循環(huán)加-卸載巖石本構(gòu)模型研究

張平陽，夏才初，周舒威，周 瑜，胡永生

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院 地下建筑與工程系，上海 200092；2.中國大唐集團(tuán)新能源股份有限公司，北京 100053）

1 引 言

地下巖石工程難免受到周期荷載作用，如周期交通荷載、地震等，這使得諸多學(xué)者都對(duì)巖石在周期性荷載作用下的性質(zhì)展開研究[1-4]，但這些研究極少涉及對(duì)巖石本構(gòu)關(guān)系的探索。而地下壓氣儲(chǔ)能洞室作為巖石受周期荷載作用的典型例子[5]，在其長期運(yùn)營階段，圍巖受到內(nèi)部氣壓的反復(fù)作用，其力學(xué)性能將發(fā)生改變，從而影響洞室的長期穩(wěn)定性，因而合理的本構(gòu)模型將成為預(yù)測洞室穩(wěn)定性的關(guān)鍵。但目前壓氣儲(chǔ)能（特別是有襯隧洞）的巖石本構(gòu)還只是采用彈性模型[6-7]或彈塑性模型[8-9]，這與實(shí)際不甚相符，因此，需要迫切地開展巖石在循環(huán)加-卸載作用下的本構(gòu)模型研究。

對(duì)于巖石在循環(huán)加-卸載下的本構(gòu)模型研究，莫海鴻[10]開展了紅砂巖和大理巖的循環(huán)加載試驗(yàn)，給出了巖石的內(nèi)時(shí)本構(gòu)方程，但其中的材料函數(shù)復(fù)雜，參數(shù)較多，沒有明確的物理意義；王者超等[11]開展了花崗巖三軸循環(huán)荷載試驗(yàn)，提出了可以反映循環(huán)荷載作用下巖石變形模量變化的內(nèi)變量疲勞本構(gòu)模型，但該模型無法完整地描述巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。此外，巖石在循環(huán)荷載不斷作用下，實(shí)際上是一個(gè)損傷累積的過程[12]，因此，可以將巖石損傷理論應(yīng)用到本構(gòu)模型研究領(lǐng)域。對(duì)于巖石損傷，曹文貴等[13]建立了基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型，較好地反映了巖石破裂過程的全應(yīng)力-應(yīng)變試驗(yàn)曲線，但該模型只是針對(duì)單調(diào)加載過程，不能反映循環(huán)荷載的影響。劉博等[14]對(duì)循環(huán)剪切荷載作用下的巖石節(jié)理變形特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

基于以上研究背景，本文將基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型進(jìn)行拓展，并用內(nèi)變量疲勞本構(gòu)模型描述每個(gè)循環(huán)的初始模量和卸載模量的變化，進(jìn)而提出循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型。該模型能夠用于描述每個(gè)循環(huán)內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，且與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，該模型的成功建立為循環(huán)加-卸載下巖石本構(gòu)模型的研究提供了新思路。

2 循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型

2.1 本構(gòu)模型的建立

將循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型分為加載段和卸載段兩部分。加載段采用基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型[13]：

式中：σ1與 σ3分別為巖石三軸試驗(yàn)中軸向應(yīng)力和圍壓；E0和μ為每個(gè)循環(huán)內(nèi)的初始彈性模量與泊松比；ε1為每個(gè)循環(huán)內(nèi)的軸向應(yīng)變，每個(gè)循環(huán)內(nèi)的初值為應(yīng)力下限值與初始彈性模量之比；m和F0為巖石微元強(qiáng)度的Weibull 隨機(jī)分布參數(shù)，在每個(gè)循環(huán)內(nèi)都會(huì)變化，是循環(huán)次數(shù)的函數(shù)，在本文中將通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合得到；F為巖石微元強(qiáng)度；I1為應(yīng)力張量的第1 不變量；J2為應(yīng)力偏量的第2 不變量；α為與內(nèi)摩擦角φ 有關(guān)的參數(shù)。

為使本構(gòu)模型簡便實(shí)用，卸載段本構(gòu)模型表達(dá)式為

式中：σ1p和ε1p分別為循環(huán)內(nèi)峰值應(yīng)力和應(yīng)變；E′為每個(gè)循環(huán)內(nèi)的卸載模量。

對(duì)于每個(gè)循環(huán)內(nèi)的初始彈性模量和卸載模量，采用王者超等[11]提出的內(nèi)變量疲勞本構(gòu)模型中變形模量的表達(dá)式：

式中：A、n和l 均為模型參數(shù)；ε1r為殘余軸向應(yīng)變；為等效應(yīng)力；β為等效應(yīng)力線傾角，與巖石內(nèi)摩擦角有關(guān)。

這樣，通過式（1）、（4）、（5）即可獲得全部循環(huán)內(nèi)巖石應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，即得到循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型。

提出的循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型涉及到的參數(shù)有式（1）中的m和F0，式（5）中的A、n和l。對(duì)于單個(gè)循環(huán)內(nèi)m 及 F0的確定，曹文貴等[13]已做了詳細(xì)地介紹，可基于三軸試驗(yàn)結(jié)果，引進(jìn)線性擬合的方法確定。對(duì)于初始彈性模量和卸載模量計(jì)算公式的3 個(gè)參數(shù)，可先將式（5）變形為

然后采用多參數(shù)線性擬合方法，即可擬合式（9），確定A、n和l 3 個(gè)參數(shù)。

2.2 m和F0與循環(huán)次數(shù)N 的關(guān)系

采用了張媛等[15]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)m、F0隨循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行研究。首先，獲得不同圍壓下循環(huán)內(nèi)參數(shù)m和F0與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系，如圖1 所示。而曹文貴等通過參數(shù)敏感性分析得出[13]：巖石峰值強(qiáng)度隨 F0增大而增大，F(xiàn)0反映了巖石宏觀平均強(qiáng)度的大小；m 反映巖石微元強(qiáng)度分布集中程度，m 越大，微元強(qiáng)度分布越集中，材料的脆性度越高。從圖1 中不難看出，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，m 值也相應(yīng)增加，說明材料的脆性度變高，原因是強(qiáng)度低的微元在循環(huán)過程中已發(fā)生破壞，故微元強(qiáng)度的分布隨著循環(huán)次數(shù)增加而變集中。隨著循環(huán)次數(shù)的增加，F(xiàn)0值也相應(yīng)減小，這是因?yàn)殡S著循環(huán)次數(shù)的增加，巖石的強(qiáng)度在不斷降低。

將獲得的參數(shù)值m和F0隨循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律用趨勢線描述（見圖1），可以獲得參數(shù)m和F0的表達(dá)式為

式中：B、C、D、E為擬合參數(shù)；N為循環(huán)次數(shù)。

圖1 循環(huán)內(nèi)擬合參數(shù)與循環(huán)次數(shù)N 的關(guān)系Fig.1 Relationships between fitting parameters of every cycle and the cycle number

將式（5）、（10）、（11）代入式（1），最終獲得循環(huán)加-卸載下加載段的巖石本構(gòu)模型為

3 模型擬合效果

為了驗(yàn)證本文提出的循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型，采用張媛等[15]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。張媛等進(jìn)行了砂巖在循環(huán)荷載作用下的三軸壓縮試驗(yàn)。首先測定砂巖的三軸抗壓強(qiáng)度，然后取抗壓強(qiáng)度的25%和70%作為循環(huán)荷載的下限值和上限值進(jìn)行試驗(yàn)，最后給出了與試驗(yàn)結(jié)果相關(guān)度極高的擬合曲線，從其擬合曲線中可以獲得每個(gè)循環(huán)中的軸向最大應(yīng)變、軸向殘余應(yīng)變、初始模量和卸載模量等。采用本文提出的循環(huán)加-卸載巖石本構(gòu)模型，對(duì)張媛獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，獲得的初始模量和卸載模量參數(shù)如表1 所示。

采用表1 的擬合參數(shù)，與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。將不同圍壓下，初始模量和卸載模量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線進(jìn)行對(duì)比，在圖2 中給出。從圖中可以看出，雖然原始數(shù)據(jù)有一定的波動(dòng)，但初始模量和卸載模量的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)還是基本吻合，采用式（5）能夠反映初始模量和卸載模量的變化趨勢。

表1 文獻(xiàn)[15]試驗(yàn)擬合參數(shù)Table 1 Fitting parameters of tests in literature[15]

圖2 砂巖初始模量擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.2 Comparision of fitting curves and test data of initial modulus of sandstone

循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型重點(diǎn)是描述每個(gè)循環(huán)內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，因此，對(duì)循環(huán)內(nèi)的擬合尤為重要。選取不同圍壓下，第5、10、15 次循環(huán)內(nèi)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線進(jìn)行比較，對(duì)比結(jié)果分別見圖3～5。從這些圖中可以看出，擬合曲線與原始數(shù)據(jù)基本保持一致。

圖3 20 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.3 Comparisons of fitting curves and test data in the loading stages under a confining pressure of 20 MPa

圖4 40 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.4 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 40 MPa

圖5 60 MPa 圍壓下加載段擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.5 Comparisons of fitting curves and test data in loading stages under a confining pressure of 60 MPa

從圖3～5 可以看出，采用本文提出的本構(gòu)模型獲得的每個(gè)循環(huán)內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)完全吻合。在不同圍壓、不同循環(huán)數(shù)下，本文提出的本構(gòu)模型均能夠獲得與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，能夠準(zhǔn)確獲得與循環(huán)荷載上、下限值相對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變，也能反映在循環(huán)內(nèi)部變形模量衰減的趨勢，這些都體現(xiàn)了本文方法的可行性以及準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

本文將基于Weibull 分布的巖石損傷軟化模型進(jìn)行拓展，并用內(nèi)變量疲勞本構(gòu)模型描述每個(gè)循環(huán)的初始模量和卸載模量的變化，得到以下結(jié)論：

（1）提出了循環(huán)加-卸載作用下的巖石本構(gòu)模型。該模型物理意義明確，涉及的參數(shù)較少，且便于擬合。

（2）提出的循環(huán)加-卸載下巖石本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果較好，能較準(zhǔn)確地反映循環(huán)荷載上、下限值對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變，也能反映出循環(huán)內(nèi)部變形模量衰減的趨勢。

（3）該模型的成功建立為循環(huán)加-卸載下巖石本構(gòu)模型的研究提供了新思路。

[1]葛修潤.周期荷載下巖石大型三軸試件的變形和強(qiáng)度特性研究[J].巖土力學(xué),1987,8(2):11-19.GE Xiu-run.Study on deformation and strength characteristics of large-scale triaxial test sample of rock under cyclic loading[J].Rock and Soil Mechanics,1987,8(2):11-19.

[2]葛修潤,盧應(yīng)發(fā).循環(huán)荷載作用下巖石疲勞破壞和不可逆變形問題的探討[J].巖土工程學(xué)報(bào),1992,14(3):56-60.GE Xiu-run,LU Ying-fa.Study on fatigue damage and irreversible deformation law of rock under cyclic load[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1992,14(3):56-60.

[3]葛修潤,蔣宇,盧允德,等.周期荷載作用下巖石疲勞變形特性試驗(yàn)研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2003,22(10):1581-1585.GE Xiu-run,JIANG Yu,LU Yun-de,et al.Testing study on fatigue deformation law of rock under cyclic loading[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2003,22(10):1581-1585.

[4]章清敘,葛修潤,黃銘,等.周期荷載作用下紅砂巖三軸疲勞變形特性試驗(yàn)研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2006,25(3):473-478.ZHANG Qing-xu,GE Xiu-run,HUANG Ming,et al.Testing study on fatigue deformation law of red-sandstone under triaxial compression with cyclic loading[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(3):473-478.

[5]CROTOGINO F,MOHMEYER K U,SCHARF R.Huntorf CAES:more than 20 years of successful operation[J].Natural Gas,2001,45(50):55.

[6]KIM H M,RUTQVIST J,RYU D W,et al.Exploring the concept of compressed air energy storage(CAES) in lined rock caverns at shallow depth:a modeling study of air tightness and energy balance[J].Applied Energy,2012,92:653-667.

[7]ZHOU S W,XIA C C,DU S G,et al.An analytical solution for mechanical responses induced by temperature and air pressure in a lined rock cavern for underground compressed air energy storage[J].Rock Mechanics and Rock Engineering,20145,48(2):749-770.

[8]ZIMMELS Y,KIRZHNER F,KRASOVITSKI B.Design criteria for compressed air storage in hard rock[J].Energy and Environment,2002,13(6):851-872.

[9]夏才初,張平陽,周舒威,等.大規(guī)模壓氣儲(chǔ)能洞室穩(wěn)定性和洞周應(yīng)變分析[J].巖土力學(xué),2014,35(5):1391-1398.XIA Cai-chu,ZHANG Ping-yang,ZHOU Shu-wei,et al.Stability and tangential strain analysis of large-scale compressed air energy storage cavern[J].Rock and Soil Mechanics,2014,35(5):1391-1398.

[10]莫海鴻.巖石的循環(huán)試驗(yàn)及本構(gòu)關(guān)系的研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),1988,7(3):215-224.MO Hai-hong.Investigation of cyclic loading tests and constitutive relation of rock[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,1988,7(3):215-224.

[11]王者超,趙建綱,李術(shù)才,等.循環(huán)荷載作用下花崗巖疲勞力學(xué)性質(zhì)及其本構(gòu)模型[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2012,31(9):1888-1900.WANG Zhe-chao,ZHAO Jian-gang,LI Shu-cai,et al.Fatigue mechanical behavior of granite subject to cyclic load and its constitutive model[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2012,31(9):1888-1900.

[12]謝和平.巖石、混凝土損傷力學(xué)[M].徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,1990.XIE He-ping.Damage mechanics of rock and concrete[M].Xuzhou:China University of Mining and Technology Press,1990.

[13]曹文貴,方祖烈,唐學(xué)軍.巖石損傷軟化統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型之研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),1998,17(6):628-633.CAO Wen-gui,FANG Zu-lie,TANG Xue-jun.A study of statistical constitutive model for soft and damage rocks[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,1998,17(6):628-633.

[14]劉博,李海波,劉亞群.循環(huán)剪切荷載作用下巖石節(jié)理變形特性試驗(yàn)研究[J].巖土力學(xué),2013,34(9):2475-2472.LIU Bo,LI Hai-bo,LIU Ya-qun.Experimental study of deformation behavior of rock joints under cyclic shear loading[J].Rock and Soil Mechanics,2013,34(9):2475-2472.

[15]張媛,許江,楊紅偉,等.循環(huán)荷載作用下圍壓對(duì)砂巖滯回環(huán)演化規(guī)律的影響[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2011,30(2):320-326.ZHANG Yuan,XU Jiang,YANG Hong-wei,et al.Effect of confining pressure on evolution law of hysteresis loop of sandstone under cyclic loading[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2011,30(2):320-326.