立足基礎，客觀靈活，突出能力
——基于2015年高考上海數(shù)學試卷評析

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

立足基礎，客觀靈活，突出能力
——基于2015年高考上海數(shù)學試卷評析

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

2015年高考上海數(shù)學試卷部分題目較新，對數(shù)學思想方法考查也較全面，因總體計算量偏大，證明題偏多（有5小題），對代數(shù)推理的要求偏高，所以感覺難度比2014年大，理科尤甚，主要體現(xiàn)在解答題.學生感到“無從下手”或寫了一串“不知對不對”.總體而言，試卷具有如下一些特點.

一、立足基礎，知識點分布合理

填空題（14題）、選擇題（4題）除少數(shù)2-3個具有壓軸意義有點兒難，其余側重基礎知識和基本技能的考查，難度不大，但幾乎每題都要算.計算能力是數(shù)學的首要能力，這樣考查是合情合理的.知識點分布也相對合理，文科解答題依次是立體幾何、函數(shù)的奇偶性和單調性、解三角形與二次函數(shù)應用題、解析幾何、數(shù)列；理科解答題依次是立體幾何、解三角形與二次函數(shù)應用題、解析幾何、數(shù)列、函數(shù)綜合應用.

文科能力題約占30分，比較合理，理科能力題約占40分，稍微有點兒多.這提醒我們在高三復習中仍要強調基礎，強調知識的覆蓋面，基本概念教學不能放松，不僅要學生聽懂，更要求規(guī)范書寫，馬虎不得.

二、客觀試題考查思維的靈活性

雖然客觀試題整體難度比前兩年小，但對思維靈活性的考查力度沒有減小.比如，文、理科共同的第18題：設P（nxn，yn）是直線與圓x2+y2=2在第一象限的交點，則極限

本題若采取直接推理（定量的方法）的方法，則容易掉進命題設置的陷阱，即直接解方程求交點坐標再求極限，即使求出坐標再求極限也非易事.若先對問題整體考慮，容易發(fā)現(xiàn)，再求極限只需將分子有理化，就會“化腐朽為神奇”.

因點P（nxn，yn）在圓x2+y2=2上，所以，即yn=.又點P（nxn，yn）在直線（n∈N*）上，而，因直線2x-y=1與圓x2+y2=2在第一象限的交點為（1，1），所以

以上解法雖然完整寫出看似有點兒長，實際上只要解一個簡單的方程組，至于分子有理化幾乎可以口算.

本題壓軸意圖明顯，但破解之道在于掌握恰當?shù)乃季S方法，而非不講策略地蠻干.這啟發(fā)我們在帶領學生復習時，要結合具體問題向學生傳授思考問題的思維方法，而不是羅列各種策略（技巧）.因為思維方法可以應用于各種場合，形成能力，而離散的策略在復雜的新環(huán)境中一時很難找到用武之地.

再如文科第14題（理科第13題）：已知函數(shù)f（x）= sinx，若存在x1、x2、…、xm滿足0≤x1

夏天想說：曉曉，你有什么都可以跟我說，你可以信任我，但是他終究不敢說出口。在葉曉曉面前，他的自卑更深更深，他的缺陷像一把劍一樣刺在他的心口?！澳呛冒桑愫镁秃?。這是我的手機號，你有事可以給我打電話。有什么事情，可以想辦法溝通啊……”

首先，考生要準確理解題意：正弦函數(shù)f（x）=sinx依次相鄰兩點函數(shù)值差的絕對值之和等于12，最少需要幾個點？對正弦函數(shù)而言，兩個函數(shù)值差的絕對值的最大值是最高點和最低點的縱坐標的差，因此只要取相鄰最高點和最低點，兩端點取零點，結合圖像即可知m的最小值為8.

以上解法可以說是數(shù)形結合，但數(shù)形結合太籠統(tǒng)，學生面臨具體問題難以操作.教學中面對較難問題，指導學生先宏觀（即定性，找出正確大方向）再微觀（具體有什么方法），有理論，有實踐，便于學生內化形成能力，把培養(yǎng)學生思維的靈活性落到實處.

三、突出能力，體現(xiàn)選拔功能

2015年高考上海數(shù)學試題難度大主要體現(xiàn)在兩個方面.其一是計算量較大，雖然第20題以前的題目大多數(shù)不難，但由于計算量較大，耗時較多，無形中增加了學生的壓力；其二是證明題多，證明題一般是字母運算，不僅對邏輯思維能力要求高，對書寫表達能力要求也高.

比如理科第23題：對于定義域為R的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期.已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R.設f（x）單調遞增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）設a

（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并證明對任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

本題是新定義問題（上海每年都有此類問題），題目較長，讀懂題目有一定難度，意在考查學生獲取和利用信息的能力.第二問的結論感覺就非常自然，好像不需要證明，實際上由于不知道f（x）的連續(xù)性，要用反證法.這里既有“任意”，又有“存在”，反證法通常要否定結論，怎么否定？這是學生不熟悉的方法.

對任意c∈［f（a），f（b）］，由于f（x）單調遞增，所以一定存在x0，使得f（x0）=c.

當x0

上述證明看似寥寥數(shù)語，但對學生來說書寫表達相當困難.甚至有些學生問：“為什么當x0

四、試題啟示：來年復習怎么做

2015年高考上海數(shù)學試題對數(shù)學教學有哪些啟示，以后又怎么指導學生復習？

1.怎樣做才算抓基礎

2015年高考上海數(shù)學試題強調考基礎、考能力，何為基礎？何為能力？這些都比較抽象.筆者以為，根據(jù)已知條件，能運用定義、定理、公式直接得到結論，或經過簡單的等價轉化可得到結論，屬于考查基礎，而把基礎知識適當串聯(lián)起來，需要多次轉化，且字母運算相對復雜，可以稱為考查能力.題目較長、題意隱晦、解答技巧強、運算繁雜的題目宜少講或不講.

2.怎樣才算依綱據(jù)本

高三復習要依據(jù)課本，在課本例題、習題的基礎上適當加寬拓深，意在把基礎知識以一定的思想方法或某一知識鏈條串聯(lián)起來，形成知識網(wǎng)絡.重在培養(yǎng)學生透徹理解基本概念、靈活運用相關定理和公式解決問題的能力，達到舉一反三、觸類旁通之效.表現(xiàn)在課堂上往往是首先重視通性、通法的教學，在此基礎上引導學生追求簡捷解法，發(fā)展思維能力.比如，第18題如果對極限定義有透徹理解，則可知其值就是過點（1，1）的切線的斜率（其實就是導數(shù)，但上海教材沒有導數(shù)，學生無法從這一角度理解）.不同的解法反映不同的能力水平.

這啟發(fā)我們，要根據(jù)不同的教學對象，講最適合你的學生的方法.基本方法一定要講，巧妙方法不一定都要講！如果你的學生達不到那個水平，講了也白講，白講為何要講？！

3.重視代數(shù)推理教學

2015年高考上海數(shù)學卷中代數(shù)推理的分量重啟示我們要加強此方面的教學，因為代數(shù)推理可以比較準確地考查學生的數(shù)學思維能力和文字表達能力，以及行為習慣的好壞.教學中經?？吹接行W生能很快得到正確答案（上海數(shù)學高考可以攜帶計算器），而不能規(guī)范書寫的情況，尤其是智力好的學生只求結果，不問過程.有時老師也會趕進度，只講思路，不規(guī)范板書（或放ppt），這樣遇到今年的試卷學生很難發(fā)揮出實際水平，即便是優(yōu)等生，也會感到有勁兒無法使.這提醒我們教學中不要盲目追求數(shù)量，而要追求質量.要知道，學生從自己感覺懂了到能規(guī)范書寫出來之間還有很大一段距離.規(guī)范書寫就是把細節(jié)落到實處，不僅現(xiàn)在做數(shù)學題是這樣，將來到社會上做事也是同樣.特別需要老師的引導、示范，馬虎不得，急躁不得.

4.重視思維規(guī)律教學

對起到壓軸作用的客觀題，要善于先宏觀（定性）分析，后微觀（定量）落實，通過轉化、數(shù)形結合、排除法等方法，盡量避免直接求解；解答題力爭化大為小、化難為易、化繁為簡，把一道難題分解為若干個小題，或分解為若干步完成，或即使不能完整做出，也能多得部分分數(shù)，使學生的實際水平得以充分發(fā)揮.A