種方法：平移法和補(bǔ)形法。

之后作業(yè)反饋的情況也非常理想，學(xué)生并沒有像我最初想象的那樣，被局限在正方體中，而是在其他圖形中仍然應(yīng)對(duì)自如。

按照烏申斯基的說法，直觀的教學(xué)不是以抽象的概念和詞語為依據(jù)，而是以學(xué)生的直接感知的具體形式為依據(jù)的。因此，教會(huì)學(xué)生去有意識(shí)地使用立體幾何模型，是順利地進(jìn)入立體幾何之門的金鑰匙。而且模型并不局限于教學(xué)使用的立體幾何教具，也可以是學(xué)生觸手可及的桌面、書本、筆等。善于使用這些現(xiàn)成的模型，可以使許多立體幾何問題變得比較直觀，比較容易解決。

立體幾何的教學(xué)，還要能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們建立學(xué)習(xí)的自信，讓他們找到“竅門”，學(xué)會(huì)空間與平面之間的聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。其實(shí)立體幾何的許多定理、結(jié)論都源自生活實(shí)際，源自平面幾何，因此要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中已經(jīng)熟悉的東西，借助可取之材來建立空間想象，其中若能加強(qiáng)直觀教學(xué)，就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力。

這樣看來，動(dòng)手制作模具的活動(dòng)不僅能幫助學(xué)生具體直觀地理解空間幾何體，還讓學(xué)生對(duì)這部分“陌生”的知識(shí)產(chǎn)生了興趣和學(xué)習(xí)的信心，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主設(shè)計(jì)、自主探索、自主歸納和總結(jié)的能力。雖然制作與畫圖過程都需要花費(fèi)一定的時(shí)間，但只要教師作適時(shí)、必要的引導(dǎo)，課堂適當(dāng)采用多媒體配合使用，發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)，互補(bǔ)各自不足，還是可以獲得意外的收獲的。

（作者單位：上海風(fēng)華中學(xué)）endprint