對(duì)分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)的若干思考

王曉紅

一、教學(xué)片段呈現(xiàn)

1.課件出示一塊蛋糕，準(zhǔn)備分給四個(gè)小朋友。

師：怎樣分才比較公平？

生：要平均分成4份。

師：其中的1份可以用什么數(shù)來(lái)表示呢？

生：四分之一（異口同聲）。

師：四分之一是什么數(shù)？你是怎么想到四分之一的？

生：以前學(xué)過了，把一個(gè)物體平均分成若干份，其中的一份可以用幾分之一來(lái)表示。

師：好的，這是以前學(xué)過的知識(shí)，今天在這樣的基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的知識(shí)。

2.出示3塊比薩餅，仍然準(zhǔn)備分給這四個(gè)小朋友。

師：能平均分給這四個(gè)同學(xué)嗎？

生一時(shí)語(yǔ)塞，似有困難，出現(xiàn)短暫思考時(shí)間。

師：看來(lái)同學(xué)們需要商量一下，請(qǐng)大家先在小組里交流，然后全班匯報(bào)。

學(xué)生匯報(bào)時(shí)，大體出現(xiàn)了兩類聲音：

聲音1：每位學(xué)生分得四分之三塊比薩。

聲音2：每位學(xué)生應(yīng)分得這些比薩的四分之一。

師：到底是四分之一，還是四分之三呢？

學(xué)生開始在課堂上大聲地爭(zhēng)辯起來(lái)。

師：誰(shuí)來(lái)說說自己的想法。

生1：我們是這樣想的：把這些比薩平均分給學(xué)生不好分，所以我們先拿出一塊平均分成四份，每一份就是四分之一，總共有3塊比薩，所以共有3個(gè)四分之一，就是四分之三塊了。

生2：我們是把這3塊比薩疊在一起的，看做一個(gè)整體，然后就像分蛋糕一樣，切兩刀，平均分成4份，每人拿一份，所以每人應(yīng)分得這些比薩的四分之一。

生1：你講得不對(duì)，疊在一塊后總共有3塊比薩，分出的應(yīng)該是四分之三塊比薩。

教師對(duì)上述情況早已做了預(yù)設(shè)及準(zhǔn)備，學(xué)生講解的同時(shí)課件演示出這兩種平均分的方法。

師：好的，其實(shí)，這兩個(gè)同學(xué)講得都對(duì)，每人分得的比薩既可以用四分之三塊表示，又可以用這些比薩的四分之一表示，換句話說，這些比薩的四分之一就是四分之三塊。

講臺(tái)下一陣騷動(dòng)，學(xué)生議論紛紛，對(duì)于老師的“總結(jié)陳詞”不理解，也不贊同。

二、診斷分析

以上片段是某位教師在執(zhí)教本節(jié)課的實(shí)錄，不難從中看出，學(xué)生對(duì)于“每人分得的比薩既可以用四分之三塊來(lái)表示，也可以用這些比薩的四分之一來(lái)表示”不理解。其實(shí)，很多老師在教學(xué)本課時(shí)，也會(huì)有這樣的感受，怎樣讓學(xué)生感受到“把由若干個(gè)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，可以用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個(gè)整體里的一份或幾份”？

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？“分?jǐn)?shù)”在五年級(jí)教科書中是這樣定義的：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)?！痹谶@樣的定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)“單位1”是一個(gè)很抽象的，難以理解的概念，它可以是“一個(gè)物體”，也可以是“一個(gè)計(jì)量單位”，還可以是“許多物體組成的一個(gè)整體”，很多情況下的“單位1”是看不見、摸不著的，但客觀存在的。三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)時(shí)“將一個(gè)物體平均分成若干份”，學(xué)生理解起來(lái)比較容易。因?yàn)閷ⅰ耙粋€(gè)物體”看成“單位1”時(shí)很直觀，實(shí)實(shí)在在，清清楚楚。正是因?yàn)椤皢挝?”被通俗易懂地理解成1個(gè)物體，所以“平均分的對(duì)象”學(xué)生很明白，就是“那一個(gè)物體”，“平均分的結(jié)果”學(xué)生也很清楚，就是“那一個(gè)物體的”幾分之一。三年級(jí)下冊(cè)再學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》時(shí)，教學(xué)中將“3塊比薩”平均分給4個(gè)小朋友，出現(xiàn)兩種聲音，其實(shí)是源于對(duì)“單位1”的兩種不同理解：第一種想法認(rèn)為“每人分得的比薩是四分之三塊”，是將一塊比薩看做“單位1”（仍然停留在三上認(rèn)知水平上，將1個(gè)物體看做“單位1”），將其平均分成4份后，每一份是這塊比薩的四分之一，也就是四分之一塊，之后進(jìn)行疊加得出四分之三塊；而第二種想法認(rèn)為“每人分得這些比薩的四分之一”是將3塊比薩看做“單位1”的，平均分成4份，每一份當(dāng)然是這些比薩的四分之一了。數(shù)學(xué)老師細(xì)想這兩種想法都有道理。但如果站在學(xué)生思考的角度來(lái)想，要解決“每人分得多少比薩？”的問題，可能第一種想法更符合孩子的認(rèn)知。因?yàn)閷W(xué)生已有三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，其思考的想法會(huì)受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，自然會(huì)出現(xiàn)“每人分到四分之三塊比薩”的想法。相比之下，第二種想法“將3塊比薩看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體平均分成4份，每一份可以表示為這些比薩的四分之一”反而是比較難理解的，只有少數(shù)優(yōu)生和教師才能接受。教師簡(jiǎn)單的一句“這兩個(gè)同學(xué)講得都對(duì)，每人分得的比薩既可以用四分之三塊來(lái)表示，又可以用這些比薩的四分之一來(lái)表示”能使學(xué)生心悅誠(chéng)服嗎？筆者認(rèn)為要想解決好這個(gè)認(rèn)識(shí)問題，有必要幫助學(xué)生對(duì)“單位1”（即“一個(gè)整體”）的概念進(jìn)行科學(xué)合理的建構(gòu)。

三、教學(xué)思考

要想讓學(xué)生對(duì)于“單位1”的概念有深刻理解，要注重以下幾個(gè)關(guān)系的處理。

1.處理好部分與整體之間的關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)總離不開單位“1”。

“分?jǐn)?shù)”是用來(lái)表示“部分”與“整體”之間的一種關(guān)系。“整體”往往被稱之為“單位1”，相對(duì)應(yīng)的那“部分”就是表示為“單位1”的幾分之一或幾分之幾，它們是緊密聯(lián)系、不可分割的。在理解分?jǐn)?shù)時(shí)，若離開了“單位1”這個(gè)整體概念，那么這種數(shù)學(xué)表達(dá)將變得毫無(wú)意義。所以，三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)時(shí)，我們不僅要讓學(xué)生知曉將一塊蛋糕平均分成兩份，每一份是“二分之一塊蛋糕”，還要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)是“這塊蛋糕的二分之一”，前者可能更多地講清了蛋糕的多少（即具體量），而后者才是“二分之一”這個(gè)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義（即部分與整體之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達(dá)）。本教學(xué)片段中也是這樣，首先要讓學(xué)生充分感知到這些比薩是如何平均分的；平均分后的“部分”與“整體”間的關(guān)系可以怎么表達(dá)，其次要清楚為什么可以說“每人分得這些比薩的四分之一”，最后弄清“這些比薩的四分之一”到底是“多少塊比薩”？

2.處理好分?jǐn)?shù)與平均分之間的關(guān)系，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的前因后果。

將一個(gè)物體或一個(gè)整體“平均分”成若干份，其中的一份或幾份可以用“分?jǐn)?shù)”來(lái)表示。反過來(lái)想，如果“單位1”沒有“平均分”，那么其中的某一部分就不能用“分?jǐn)?shù)”表示[1]。從這個(gè)意義上來(lái)講，“分?jǐn)?shù)”應(yīng)該是“平均分”的結(jié)果，“平均分”則是產(chǎn)生“分?jǐn)?shù)”的必經(jīng)過程。在“分?jǐn)?shù)”產(chǎn)生的過程中，與“單位1”本身含有物體的個(gè)數(shù)是沒有關(guān)系的，而是與平均分的“總份數(shù)”有關(guān)，與“想表示的份數(shù)”有關(guān)。在課例中正是因?yàn)椤斑@個(gè)整體”（即這些比薩）中的3塊（即物體的個(gè)數(shù)）干擾了學(xué)生的思維，學(xué)生注意力牢牢集中在物體個(gè)數(shù)上，沒有想到“已將3塊比薩看做一個(gè)整體”了，使得直觀的實(shí)物與抽象的表達(dá)間產(chǎn)生糾葛，影響到學(xué)生對(duì)于“分?jǐn)?shù)”本質(zhì)的再理解與再認(rèn)識(shí)。

3.處理好實(shí)踐操作與抽象概括的關(guān)系，讓學(xué)生活動(dòng)探究中自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的實(shí)質(zhì)。

從一個(gè)物體的幾分之一到一個(gè)整體的幾分之一，是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一次發(fā)展，也是學(xué)生思維由直觀到抽象的一次重要過渡。為什么多數(shù)學(xué)生頭腦中沒有“一個(gè)整體”及“一個(gè)整體的幾分之一”的概念？筆者認(rèn)為主要是學(xué)生缺乏自主的實(shí)踐操作活動(dòng)，缺乏對(duì)分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)過程，導(dǎo)致對(duì)“一個(gè)整體”、“平均分”、“幾份”、“一份”等若干抽象概念沒有充分理解到位。

在教學(xué)中，為了使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)不斷深化，可以嘗試對(duì)問題情境的呈現(xiàn)方式做改變：創(chuàng)設(shè)孫悟空大鬧蟠桃大會(huì)的故事情境，在離開天庭的時(shí)候，孫大圣給花果山的小猴子們帶回若干個(gè)口袋，告知學(xué)生每個(gè)口袋里面分別裝有吃的、玩的等?，F(xiàn)在想將每個(gè)口袋中的東西（不打開口袋）平均分給4只小猴，該怎么分才公平呢？在師生交流對(duì)話的過程中引導(dǎo)學(xué)生充分理解“平均分”“四份”、“每一份”等概念，最終達(dá)成共識(shí)：每一份都是這個(gè)口袋的四分之一，再組織各小組進(jìn)行實(shí)踐操作活動(dòng)。由于課前發(fā)給每個(gè)4人小組的“口袋”內(nèi)容是不一樣的（主要類型有：①1個(gè)桃畫片、②4個(gè)桃畫片、③8個(gè)桃畫片、④12個(gè)正方形畫片、⑤32個(gè)小三角形圖、⑥64個(gè)小圓片圖……），所以每個(gè)4人小組，平均分得到的“每一份”也是各不相同的：到1個(gè)桃，到2個(gè)桃，發(fā)展到3個(gè)正方形畫片，8個(gè)小三角形圖，16個(gè)小圓片圖……都是“一個(gè)口袋的四分之一”，為什么“每一份”各不相同呢？從而引起學(xué)生對(duì)“單位1”的關(guān)注與理解。學(xué)生的思維逐漸從具體發(fā)展到抽象，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和理解得到了升華，不僅鞏固了如何將整體“平均分”，還在比較中揭示了分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，完成了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)：只要把一個(gè)整體平均分成幾份，其中的一份就能用幾分之一來(lái)表示，而每一份具體是什么，可能會(huì)由于“單位1”的不同而不同。