心中有生，貼地而行
——“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”教學案例

☉江蘇省新海高級中學 霍小偉

心中有生，貼地而行
——“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”教學案例

☉江蘇省新海高級中學 霍小偉

在教學中，很多教師受傳統(tǒng)知識觀的影響，把手中的教材當成是“法寶”“萬能工具”，死板教條地從事著自己的教育工作，認為只要把前人整理好的知識理解了，然后教給學生，千方百計地讓他們記住了，以后就可以去解決靈活多變的實際問題，就能應付不斷變化的大千世界.這樣的教學，過分強調(diào)書本知識的權(quán)威、標準答案的權(quán)威、教師的權(quán)威，慢慢地學生便習慣于對“快餐知識”的接受.長期這樣下去，學生便將書本知識奉為“真理”，將教師的講解當成“圣旨”，對已有觀念缺乏檢驗，沒有自己的思想，雖然擁有大量的知識，但卻不知厚積薄發(fā).

因此平時的教學中，教師要心中有學生，俯下身子“蹲”在學生的角度看待問題，教學不能高高在上，要接地氣，貼地而行.在日常的教學活動中，我們不僅要充分發(fā)揮教師的主導作用，積極引導學生的認識方向，還要讓學生的主體性得以充分地發(fā)揮.教師在課堂教學中要想學生所想，要經(jīng)常研究學生會在哪些地方感到有疑惑，他們喜歡什么.教師只有做到這些，主導性作用才能得以體現(xiàn)，才能切切實實地調(diào)動起學生的主觀能動性.學生才能夠積極主動地、自覺自愿地參與到學習中去.本章主要結(jié)合“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”教學案例實際，談談在教學中筆者自己的一些想法和設計.這節(jié)課的重點是理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，會畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，難點是如何尋求二元一次不等式表示的平面區(qū)域，筆者重點設計了下面四個環(huán)節(jié)，有梯度地完成了本節(jié)課的教學.

一、創(chuàng)設情境，引出課題

問題：已知圓的方程為x2+y2=r2（r>0），平面直角坐標系中任一點P（a，b）與圓有什么樣的關(guān)系？如何用數(shù)學符號語言表達？

生：若點在圓上，則滿足a2+b2=r2；若點在圓內(nèi)，則滿足a2+b2r2.

師：若將任一點P（a，b）的坐標換成P（x，y），結(jié)果又如何表示？

生：依次為x2+y2=r2；x2+y2r2.

師：它們分別代表什么樣的平面區(qū)域？

生：分別代表圓、圓內(nèi)、圓外.

點評：找了一個貼近學生認知的平臺，既關(guān)注了學生現(xiàn)有的思維發(fā)展區(qū)，又走向了學生思維的最近發(fā)展區(qū)，引導學生思考，教會學生感知數(shù)學，很自然地為后面提出課題做好了鋪墊工作.

二、類比思考，學會學習

教師追問：通過上述圓的問題，我們發(fā)現(xiàn)x2+y2=r2表示的平面區(qū)域是圓，而不等式x2+y2r2表示的平面區(qū)域是圓外.那么點集{（x，y）| y>x+2}表示怎樣的平面區(qū)域？

點評：由于引例中圓的問題的鋪墊，學生很容易通過類比遷移理解上述不等式表達的平面區(qū)域與直線y= x+2息息相關(guān)，猜想出結(jié)果.

《數(shù)學課程標準》指出：“學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者.課堂教學中教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗.”為了進一步檢驗猜想正確與否，筆者很大方地將下面的活動放手交給了學生.

活動1：實踐（給出幾個點代入）.

活動2：猜想（結(jié)論）.

活動3：證明（結(jié)論）.

活動4：點集{（x，y）|y>-x+2}與{（x，y）|x-y-2>0}表示怎樣的平面區(qū)域？你有簡便的判斷方法嗎？

最終在學生“自主探索”與筆者“有效引導”激情共舞下，圓滿解決了問題，并初步總結(jié)出判斷方法：直線定界，特殊點定域.

點評：通過問題串的層層推進，由淺入深，培養(yǎng)學生的類比能力和化歸能力，激發(fā)學生的學習興趣和自主探究的精神.

三、自主探索，形成結(jié)論

在前面活動的引領(lǐng)下，初嘗甜頭的學生很自然地提出更具一般性的結(jié)論.筆者也順理成章地引出了本節(jié)課的課題“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”.

活動5：一般地，直線y=kx+b將平面分成兩個區(qū)域，____________表示直線上方的平面區(qū)域；____________表示直線下方的平面區(qū)域.

活動6：對于二元一次不等式Ax+By+C>0（A2+B2≠0），如何確定它所表示的平面區(qū)域？（對B進行討論）

請完成下面的表格.

思考：能否對A進行討論呢？請你試著自己列個表格.試試看，相信你一定很棒的！

點評：在活動4的解決過程中，學生積累了經(jīng)驗.可用化歸法，也可用特殊點法來完成活動5和活動6.通過表格的填寫，進一步培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，提高了由特殊到一般的自主歸納、整理知識點的能力.最后師生共同總結(jié)，得出簡便的判斷方法：方法1是直線定界，特殊點定域；方法2是A正分左右，B正分上下（A、B分別是直線的一般式方程中x、y前的系數(shù)）.

四、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，展示成果

有了前面的總結(jié)，筆者及時地補充了幾個練習，檢驗教學效果.

畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：

（1）y≥3；（2）x-6≤0；（3）y>-2x+1；（4）x-y+4<0.

點評：通過由特殊直線到一般直線，深化所學知識，感受判定的一般性方法.

當然，學生才是教學活動的主角，要讓他們的思維一發(fā)不可收拾.

活動7：你們能相互出幾個題目給你的同桌做做嗎？試試看！

活動8：我們能否反過來看問題呢？說說你的想法，和我們大家分享一下吧！

（給出平面區(qū)域，反過來寫二元一次不等式或不等式組）

點評：通過這兩個活動，留給學生適當?shù)慕虒W空白，給足學生質(zhì)疑時間與空間，通過這樣的過程培養(yǎng)他們的逆向思維，引導他們思考，必要時為了保障教學質(zhì)量，教師可用幾何畫板針對性地畫出幾個平面區(qū)域，讓學生寫出相應二元一次不等式組，達到深化所學知識的目的.在活動中，教會他們思考，讓學生在自身的認知建構(gòu)過程中，瞄準方向，針對性地進行質(zhì)疑探究，通過自己的努力，取得累累碩果.

接著筆者將班級分成若干小組，探討下面兩個活動.

活動9：點集{（x，y）|y>x2}表示怎樣的平面區(qū)域？你能畫出來嗎？試試看！

給出與曲線方程有關(guān)的平面區(qū)域，你能寫出相應的不等式（或不等式組）嗎？

活動10：點到直線的距離公式中的絕對值你能用今天學到的知識將它去掉嗎？

點評：筆者通過活動9與活動10，提升了學生的思維層次，與引例圓的問題首尾呼應，起到了畫龍點睛的作用.在學生思維的最近發(fā)展區(qū)提出問題，由直線到曲線，教會學生類比思考，學會學習，讓學生感受到“跳一跳就摘到桃”的喜悅，在互動探究中培養(yǎng)了學生合作交流的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.如果按照教學進度暫時不提，學生就會失去一次思維訓練的良好機會.教學中要活用教材，要在教材的使用過程中融入自己的科學精神和智慧，教材不等于教學內(nèi)容，教學內(nèi)容應大于教材.

數(shù)學家陳省身曾說過這樣一句話，數(shù)學本來是“好玩”的，孩子們也是很有好奇心的，可是我們教師若把數(shù)學講得干巴巴的，就會激發(fā)不了孩子的興趣，進而扼殺了他們的好奇心，數(shù)學自然就難學了.其中的“好玩”，我們不能淺顯地把它理解成是童趣幼稚的好玩，而是利用數(shù)學思維，領(lǐng)悟數(shù)學本質(zhì)的好玩.教學要基于教材，但又不能拘泥于教材，要學會變通，學會創(chuàng)造.教學要針對學生，對教材的使用方式不同，學生的參與方式也不同.教學時要結(jié)合教師個人的教學風格，創(chuàng)造性地使用教材.本節(jié)課筆者心中始終裝著學生，通過一個問題十個活動，站在學生的角度，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，層層推進，很接地氣地調(diào)動了學生的積極性，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維，讓學生去發(fā)現(xiàn)學習進而學會學習.

當然，為了避免學生進入“死胡同”，教師應做好示范工作，可以給學生提供足夠的事例，讓學生通過自行檢驗，最后從特殊到一般提煉出概念和原理.在教學中，有了教師有效的指導，學生的參與度會越來越大，思維發(fā)展越來越快，成就感自然也就越來越高了.當學生在教師的適當引領(lǐng)下，自己學會了如何去學習，從什么方向去自主研究，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學的樂趣，并會主動建構(gòu)自己的知識時，那么學生就會處于一種自覺的思維活動中，他的問題解決能力的提高就是水到渠成的事情，我們的教學效果自然也就達到了最大化.

1.張孝達，陳宏伯，李琳.數(shù)學大師論數(shù)學教育［M］.杭州：浙江教育出版社，2007.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A