輥彎成型有限元模擬中接觸問題處理的探討

趙生蓮

摘 要： 冷彎生產(chǎn)技術(shù)是金屬板帶深加工的重要領(lǐng)域。本文對輥彎成型有限元模擬中接觸問題的處理進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞： 冷彎成型 接觸 有限元

接觸問題是一個(gè)非常復(fù)雜的邊界非線性問題，在冷彎成型的過程中，接觸狀態(tài)在不斷發(fā)展和變化，使得接觸的判斷事先難以確定。輥彎成型時(shí)板材與軋輥之間處于不斷接觸、分離、再接觸這樣的不斷變化之中，因此分析時(shí)需要準(zhǔn)確跟蹤接觸前各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)和接觸發(fā)生后這些物體之間的相互作用，正確表述接觸面之間的摩擦行為。產(chǎn)生接觸的兩個(gè)物體必須滿足無穿透約束條件。

1.接觸問題的無穿透約束

在數(shù)學(xué)上施加無穿透接觸約束的方法有拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法和直接約束法。

1.1拉格朗日乘子法（the Lagrange multiplicator method）

拉格朗日乘子法是通過拉格朗日乘子施加接觸體必須滿足的非穿透約束條件的帶約束極值問題的描述方法。這種方法是把約束條件加在一個(gè)系統(tǒng)中最完美的數(shù)學(xué)描述。該方法增加了系統(tǒng)變量數(shù)目，并使系統(tǒng)矩陣主對角線元素為零。這就需要在數(shù)值方案的實(shí)施中處理非正定系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上將發(fā)生困難，需實(shí)施額外的操作才能保證計(jì)算精度，從而使計(jì)算費(fèi)用增加。另外，由于拉格朗日乘子與質(zhì)量無關(guān)，導(dǎo)致這種由拉格朗日乘子描述的接觸算法不能用于顯示動(dòng)力撞擊問題分析。

拉格朗日乘子技術(shù)經(jīng)常用于采用特殊的界面單元描述接觸的接觸問題分析。該方法限制了接觸物體之間的相對運(yùn)動(dòng)量，并且需要預(yù)先知道接觸發(fā)生的確切部位，以便施加界面單元。這樣的額外要求對于撞擊、壓力加工等通常事先并不知道準(zhǔn)確接觸區(qū)域所在的一類問題是難于滿足的。

1.2罰函數(shù)法

罰函數(shù)法是一種施加約束的數(shù)值方法。其原理是一旦接觸區(qū)域發(fā)生穿透，罰函數(shù)便夸大這種誤差的影響，從而使系統(tǒng)的求解（滿足力的平衡和位移協(xié)調(diào)）無法正常進(jìn)行。換言之，只有在約束條件滿足之后，才能求解出有實(shí)際物理意義的結(jié)果。

用罰函數(shù)法施加接觸約束的方法可以類比成在物體之間加非線性彈簧所起的作用。該方法不增加未知量數(shù)目，但增加系統(tǒng)矩陣帶寬。其優(yōu)點(diǎn)是數(shù)值上實(shí)施比較容易，在顯示動(dòng)力分析中被廣泛應(yīng)用。不足是罰函數(shù)選擇的不當(dāng)將對系統(tǒng)的數(shù)值穩(wěn)定性造成不良影響。

1.3直接約束法

用直接約束法處理接觸問題是追蹤物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，一旦探測出發(fā)生接觸，便將接觸所需的運(yùn)動(dòng)約束（即：法向無相對運(yùn)動(dòng)，切向可滑動(dòng)）和節(jié)點(diǎn)力（法向壓力和切向摩擦力）作為邊界條件直接施加在產(chǎn)生接觸的節(jié)點(diǎn)上，直接約束法對接觸的描述精度高，具有普遍適用性，不需要增加特殊的界面單元，也不涉及復(fù)雜的接觸條件。該方法不增加系統(tǒng)的自由度數(shù)，但由于接觸關(guān)系的變化會(huì)增加系統(tǒng)矩陣的帶寬。在處理壓力加工時(shí)采用直接約束法，基于直接約束法的接觸算法是解決接觸物體的通用算法，特別是對于大面積接觸和事先無法預(yù)知接觸發(fā)生區(qū)域的接觸問題，程序能根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)約束和相互作用自動(dòng)探測接觸區(qū)域，施加接觸約束。進(jìn)行接觸計(jì)算時(shí)先進(jìn)行接觸探測，所謂接觸探測是在每個(gè)增量步開始時(shí)，檢查每個(gè)可能接觸的結(jié)點(diǎn)的空間位置，看它是否位于某一接觸段附近，并且離該接觸段的距離足夠近。從理論上講，結(jié)點(diǎn)恰好落在某個(gè)接觸段時(shí)認(rèn)為發(fā)生接觸，但數(shù)值計(jì)算過程中，要精確描述恰好位于某一個(gè)接觸段上比較困難，這要靠接觸容限解決。當(dāng)某結(jié)點(diǎn)落在接觸容限內(nèi)就被認(rèn)為與接觸段相接觸了，對于實(shí)體單元，接觸容限δ可取單元最小尺寸的1/20；對于用于板料成形有限元分析的殼體單元，δ可取最小厚度的1/2。數(shù)值計(jì)算表明，接觸距離容限的大小對接觸求解精度和計(jì)算效率影響很大。接觸距離容限越小，計(jì)算結(jié)果的精度就越高。但是，如果接觸距離容限太小，就難以探測出結(jié)點(diǎn)與接觸片相接觸，而且一旦步長稍大就會(huì)在多點(diǎn)產(chǎn)生穿透，需很細(xì)的時(shí)間分布，這樣在提高精度的同時(shí)增加了計(jì)算費(fèi)用。這時(shí)就要靠偏斜系數(shù)B（0≤B≤1）解決，使接觸距離的誤差范圍發(fā)生偏移，以便在接觸體外表面的接觸距離誤差比內(nèi)表面的接觸距離誤差稍大。

以上所述是針對實(shí)體單元，因?yàn)閷?shí)體單元不僅存在體積閉鎖問題，而且對于薄板成型不如板殼單元計(jì)算效率高。殼體單元是一種結(jié)構(gòu)單元，它與實(shí)體單元不同之處在于它的幾何描述是用中面的有限元網(wǎng)格和中面結(jié)點(diǎn)所在的殼體厚度表示。殼體的接觸探測與實(shí)體單元有所不同，殼體上的結(jié)點(diǎn)發(fā)生接觸是當(dāng)殼體結(jié)點(diǎn)的空間位置加上或減去其厚度一半后正好落入另一個(gè)接觸片的接觸距離誤差區(qū)域時(shí)，就發(fā)生殼體與該接觸片接觸。

2.剛體與變形體之間的接觸約束

變形體與剛體接觸的無穿透約束是通過把接觸節(jié)點(diǎn)自由度轉(zhuǎn)換到剛性接觸段/片的局部坐標(biāo)系后，給定法向位移邊界條件實(shí)現(xiàn)的，用方程描述為：

代表產(chǎn)生接觸的節(jié)點(diǎn)在接觸段/片上的局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，b代表無接觸的其他節(jié)點(diǎn)，當(dāng)然也無坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，對這些局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的節(jié)點(diǎn)，局部法向位移約束應(yīng)等于剛體沿接觸節(jié)點(diǎn)所在的剛體法線方向的位移增量。

3.接觸摩擦分析

圖1 靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力之間的突變

在計(jì)算中若采用這種突變，會(huì)導(dǎo)致數(shù)值困難，本文采用一種修正庫侖摩擦定律，即

σ■≤-uσ■■arctg■·t（3.3）

其中：r■——表示發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)接觸體之間的臨界相對速度。

對于殼單元有f■≤-uf■■arctg■·t（3.4）

對于采用的摩擦模型，問題的關(guān)鍵就在于摩擦系數(shù)的正確選取。如果摩擦系數(shù)選取不正確，則對計(jì)算結(jié)果的精度影響非常大。

4.結(jié)語

本文對輥彎成型接觸問題的處理進(jìn)行了探討，對輥彎成型有限元模擬有一定的實(shí)用價(jià)值。

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