以根為本開枝散葉
——淺談復習教學中的試題研究

☉江蘇省無錫市青山高級中學潘蘇琴

以根為本開枝散葉
——淺談復習教學中的試題研究

☉江蘇省無錫市青山高級中學潘蘇琴

數(shù)學復習教學的核心是指導學生如何解題．從每年高考試卷來看，要解決的熱點和難點問題基本沒有變化，因此需要高三復習教學做得更有針對性．如何體現(xiàn)這一針對性？筆者以為，復習教學需要完成三方面的教學設計：其一是基本知識和基本技能的儲備：沒有扎實的基礎如何解決高難度的問題？有些教師常常讓學生訓練難題、怪題，卻從不對基礎的知識進行講解、分析和鞏固，這種教學方式是在“沙灘上建高樓（張奠宙語）”，非常危險；其二是注重知識之間的整合運用，有了單一知識點的熟練，可以加強知識綜合使用的能力；其三是思想方法在解題中的運用，可以這么說，沒有思想方法的引領有些問題解決起來非常困難，當你將知識和思想高度結(jié)合在一起時，對于知識的使用更具備了一定的方向性和導向性，問題的解決也來得更為便捷一些．

一、以根為本

數(shù)學知識的根在于數(shù)學的基礎知識和基本技能，根植于基礎之上的解題是有發(fā)展的、能發(fā)展的，高三復習教學注重對核心知識進行以根為本的發(fā)散是有必要的．

（2）設z＝x2＋y2，求z的取值范圍；

（3）設z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．

（2）z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，，所以2≤z≤29．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的幾何意義是可行域上的點到點（－3，2）的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點到（－3，2）的距離中，dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝8，所以16≤z≤64．

說明：（1）本題是線性規(guī)劃的綜合應用，考查的是非線性目標函數(shù)的最值的求法；（2）解決這類問題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標函數(shù)賦于一定的幾何意義；（3）本題錯誤率較高．出錯原因是，很多學生無從入手，缺乏數(shù)形結(jié)合的應用意識，不知道從其幾何意義入手解題．以上三種不同的目標函數(shù)問題是線性規(guī)劃問題的基本處理，即線性規(guī)劃問題的“根”．

變式：（2012年江蘇卷第14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是_________．

分析：以題根為本，對本題進行稍加分析即可獲得思路．本題是多元問題，其中涉及三個元a，b，c，最終問題只需研究a，b兩元之間的關系．考慮到需要降元處理，因此本題條件的兩組不等關系中，兩邊同除以c，即將條件轉(zhuǎn)化為，利用整體換元將代入，則有最后問題轉(zhuǎn)換為利用線性規(guī)劃進行解決．

說明：從江蘇卷考查的線性規(guī)劃來看，本題屬于稍難題，難在哪里呢？主要是涉及兩個方面：其一是轉(zhuǎn)化化歸思想的滲透，如何將三元問題轉(zhuǎn)化為能進一步實施的二元問題，這里轉(zhuǎn)化化歸思想起到了主導作用，在想到了轉(zhuǎn)換的方式之后，問題轉(zhuǎn)變?yōu)槔谜w思想換元和數(shù)形結(jié)合思想來處理；其二，問題的“根”隱藏在例1中的第（1）題中，將問題轉(zhuǎn)換為斜率來處理是基本知識和基本技能．

二、開枝散葉

在掌握基本知識和基本技能的基礎上，需要教師將數(shù)學知識傳授得更深刻、更廣泛，此時筆者認為需要教師對“根”進行開枝散葉．

例2已知a·b=0，向量c滿足（c－a）·（c－b）=0，|a－b|= 5，|a－c|=3，則a·c的最大值為_________．

分析：向量問題往往是學生比較懼怕的，筆者以為向量小題多是以“小、巧、靈”著稱，其主要考查的是平面向量基本定理、向量數(shù)量積等．這幾年的向量問題并沒有過于復雜的運算，因此思維的考查和培養(yǎng)成為解決向量問題的關鍵，而且教學中要開枝散葉——多解嘗試，給予學生更多的解決思路．

讀題：根據(jù)題中條件，筆者給學生思考本題，學生中比較多的想法是將問題代數(shù)化，即：

嘗試：這種想法是很自然也是很必要的一種嘗試，在一般情況下也是很湊效的，但作為稍難的客觀題而言，上述的代數(shù)化處理還未能找到最妙的突破口，我們仔細分析一下我們的解題，在此結(jié)論中，雖然出現(xiàn)了我們所要求的a·c，但由于同時還涉及|a|，|b|，|c|，b與c的夾角這些未知數(shù)，因此無法求得a·c，而且代數(shù)化明顯計算量較大，因此選擇從向量的“根”出發(fā)，即圖形化和思維角度入手．

精讀：引導學生對于本題進行再思考、再精讀，“a·b=0”、“（c－a）·（c－b）=0”向我們提供了一個重要的信息：垂直，利用這種垂直關系可以找到本題的圖形特征——圓，因此根據(jù)題意構(gòu)造圖3．

尋根：我們再結(jié)合問題進行尋根——問題之根：a· c=|a|·|c|cosθ=（x1，y1）（x2，y2）.

定法：根據(jù)求向量數(shù)量積的兩種不同形式，自然能想到求解此題的兩種方法：幾何法、解析法（方法之根）；只要我們準確找到了題根，破題在即，躍然紙上，利用多解性的方式將問題給予呈現(xiàn)也成為了開枝散葉、提高思路的一種方式．

開枝1：關注到有條件a·b=0和（ca）·（c－b）=0，也就是存在兩個垂直關系，因此引導學生想到此題中應該蘊含著典型的幾何圖形，由此可借助于這兩個垂直關系去構(gòu)造圖形．如圖4，令向量，則由a·b=0和（c－a）·（c－b）=0，可得∠AOB=∠ACB=90°，因此可得四邊形OACB為圓的內(nèi)接四邊形，AB=|a－b|=5為圓的直徑，CA=|a－c|=3，BC= |b－c|=4．記a與c的夾角為θ，在圓中，由θ=∠AOC=∠ABC，可知cosθ=cos由條件|a－c|=3平方可得a2+c2－ 2a·c=9．則|a·|c||≥2|a|·|c|，可得．所以a·c=|a|·|c|cos

開枝2：又注意到題中出現(xiàn)了a－c及a·c，因此結(jié)合a+c便可得到此三者之間的一恒等關系：［（a+c）2－（a－c）2］［（a+c）2－9］．對于a+c，可在△OAC中，取AC的中點為M（如圖5），則a+c=因此，要求a·c的最大值，只需求的最大值即可．在圓中，由于AC=3，所以當OM經(jīng)過圓心時取得最大值．可得，|（a+c）|=9．所max以，代入可得a·c的最大值為

開枝3：由于向量具有坐標表示及運算，根據(jù)題干條件有兩個垂直關系，因此，可自然想到通過建立直角坐標系，利用坐標進行求解．對于題中所給出的兩組垂直，由于OA、OB的長度未知，而CB=4，CA=3，因此可以選擇以C為坐標原點，以CB、CA為x軸和y軸，建立直角坐標系更為合理，如圖6．因為，這樣更容易得到A，B點的坐標．根據(jù)長度可得C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB為圓的直徑，所以可知圓心坐標為），則通過三角代換可設點O）．因此，得），所以10cosα，因此，可得a·c∈［－2，18］．

總之，復習教學中的試題如何研究是高三復習教學的關鍵．就上述問題而言，筆者認為問題不在于多而在于精，高考題恰是基本知識之上的一種能力體現(xiàn)，其中有扎實的基本功和數(shù)學思想的指導將大大提高問題解決的可能性，如例1；對于問題進行多角度開枝散葉式的思考，有助于思維的全面性，如例2．因此，教學中加強試題教學的研究是高三復習教學的關鍵．F