N(2,2,0)代數(shù)穩(wěn)定化子

李旭東，宋雪梅，李樹海

(蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

N(2,2,0)代數(shù)穩(wěn)定化子

李旭東，宋雪梅，李樹海

(蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

摘要：利用穩(wěn)定化子給出N(2,2,0)代數(shù)的一類同余分解，證明商代數(shù)仍是N(2,2,0)代數(shù)，獲得自然同態(tài)下一類逆像的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)．

關(guān)鍵詞：N(2,2,0)代數(shù)；穩(wěn)定化子；同余分解；自然同態(tài)；逆像

中圖分類號：O 154

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)03-0023-04

On stabilizer of N(2,2,0) algebras

LI Xu-dong，SONG Xue-mei，LI Shu-hai

(School of Mathematics，Lanzhou City University，Lanzhou 730070，Gansu，China)

Abstract:A class of congruence decomposition on N(2,2,0) algebras is given by the stabilizer,it is shown that the quotient algebra is also N(2,2,0) algebra．Then the algebraic structure and properties of a class of converse images under the natural homomorphism are obtained．

Key words:N(2,2,0)algebra；stabilizer；congruence decomposition；natural homomorphism；converse image

1990年，吳望名[1]在研究邏輯系統(tǒng)中的蘊涵關(guān)系時提出了模糊蘊涵代數(shù)(簡稱FI代數(shù))．FI代數(shù)一度引起了同行的廣泛關(guān)注，如劉練珍[2]進一步研究了格蘊涵代數(shù)，討論了FI代數(shù)與NV代數(shù)間的關(guān)系，鄧方安[3]在研究FI代數(shù)的過程中對模糊蘊涵代數(shù)的模糊蘊涵算子從代數(shù)學(xué)角度做了進一步抽象，提出了N(2,2,0)代數(shù)．

對N(2,2,0)代數(shù)的研究已經(jīng)取得了一系列結(jié)果[3-13]，近年來學(xué)者又相繼研究了N(2,2,0)代數(shù)平移變換的像與逆像[7]、N(2,2,0)代數(shù)的RC-半群[8]、N(2,2,0)代數(shù)的正則半群[9]、N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元[10]、N(2,2,0)代數(shù)的中間單位[11]、N(2,2,0)代數(shù)的E-反演半群[12]等．2011年，李旭東[13]進一步研究了文獻[5]提出的N(2,2,0)代數(shù)的穩(wěn)定化子，并利用穩(wěn)定化子給出了N(2,2,0)代數(shù)的一類同余分解，本文繼續(xù)進行利用穩(wěn)定化子研究N(2,2,0)代數(shù)的同余分解．

1基本概念與引理

定義1[3]設(shè)S是含常元0的集合．如果在S中定義了兩個二元運算*、Δ，并且這兩個運算滿足以下公理：對任意x,y,z∈S，有

(F1)x*(yΔz)=z*(x*y);

(F2)(xΔy)*z=y*(x*z);

(F3)0*x=x.

則稱代數(shù)系統(tǒng)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)．

定義2[4]設(shè)(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，A是S的一個非空子集．A稱為S的一個理想，若0∈A，且對?x∈A有x*y∈A?y∈A．

引理1[3]設(shè)(S,*Δ,0)是N(2,2,0)代數(shù)，則對任意x,y,z∈S，恒有下列等式成立：

(1)x*y=yΔx；

(2)(x*y)*z=x*(y*z)=y*(x*z).

引理2[5]對?a∈S,Sa是(S,*,Δ,0)的一個子代數(shù)且是理想．

另外，稱半群(S,*)和(S,Δ)為對偶半群是指:對任意x,y∈S,x*y=yΔx．

2主要結(jié)果

1999年，鄧方安等[5]研究了N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的穩(wěn)定化子，證明了:對?a∈S,Sa是(S,*,Δ,0)的一個子代數(shù)且是理想(見引理2)．借助于Sa，李旭東[13]考慮了同余關(guān)系δ：

因為(S,*,Δ,0)的運算*不滿足交換律，自然會考慮到關(guān)系ρ：

以下取定Sa．

定理1對?x,y∈S,令xρy??h1,h2∈Sa,h1*x=h2*y，則ρ是(S,*,Δ,0)中的一個同余關(guān)系．

證明顯然ρ是(S,*,Δ,0)中的關(guān)系且滿足自反性、對稱性．

若x,y,z∈S,xρy,yρz，則存在h1,h2,h3,h4∈Sa，使得h1*x=h2*y,h3*y=h4*z，于是(h1*h3)*x=h1*(h3*x)=h3*(h1*x)=h3*(h2*y)=h2*(h3*y)=h2*(h4*z)=(h2*h4)*z.由Sa是子代數(shù)知h1*h3∈Sa,h2*h4∈Sa，故xρz，于是ρ是(S,*,Δ,0)中的等價關(guān)系.進一步

因此，

從而ρ是(S,*,Δ,0)中的一個同余關(guān)系.】

[x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy],

則有

定理2(S/ρ,*,Δ,[0])作成N(2,2,0)代數(shù)．

證明用定義1驗證即可，略．】

定理3Kerg是(S,*,Δ,0)的子代數(shù)且是理想．

證明因為

顯然0∈Kerg．?x,y∈Kerg??h1,h2,h3,h4∈Sa,h1*x=h3*0,h2*y=h4*0?(h1*h2)*(x*y)=h1*(h2*(x*y))=h1*(x*(h2*y))=(h1*x)*(h2*y)=(h3*0)*(h4*0)=h3*(0*(h4*0))=h3*(h4*0)=(h3*h4)*0,而由Sa是子代數(shù)知h1*h2∈Sa,h3*h4∈Sa，故x*y∈Kerg.由對偶性xΔy∈Kerg，故Kerg是(S,*,Δ,0)的子代數(shù)．

若x,x*y∈Kerg??h1,h2,h3,h4∈Sa,h1*x=h3*0,h2*(x*y)=h4*0?(h3*h2)*y=(h3*(0*h2))*y=(h3*0)*(h2*y)=(h1*x)*(h2*y)=h1*(x*(h2*y))=h1*(h2*(x*y))=h1*(h4*0)=(h1*h4)*0,由Sa是子代數(shù)知，h3*h2∈Sa,h1*h4∈Sa，故y∈Kerg，所以Kerg是(S,*,Δ,0)的理想.】

若x,y∈g-1([e])，則?h1,h2,h3,h4∈Sa,使得

而由Sa是子代數(shù)知h1*h2∈Sa,h3*h3∈Sa，故x*y∈g-1([e]).由引理1，運算*適合結(jié)合律，故(g-1([e]),*)是半群.】

對e∈E(S)，設(shè)全體g-1([e])構(gòu)成的集族為

則有

定理5下列結(jié)論成立：

證明(1)～(3)略，下證(4)．

證明由e1∈E(S)及定理4可知(g-1([e1],*)做成(S,*)的子半群,于是

由已知Sa*e1?Sa，所以h1*e1∈Sa,h2*e1∈Sa，故x∈g-1([e2])?g-1([e1])?g-1([e2]).進一步,

由已知e1*Sa?Sa，所以e1*h1∈Sa,e1*h2∈Sa，故y∈g-1([e1]),g-1([e2])?g-1([e1])，因此g-1([e1])=g-1([e2])，即(g-1([e1]),*)與(g-1([e2]),*)是相同的半群．

推論1若e1≤le2且e1*Sa∪Sa*e1?Sa，則半群(g-1([e1]),*)=(g-1([e2]),*).

證明x∈g-1([e1])??h1,h2∈Sa,h1*x=h2*e1?e1*(h1*x)=e1*(h2*e1)?(k*h1)*x=k*(h1*x)=k*(h2*e1)=h2*(k*e1)=h2*(k*e2)=k*(h2*e2)=(k*h2)*e2,

由已知k*h1,k*h2∈Sa，故x∈g-1([e2])?g-1([e1])?g-1([e2]).同理g-1([e2])?g-1([e1])，故g-1([e1])=g-1([e2]).

定理8對?e1,e2∈S,g-1([e1])*g-1([e2])?g-1([e1*e2]).

證明對?x1∈g-1([e1]),x2?g-1([e2])，存在h1,h2,h3,h4∈Sa,使得

故

定理9對?e∈S,g-1([0])*g-1([e])=g-1([e]).

證明由定理8，對?e∈S,g-1([0])*g-1([e])?g-1([0*e])=g-1([e]).又對?x∈g-1([e])，由于0∈g-1([0])，所以x=0*x∈g-1([0])*g-1([e])?g-1([e])?g-1([0])*g-1([e])，于是

g-1([0])*g-1([e])=g-1([e]).】

3結(jié)束語

因為(S,*,Δ,0)的運算*不滿足交換律，所以對于取定的Sa，文獻[13]中的同余關(guān)系δ與本文ρ不相同，文獻[13]利用δ給出的同余分解與本文利用ρ給出的同余分解是不同的．

參考文獻:

[1]吳望名．Fuzzy蘊涵代數(shù)[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1990，4(1)：56-63．

[2]劉練珍，王國?。瓼uzzy蘊涵代數(shù)與MV代數(shù)[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1998，12(1)：20-25．

[3]鄧方安，徐揚．關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)[J]．西南交通大學(xué)學(xué)報，1996，31(4)：457-463．

[4]鄧方安，徐揚，袁儉．N(2,2,0)代數(shù)的理想與關(guān)聯(lián)理想[J]．漢中師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1998，16(1)：6-9．

[5]鄧方安，李金龍．關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)的穩(wěn)定化子的若干結(jié)果[J]．喀什師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1999，19(2)：12-14．

[6]鄧方安．N(2,2,0)代數(shù)的一類序關(guān)系方程的解的特征[J]．江西科學(xué)，1999，17(2)：67-71．

[7]李旭東．N(2,2,0)代數(shù)中平移變換的象與逆象[J]．?dāng)?shù)學(xué)研究與評論，2005，25(1)：148-153．

[8]鄧方安．N(2,2,0)代數(shù)的RC-半群[J]．山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，46(6)：8-11．

[9]鄧方安，雍龍泉．N(2,2,0)代數(shù)的正則半群[J]．?dāng)?shù)學(xué)進展，2012，41(6)：665-671．

[10]陳露．關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27(4)：433-436．

[11]陳露．關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)的中間單位[J]．黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2014，31(3)：287-290．

[12]鄧方安．N(2,2,0)代數(shù)的E-反演半群[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2014，34(5)：977-984．

[13]李旭東．N(2,2,0)代數(shù)的穩(wěn)定化子[J]．山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，46(8)：68-72．

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

作者簡介：李旭東(1966—)，男，甘肅定西人，教授，碩士.主要研究方向為半群代數(shù)．

基金項目:蘭州城市學(xué)院校長科研創(chuàng)新基金(LZCU-XZ2014-04)

收稿日期：2014-05-12;修改稿收到日期:2014-10-22

E-mail:lixudjs@163.com