別樣的視角，新穎的解答
——一類(lèi)含參恒成立問(wèn)題中的定積分求法

☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤(pán)龍校區(qū) 李紅春

☉湖北武漢市教育科學(xué)研究院中學(xué)教學(xué)研究室 孔峰

別樣的視角，新穎的解答
——一類(lèi)含參恒成立問(wèn)題中的定積分求法

☉湖北武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤(pán)龍校區(qū) 李紅春

☉湖北武漢市教育科學(xué)研究院中學(xué)教學(xué)研究室 孔峰

法國(guó)生理學(xué)家貝爾納曾指出：“良好的方法使我們更好地發(fā)揮運(yùn)用天賦的才能，而拙劣的方法則會(huì)抑制才能的發(fā)揮”.可見(jiàn)，解決問(wèn)題時(shí)選擇一種好的方法至關(guān)重要，這既能使我們高效快捷地達(dá)到目的，而且有利于我們提升能力.

引例：已知函數(shù)f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，若當(dāng)x≥1時(shí)f（x）≥0成立，求a的范圍.

文1從三個(gè)不同的角度對(duì)以上問(wèn)題展開(kāi)了分析與求解，解法1采用分離參數(shù)法，但解題過(guò)程需要用到洛必達(dá)法則，涉嫌超綱，美中不足；解法2和解法3進(jìn)行分類(lèi)討論，不但煩瑣，而且分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不易把握，讓人望而卻步.

有沒(méi)有其他易于學(xué)生掌握的好方法呢？答案是肯定的！

另解：由題意得：x2lnx-a（x2-1）≥0對(duì)x∈［1，+∞）恒成立，即2≥a（x2-1）對(duì)x∈［1，+∞）恒成立.

令t=x2-1，t∈［0，+∞），則（t+1）ln（t+1）≥2at對(duì)t∈［0，+∞）恒成立.

當(dāng)t=0時(shí)，不等式顯然成立.

設(shè)曲線y=ln（x+1）+1和直線y=2a在定直線x=0和動(dòng)直線x=t之間與x軸圍成的面積分別為S1和S2，則S1≥S2，如圖1所示，y= ln（x+1）+1過(guò)y軸上的定點(diǎn)A（0， 1），顯然2a≤1，故

以上解法借助數(shù)形結(jié)合思想，從圖形直觀加以解決，不但計(jì)算量小，而且沒(méi)有復(fù)雜的分類(lèi)討論，給人耳目一新的感覺(jué).無(wú)獨(dú)有偶，2014年陜西高考理科第21題和引例極為相似，運(yùn)用以上解法，很容易求解.

例1（2014年高考陜西理科第21題簡(jiǎn)編）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=xf′（x），x≥0，若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)t=0時(shí)，不等式恒成立，a∈R.

波利亞說(shuō)過(guò)：一個(gè)想法使用一個(gè)技巧，通過(guò)多次使用可成為一種方法.借助以上方法，我們可以解決很多這樣的問(wèn)題，下面再看幾例.

設(shè)x=t，則不等式at

例3（2010年高考新課標(biāo)理科第21題簡(jiǎn)編）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：由已知ex-1-x≥ax2.設(shè)x=t，則et-1-t≥at2對(duì)t∈［0，+∞）恒成立.

當(dāng)t=0時(shí)不等式恒成立，此時(shí)a∈R.

例4（湖北襄陽(yáng)四中2015屆10月月考理科第22題簡(jiǎn)編）已知對(duì)t∈［0，+∞）恒成立，求a的取值范圍.

以上試題本質(zhì)上都是含參恒成立問(wèn)題，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值恰好是不等式恒成立時(shí)的臨界值是這些試題的共同特征，求解過(guò)程中，尋找定積分中的原函數(shù)是解題的基礎(chǔ)，借助定積分的幾何意義將函數(shù)值間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同曲線圍成圖形面積間的大小關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關(guān)系是解題的核心，善于抓住圖形中的臨界位置和特殊點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

定積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，目前在高考中的考查力度越來(lái)越強(qiáng)，隨著新課改的推進(jìn)，越來(lái)越多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)與方法已滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)之中，這些含有高等數(shù)學(xué)背景的試題因背景公平，能很好地考查學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，因而頻頻出現(xiàn)在高考試卷中，倍受命題者的青睞.筆者在一線教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，只要學(xué)生真正理解了定積分的基本概念，這類(lèi)問(wèn)題的處理并不像有些人想的那么難，用定積分解決這類(lèi)問(wèn)題，開(kāi)拓了學(xué)生的視野，強(qiáng)化了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生逆向思維的能力，這種別開(kāi)生面的解法，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

1.王若梅，徐雷.一道常規(guī)問(wèn)題的不常規(guī)之處［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（12）.

2.李紅春.兩道高考?jí)狠S試題的趣解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（2）.

3.李紅春，盧瓊.新課程理念下高考試題的整體感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（5）.A