初等函數(shù)的Taylor展式在解題中的應(yīng)用

劉海峰++++李英杰

摘 要： 本文以近年來全國碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二）中的題目為例，說明初等函數(shù)的Taylor展式在解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： Taylor展式 無窮級(jí)數(shù) 碩士研究生招生考試

全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱明確指出，數(shù)學(xué)考試的考查目標(biāo)是：要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，具備抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力[1].

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，在微積分的發(fā)展史上處于重要地位.Taylor級(jí)數(shù)對(duì)初學(xué)高等數(shù)學(xué)的理工科大學(xué)生是難點(diǎn)，也是研究生入學(xué)考試的考點(diǎn).本文以近幾年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的題目為例，說明初等函數(shù)的Taylor展式在解題中的應(yīng)用，希望給正準(zhǔn)備考研的同學(xué)一些幫助，同時(shí)也對(duì)正在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)有所啟發(fā).文中用到的初等函數(shù)的Taylor展式，均從最初等的結(jié)果推導(dǎo)得出，我們強(qiáng)調(diào)方法的重要性，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解而不是單純的記憶.

一、應(yīng)用Taylor展式計(jì)算函數(shù)極限

例1：（2014數(shù)學(xué)一No.15）求極限

分析：題目是求分式的極限.由于分子是變限積分確定的函數(shù)，且不易用初等函數(shù)表示，這提示用洛必達(dá)法則計(jì)算該極限，通過對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，簡(jiǎn)化分式.同時(shí)我們觀察到，如果直接求導(dǎo)，那么雖然分子得到簡(jiǎn)化，但分母會(huì)變得復(fù)雜，因此需要先對(duì)分母作等價(jià)無窮大替解：因?yàn)?/p>

所以由等價(jià)無窮大替換及洛必達(dá)法則可知

說明：研究生入學(xué)考試中求函數(shù)極限的題目?？梢杂玫葍r(jià)無窮?。ɑ虻葍r(jià)無窮大）的替換結(jié)合洛必達(dá)法則求解.本題難度值為0.570，區(qū)分二、應(yīng)用Taylor級(jí)數(shù)證明不等式

例2：（2012數(shù)學(xué)一No.15）證明：

分析：證明不等式的方法，教材中常見方法有利用函數(shù)的單調(diào)性、Lagrange公式和最大值最小值等.考慮到本題中函數(shù)的特殊性，利用函數(shù)的Taylor展式會(huì)更簡(jiǎn)潔，也更直接，而且可以證明比該不等式更強(qiáng)的結(jié)論成立.

證明：因?yàn)楫?dāng)-1

所以，

由此即得

所以，要證明的不等式成立.

說明：早在1668年，James Gregory在《幾何原本》中就有

“Euler按照他自己和所有他同時(shí)代人的經(jīng)驗(yàn)堅(jiān)信，所有函數(shù)都能展開成級(jí)數(shù).而事實(shí)上，在那時(shí)，所有解析表達(dá)式給出的函數(shù)的確都可以展成級(jí)數(shù)”，“級(jí)數(shù)只是無窮多項(xiàng)式，并且也就當(dāng)作多項(xiàng)式來處理.”本題難度值為0.397，區(qū)分度為0.434[2].該題同時(shí)為2012數(shù)學(xué)二No.20、數(shù)學(xué)三No.18.

三、應(yīng)用Taylor級(jí)數(shù)的和函數(shù)預(yù)測(cè)根值

兩端同時(shí)加上1，即得

說明：本例先利用Taylor展式觀察出要求的極限值，再給出嚴(yán)格的論證.合情猜測(cè)能提供解決問題的思路，是考生應(yīng)該注意掌握的一個(gè)技巧.本題的難度值為0.290，區(qū)分度為0.548[2].

四、結(jié)語

研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱中考查目標(biāo)的最后一句話說明，數(shù)學(xué)考試的題目相對(duì)比較綜合，不是單純考查某個(gè)知識(shí)點(diǎn).考生在考試時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題目看似簡(jiǎn)單，卻很難用常規(guī)思路解題.但是，只要考生深刻理解數(shù)學(xué)概念，平時(shí)多訓(xùn)練多總結(jié)，就能逐步強(qiáng)化考試大綱中要求的靈活運(yùn)用抽象知識(shí)綜合解決具體問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱（高教版2015年）[M].教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[2]全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試分析（2015年版）[M].教育部考試中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[3]美，M.克萊因著.古今數(shù)學(xué)思想（第2冊(cè)）[M].北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯.1979.8，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.