小學數(shù)學概念教學的策略研究

許中麗

（淮北師范大學教育學院，安徽 淮北235000）

小學階段，學生處于各項能力發(fā)展的初期，對于抽象思維能力較弱、言語表達能力欠缺的小學生來說，掌握集抽象性與概括性于一體的數(shù)學概念具有很大難度，所以如何有效地進行小學數(shù)學概念的教學就成為小學數(shù)學教學研究不變的主題。本文在對小學數(shù)學概念的相關內容進行深入分析的基礎上，嚴格把握小學數(shù)學概念教學的要求及意義，進一步探討小學數(shù)學概念教學的有效策略。

一、小學數(shù)學概念的理論概述

（一）數(shù)學概念的涵義和構成

1.數(shù)學概念的涵義

概念是許多學科領域的研究對象，例如哲學、邏輯學、心理學等。從哲學研究角度來說，所謂數(shù)學概念，就是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反應[1]，表現(xiàn)為數(shù)學語言中的名詞、術語、符號等的準確含義。例如，數(shù)學“周長”的概念是這樣界定的：“封閉圖形一周的長度是它的周長”。

在現(xiàn)實生活中，客觀事物都具有本質屬性和非本質屬性。為客觀事物所特有的、決定其性質的、并將其與其他事物區(qū)別開來的屬性，就是該客觀事物的本質屬性——要研究數(shù)學概念的內涵就必然要研究數(shù)學概念的本質屬性。而那些不能決定事物本質的，甚至可改變的，如顏色、形狀、大小等都是事物的非本質屬性。

2.數(shù)學概念的構成

數(shù)學概念由內涵和外延兩個方面構成。

概念的內涵就是概念所反映的所有對象的共同本質屬性的總和[2]，如三角形概念的內涵就是本質屬性“三條線段”和“圍成”的總和；平行線概念的內涵同樣是本質屬性“在同一平面內”和“不相交”的總和，等等。概念的外延就是該概念所包含的一切對象的總和[3],例如，角概念的外延包括諸如直角、鈍角、銳角等所有全體對象。

概念的內涵和外延之間具有反向對應的關系，若概念的內涵擴大，則其外延就縮小，比如由平行四邊形的概念到菱形的概念，內涵變大，外延就變小。

可以看出，數(shù)學概念教學的基本要求就是“概念明確，包括明確概念的內涵和外延，以及這個概念與其他一些概念之間的關系”[4]。

（二）小學數(shù)學概念的呈現(xiàn)方式

小學數(shù)學概念在構建學生知識體系的過程中起著至關重要的作用，它直接影響著學生對后續(xù)知識的理解與應用，是學生在培養(yǎng)其計算能力、空間想象能力及邏輯思維能力的過程中最先接觸到的知識。所以，要想夯實基礎，必然要狠抓小學數(shù)學概念教學。

根據(jù)皮亞杰的兒童認知發(fā)展階段理論，小學數(shù)學教材中的數(shù)學概念要遵循小學生的年齡特點和認知規(guī)律，要適應學生的身心發(fā)展，不同階段呈現(xiàn)方式不同，具體來說，有以下幾種：

1.圖畫式

在小學低年級，由于學生的身心發(fā)展尚處在前運算階段，知識水平和認識能力有限，具體形象思維占據(jù)主導地位，這個階段的概念采用圖畫的形式呈現(xiàn)，即除概念名稱外完全以圖示的形式來呈現(xiàn)概念。[5]比如“10以內數(shù)的認識”“加法”“減法”等概念都是以這種方式呈現(xiàn)的。這種呈現(xiàn)方式有其自身的優(yōu)點，如形象直觀、便于感知，特別適合低年級的小學生；但也存在它的不足之處，因為圖畫式呈現(xiàn)概念的方式缺乏語言文字描述，如果教師不恰當?shù)匾龑W生用語言表達，就容易導致小學生學習概念時僅停留在圖畫表面，不能深入理解概念的內涵。

2.描述式

在小學中年級，數(shù)學教材中的概念通常采用描述的方法來呈現(xiàn)，即以概念的實際原型借助具體事例和描述性語句相結合來呈現(xiàn)概念[6]，其中的“形”以圖示、例題等形式來表明概念的基本屬性，“字”則以描述性語句作補充或概括性說明，因此，這種概念呈現(xiàn)方式也叫字形結合式。這種方式很常見，小學各年級都可以采用，像小數(shù)的概念、角的概念、自然數(shù)的概念等都是采用的這種方式。

3.定義式

到了高年級，學生的認知已達到具體運算階段，這個階段的小學生已經(jīng)能夠進行心理運算，抽象思維有所發(fā)展，此時的數(shù)學概念主要采用定義的形式呈現(xiàn)，即用簡明而完整的語言揭示概念的本質屬性[7]，借助原有的、學生已經(jīng)掌握的概念來對新的概念進行定義，條件和結論十分明顯。這種概念的呈現(xiàn)方式比較適合于小學中高年級的學生。定義式概念的表述一般比較簡短，教學時要注意剖析關鍵詞的豐富內涵。

（三）小學數(shù)學概念的特點

1.呈現(xiàn)形式的多樣性

如前文所述，小學階段的數(shù)學概念呈現(xiàn)方式多樣。隨著小學生知識量的增加、認知和思維的發(fā)展、接受能力的增強，以圖畫的形式呈現(xiàn)的概念越來越少，取而代之的是描述式概念，而到中年級以后，逐步采用定義式，但有些概念只是初步給出定義。

2.相對的直觀性

數(shù)學概念最大的特點就是具有很強的抽象性和概括性，但處在小學階段的學生，知識經(jīng)驗不足，思維具有形象性，這恰好與數(shù)學概念的抽象性、概括性形成鮮明的對比。所以，小學數(shù)學教材中的大部分數(shù)學概念的定義并不嚴格，而是從學生所了解的實際事例或已有知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀具體的形象，先形成感性經(jīng)驗，讓學生在頭腦中對概念有直觀的印象，進而幫助學生全面把握概念的內涵。

3.教學的階段性

由于認知、思維等發(fā)展的局限，數(shù)學教材中有很多概念是小學生特別是低年級的小學生不容易理解的，所以，教師在教學過程中要通過分階段滲透的辦法來解決。例如，在學習數(shù)數(shù)的過程中，要先將物體分類，實際上，分好的每一類就是一個集合，在數(shù)概念的學習中滲透集合概念，這是集合概念學習的基礎和起點。又如分數(shù)的學習，低年級只是初步認識分數(shù)，到了高年級才要求學生深入理解分數(shù)的意義和性質。

二、小學生數(shù)學概念學習基本模式和影響因素

小學生要學習數(shù)學概念就要明確區(qū)分數(shù)學概念的本質屬性和非本質屬性,并緊緊抓住本質屬性進行思維的抽象概括,把數(shù)學概念內化成自己能夠理解的圖形、符號、語言等，再將本質屬性推廣到這一類事物的所有對象，這樣，學生才能真正獲得概念。

不同的數(shù)學知識有各自的學習形式，數(shù)學概念的學習也一樣，特別是對于小學階段的學生來說，概念獲得的方式就尤為重要。

（一）小學生數(shù)學概念學習的基本模式

小學生獲得概念要通過概念形成和概念同化兩種方式來實現(xiàn)。

1.概念形成的學習模式

所謂概念形成，就是學生在學習概念的過程中，通過分析、比較具體的事物，抽象概括出該事物的本質屬性，然后將其推廣到具有這些本質屬性的某類事物中，明確事物的外延，即從具體到抽象再到具體的過程。

例如,在學習自然數(shù)概念時,在數(shù)數(shù)的過程中,是集合中的每個元素與自然數(shù)一一對應,而不是元素的顏色、形狀、大小與之對應，是把自然數(shù)從具體的事物中抽離出來，用抽象的數(shù)學語言、符號代替。

另外，在概念形成過程中，要明確概念的本質屬性和非本質屬性，還可以通過有效利用變式和反例來解決。通過變換事物的非本質特征來突出事物的本質特征，使學生對概念的獲得達到抽象概括的層面；通過列舉反例，來區(qū)別不同事物的本質屬性，可以加快學生對概念的理解。

2.概念同化的學習模式

概念同化，是在學生原有知識經(jīng)驗基礎之上，給出一類事物的定義，以揭示概念的本質屬性，并使學生充分認識原有概念和新概念之間的聯(lián)系，改變原有知識的認知結構，使舊概念得到改組或改造，從而獲得新的概念。

要想實現(xiàn)概念的同化，需要滿足兩個方面的條件。一是學生原有認知結構中的知識必須與將要學習的新概念有本質上的聯(lián)系，二是學生本身要有將自己已掌握的知識與新概念聯(lián)系在一起的意愿，并能辨別兩者異同。只有滿足客觀條件和主觀意愿，學生才能將新知識納入原有概念體系，形成概念網(wǎng)絡。

例如，學生在學習“最小公倍數(shù)”時，就要按照“倍數(shù)—公倍數(shù)—最小公倍數(shù)”的路線，既要明確區(qū)分它們的不同，又要將三者聯(lián)系在一起，建立概念體系。

（二）影響小學生數(shù)學概念學習的主要因素

影響小學生數(shù)學概念學習的因素有很多,具體來說,可分為三個方面：教師方面的因素、學生自身發(fā)展的限制、用來學習數(shù)學概念的素材的性質。

1.教師方面的因素

在概念教學過程中，有些教師只注重概念教學的結果，而忽視概念的形成過程；只注重概念體系的完整，而忽視小學生的接受能力和思維發(fā)展的階段性特征。這樣就容易導致學生只是記住概念的文字表述，不清楚概念的發(fā)生發(fā)展過程；只知道某些概念是有聯(lián)系的，但卻不能說明到底具有怎樣的聯(lián)系。因此，教師在教學中，一定要綜合學生和學科兩者的特點。

2.學生自身發(fā)展的限制

除了教師的教學方式方法對學生學習數(shù)學概念有影響外，學生自身還存在一些局限性，比如：由于學生年齡小，生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗不豐富、對概念素材缺少閱歷、思維發(fā)展仍以具體形象思維為主、抽象概括能力較弱、語言表達能力欠缺等。以上這些都在一定程度上影響著小學生對概念的學習和掌握。

3.用來學習數(shù)學概念的素材的性質

用來學習概念的素材對小學生學習數(shù)學概念也有影響。因為概念的獲得要通過概念的形成和同化，所以小學生在學習概念時，概念素材要具備小學生形成概念的條件。要達到概念的同化，小學生原有的知識結構中必須有與之相聯(lián)系的舊概念，如若在低年級向學生呈現(xiàn)定義式的概念，由于學生原有知識結構中的概念比較少，那么學生就不能正確把握概念的內涵和外延。

因此，教師在教學數(shù)學概念時，一定要注意這些影響因素，盡量將影響因素的副作用控制到最低，甚至消除，以保證學生能夠真正獲得概念。

三、小學數(shù)學概念教學的有效策略

數(shù)學概念貫穿于整個知識體系中，發(fā)揮著夯實基礎的作用。如果想在數(shù)學的計算、推理和判斷中做到流暢自如，必須在數(shù)學概念的內涵與外延方面進行深入理解，打好基礎。因此，教師在進行概念教學時，就要采用有效的教學策略，使學生準確掌握概念的內涵和外延，為后續(xù)知識的學習做好準備。

（一）突出不同呈現(xiàn)形式的小學數(shù)學概念的內涵，使學生準確理解概念

雖然小學數(shù)學概念的呈現(xiàn)方式不同，不同階段概念的特點也各異，但是數(shù)學概念教學最基本的要求就是概念明確。想要全面揭示數(shù)學概念的內涵，方法之一就是教師根據(jù)小學數(shù)學概念的不同呈現(xiàn)形式，采取相應的教學策略。

1.圖畫式小學數(shù)學概念內涵的揭示策略

根據(jù)圖畫式概念的特點及教學要求，教師在教學過程中，應注意引導學生挖掘圖畫的深層涵義，揭示概念的本質。在學生能夠理解圖畫的基礎上，鼓勵學生用自己的語言表述概念的定義，并引導學生盡量使用數(shù)學語言中的名詞、術語。以圓的概念為例，教師在教學過程中，要適時引導學生揭示圓的本質特征，將圓的表象抽象成數(shù)學語言。通過這樣的方式，一方面學生能夠認識到數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，數(shù)學用語要規(guī)范、貼切；另一方面，學生通過用自己理解的語言來表達數(shù)學概念，還可以鍛煉語言表達能力。

2.描述式小學數(shù)學概念內涵的揭示策略

由于描述式概念又叫字形結合式概念，所以，這種呈現(xiàn)方式的概念既包含“字”，又包含“形”。所謂“形”，即圖形、圖示，相當于圖畫式概念中的圖畫。在教學這類概念時，教師要注意引導學生充分理解“形”的涵義，因為“形”中隱藏著豐富的內涵，蘊含著概念的本質屬性，因此，對“形”的研究一定要透徹。除此之外，圖示僅僅給人以直觀形象，教師要幫助學生將圖示所表明的涵義用自己理解的語言描述出來，再結合概念中的“字”，如此，才能真正將“字”與“形”相結合，給概念下一個純文字式的定義。如直線的概念、小數(shù)的概念，就可以采用這種方法進行學習。

3.定義式小學數(shù)學概念內涵的揭示策略

定義式的概念由于用詞簡練而具有很強的概括性和抽象性，教師在教授概念時一定要讓學生抓住關鍵詞，深層剖析，將專業(yè)名詞、術語通俗化，以便學生理解；必要時，還可通過直觀教具、舉例子、聯(lián)想對比等手段，化抽象為形象；也可有效運用反例和變式，讓學生明確區(qū)分概念的本質屬性和非本質屬性。

（二）針對小學數(shù)學概念的特點，加強直觀教學，幫助學生建立概念

教育教學中，不論是直接經(jīng)驗還是間接經(jīng)驗，都離不開生活。在數(shù)學概念教學中，教師可以借助多媒體、錄像機、模型、實物等各種直觀教具，以及運用觀察、比較、觸摸、演示、測量等直觀方式，使學生形成正確的數(shù)學模型，使抽象的數(shù)學概念得以具體化，使學生更容易理解、把握概念的內涵。概念教學要加強直觀教學，但運用直觀并不是目的，要將學生建立的表征逐步抽象，使數(shù)學概念得到內化。

現(xiàn)代教學論強調，要讓學生動手做科學，而不是用耳朵去聽科學。[8]因此，在小學數(shù)學概念教學中，要增加直觀操作的比重，讓學生在動手操作的過程中感受學習數(shù)學的樂趣，輔以教具、學具，感知概念表象、理解概念內涵。

例如，在數(shù)學概念“米、分米、厘米”的教學中，教師可將提前準備好的長度分別為1米、1分米、1厘米的若干小棒分發(fā)給各小組，每個小組都有3種長度不同的小棒。在教學過程中，教師可先讓學生親自動手摸一摸不同小棒的實際長度，再讓學生用1分米的小棒量一量1米包含幾個1分米，用1厘米的小棒量一量1分米包含幾個1厘米。在教學“毫米”時，直接利用直尺上的刻度，數(shù)一數(shù)1厘米包含幾個1毫米。同樣，可以用類似的方法教學“千米”，教師可帶領學生實地考察，走一走1千米到底是多長的距離。這樣，手、腳、眼、腦并用，不僅讓學生親身感受到了概念，也讓學生在實際生活中找到了概念的原型，有助于學生把握概念的本質。

直觀操作可以提高學生學習數(shù)學的興趣，同時使學生形成學習的動力，這樣便可消除數(shù)學概念的枯燥性，使學生的學習活動變得富有生機和成效。

（三）注重小學數(shù)學概念之間的比較分類，形成概念系統(tǒng)，使學生牢固掌握概念

小學數(shù)學知識的特點是系統(tǒng)性強，前后聯(lián)系密切，但是由于小學生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識的教學往往是分幾節(jié)課或幾個學期來完成的，這樣難免在不同程度上削弱知識間的聯(lián)系。對一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應進行系統(tǒng)的整理，使學生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡，形成良好的認知結構。尤其是中高年級，可以引導學生對概念進行分類，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。

1.同一概念的各種聯(lián)系

根據(jù)不同階段學生的年齡特點，同一概念在不同教學階段的要求是不同的。如分數(shù)概念的教學，在三年級上冊只是初步認識分數(shù)，而到五年級下冊則要求理解分數(shù)的意義及性質；再如方程概念，小學低年級只是滲透，到了高年級才給出明確的概念。教師要弄清教材這樣編排的目的，要對不同階段的同一概念進行整體把握，形成概念體系，建立知識網(wǎng)絡，才能在教學中將知識串聯(lián)起來，不至于脫節(jié)。

另外，同一概念可以用不同方式呈現(xiàn)，各種表達方式給人的感受不同，但都能突出概念的本質屬性。教師應積極鼓勵學生利用不同的方式表達概念，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

2.不同概念之間的聯(lián)系

數(shù)學概念不是孤立存在的，它們在本質上都是有聯(lián)系的，因為數(shù)學中的任何一個概念，只有與其他概念相聯(lián)系，才能生成和發(fā)展。[9]引導學生明確這些概念之間的聯(lián)系，這對概念理解有積極的促進作用，在學習由核心概念衍生出的相關概念時不易導致概念模糊或概念混淆。

（四）小學數(shù)學概念的引入，要注重提供豐富而典型的感性材料

在概念引入的過程中，要注意使學生建立清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎，因此，在小學數(shù)學的概念教學中，無論以什么方式引入概念，都應考慮如何使小學生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學一開始，應根據(jù)教學內容運用直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料，如采用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導學生觀察，并結合實驗，讓學生自己動手操作，以便讓學生接觸有關的對象，豐富自己的感性認識。

如在一節(jié)教學“分數(shù)的意義”的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學難點，事先向學生提供了各種操作材料：1根繩子，4只蘋果圖，6只熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等。通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點，為理解分數(shù)的意義奠定了基礎。

但概念引入時所提供的材料要注意兩點：一是所選材料要確切。例如角的認識，小學里講的角是平面角，可以讓學生觀察黑板、書面等平面上的角。有的教師讓學生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，這對于小學教學要求來說，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識的本質特征。例如直角三角形的本質特征是“有一個角是直角的三角形”，至于這個直角是三角形中的哪一個角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質的。因此教學時應出示不同的圖形，使學生在不同的圖形中辨認其不變的本質屬性。

（五）組織豐富的學習活動，使小學生充分感知，主動建構和理解概念

數(shù)學教材中表示概念的名詞、定義、術語、符號等都是權威專家、機構做出的規(guī)定，教師在組織教學活動時，要采用探究、發(fā)現(xiàn)、驗證等方式學習數(shù)學概念。因為教學方法對于學生接受、理解概念非常重要，所以，在教學這些概念時，教師不能一味地灌輸，不能直接給出結論而不顧概念的形成過程。概念教學，要讓學生經(jīng)歷概念的形成、體驗概念的建立，應采取有意義接受的學習方式，使學生理解概念并主動建構知識體系。

比如，在學習“三角形具有穩(wěn)定性”這一特點時，可以讓學生通過“拉一拉”的方式體驗三角形的這一特性。課堂上教師可以讓學生分別用固定長度的3根小棒釘成一個三角形，用4根小棒釘成一個四邊形，然后讓學生先后拉一拉三角形和四邊形，觀察一下三角形和四邊形的大小、形狀都有哪些變化。學生操作后就會發(fā)現(xiàn)，三角形的大小、形狀不變，而四邊形的大小、形狀發(fā)生了變化。再讓學生改變三角形、四邊形各條邊的順序，分別與之前的三角形、四邊形比較，學生很快就會發(fā)現(xiàn)，改變邊的順序，三角形只是位置和擺放的角度發(fā)生變化，其形狀、大小都沒改變；而四邊形不但位置和擺放的角度發(fā)生變化，其形狀和大小也發(fā)生了變化。這樣，通過學生的實際操作，教師適時引導學生總結出“三角形具有穩(wěn)定性”這一特性，使學生主動獲取數(shù)學知識，并因勢利導引出三角形穩(wěn)定性的概念，幫助學生達到對穩(wěn)定性的透徹理解。而其他多邊形，由于“拉一拉”后，其大小、形狀發(fā)生變化，所以不具備穩(wěn)定性。

組織有意義的學習活動，改變了以死記硬背、灌輸為主的傳統(tǒng)教學方式，取而代之的是以學生為主體、教師為主導的教學方法的改革。

（六）把握概念本質，進行概念解析，使學生深刻全面掌握小學數(shù)學概念

在教學中，教師不僅要教給學生概念的內涵和外延是什么，還要讓學生明白概念是怎么來的、它有怎樣的背景、它的歷史淵源在哪里、它的發(fā)展脈絡怎樣、概念中滲透著什么樣的思想方法及理念等，這就要求教師在授課前就對概念進行學術解構，避免讓學生為學知識而學知識。

想要把握概念本質，除了對概念進行學術解構外，還應對其進行教學解構。要讓學生了解概念的教育形態(tài)和概念的發(fā)生發(fā)展過程，使學生在解決問題的過程中能夠靈活運用學過的概念。

總的來說，在小學數(shù)學概念教學過程中，教師一方面要考慮到不同階段學生的身心發(fā)展狀況，一方面還要認真鉆研教材，了解數(shù)學概念的特點和要求，整體把握數(shù)學概念體系，為采取合適的教學策略做好準備。因此，在概念教學中，只有采取恰當而有效的教學策略，才能達到概念教學的預期目標?！?/p>

[1] 張曉霞.小學數(shù)學教學法[M].北京：中國財政經(jīng)濟出版社,2011：49.

[2][3] 馮光庭,劉忠君.對新課標下數(shù)學概念教學的認識與思考[J].教育藝術在線,2010（4）：55-56.

[4] 袁櫻.立足基礎把握本質有效教學小學數(shù)學概念[J].科技信息,2011（27）：574.

[5] 李星云.小學數(shù)學概念教學的優(yōu)化策略[J].教育評論,2007（2）：79-81.

[6] 李淑玲.淺談小學數(shù)學中的概念教學[J].教育實踐與研究,2001（1）：48-49.

[7] 陳洪慶.小學數(shù)學教學法新編[M].武漢：華中師范大學出版社,2007：35-36.

[8] 陳海霞.如何為小學生數(shù)學思維的發(fā)展打開一扇窗[J].小學教學參考,2013（4）：58-59.

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