一道有關(guān)正方體軌跡問(wèn)題的探討

●陳華云 (溫州市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江溫州 325015)

一道有關(guān)正方體軌跡問(wèn)題的探討

●陳華云 (溫州市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江溫州 325015)

2015年5月浙江省溫州市高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試適應(yīng)性測(cè)試的選擇壓軸題如下:

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD上，并且滿足∠BD1P=45°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為( )

A．圓弧 B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分

(正確答案:C)

圖1

圖2

表1 二元二次方程與相關(guān)圖形

(教師追問(wèn):能否通過(guò)改變建系的方法，化簡(jiǎn)上述方程的形式?)

圖3

比較以上2種解法，由于不同的建系方法，導(dǎo)致結(jié)果形式不同，解法2更易判定為雙曲線方程，實(shí)際上解法1也可通過(guò)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換公式

(教師:此時(shí)問(wèn)題已經(jīng)得到解決，但過(guò)程有些曲折，能否進(jìn)一步利用圓錐曲線模型進(jìn)行分析?)

結(jié)論用一個(gè)不過(guò)圓錐面頂點(diǎn)的平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面與圓錐面的所成角θ與軸截面頂角的半角α大小關(guān)系不同時(shí)，交線的不同情況如圖4所示:1)當(dāng)α＜θ＜時(shí)，交線為橢圓;2)當(dāng)0≤θ≤α?xí)r，交線為雙曲線;3)當(dāng)θ=α?xí)r，交線為拋物線．特別地當(dāng)θ=時(shí)，交線為圓．

圖4

解法3易知 α=45°，θ=∠D1BD，而tanθ=＜1=tanα，從而0≤θ＜α，故軌跡為雙曲線的一部分．

利用解法3的思路，容易解答以下的高考試題:

例2如圖5，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是 ( )

A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第7題)

變式1將“動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在底面ADD1A1上”．

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)，同原題得到點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，故選C．

圖5

圖8

解法2本題可參照2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題，其實(shí)是一個(gè)平面斜截圓柱表面的問(wèn)題．點(diǎn)P在以D1B為軸線的圓柱面上，又在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P在圓柱面與平面的交線上，且滿足平面與圓柱的軸線斜交，從而可得點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故選B．

注:根據(jù)平面與圓柱的軸線的不同位置得到不同截面形狀(如圖8所示)．

解析幾何中的圓錐曲線是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線，從軌跡觀點(diǎn)來(lái)看，又是空間中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．通過(guò)一道學(xué)考試卷中有關(guān)正方體軌跡問(wèn)題的探討，讓我們更清晰地知道怎樣抓住數(shù)(定量分析:通過(guò)建系、列式求方程，再判斷形狀)與形(定性分析:需要深入了解曲線的定義與由來(lái)，再進(jìn)行判定)2個(gè)角度解決此類(lèi)問(wèn)題．