關(guān)于圓中常用輔助線的添加

文/俞光清

圓的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是中考?？純?nèi)容之一，在中考中關(guān)于圓的問(wèn)題，很多需要添加輔助線幫助解題，下面是關(guān)于圓中輔助線的添加的一些小結(jié)。

一、遇到弦時(shí)，作圓心到弦的距離

遇到關(guān)于弦的問(wèn)題時(shí)，常作圓心到弦的距離，再利用圓心角、弦心距、弦、垂經(jīng)定理等相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解決問(wèn)題

例1 如圖1，MN是⊙O的直徑，AO⊥MN交⊙O于A點(diǎn)，弦AC與MN相交于點(diǎn)D。

求證:AD·AC=2AO2。

分析:要證明AD·AC=2AO2，即證明AD·AB=AO2，過(guò)O點(diǎn)作OB⊥AC于B，由垂經(jīng)定理可知 AB=BC，只需證明AD·AB=AO2，要證明AD·AB=AO2只需證明 Rt△AOB∽R(shí)t△ADO。然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比率關(guān)系就可以得出結(jié)果。

二、遇到有直徑時(shí)，作直徑所對(duì)的圓周角

在解決有關(guān)直徑的問(wèn)題時(shí)，常常作直徑所對(duì)的圓周角，以利用直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)。

例2 如圖2所示，在△MAN中，∠AMN=90°，以AM上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓分別與NA、MA相交于點(diǎn)C、B兩點(diǎn).(1)求證:CA·NA=BA·MA;(2)若CM與⊙O相切，B是MO的中點(diǎn)，當(dāng)NM為3時(shí)，求NA的長(zhǎng)度。

分析:(1)要證AN·AC=AM·AB，只需要證明△AMN∽△ACB，而∠M=90°，所以需要△ACB中有個(gè)直角，而AB是圓O的直徑，所以連結(jié)BC可得∠BCA=90°。然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比率關(guān)系就可以得出結(jié)果。(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì):斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離等于斜邊的一半，可以知道△CBO為等邊三角形。

三、連結(jié)半徑

半徑是圓的重要組成部分，圓中的許多知識(shí)如:“同圓的半徑相等”以及“過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直過(guò)該切點(diǎn)的切線”等都與圓的半徑有關(guān)，利用半徑是常用的添加輔助線方法之一。

例3 如圖3所示，△ACD中，∠CAD=90°，B是AC上一點(diǎn)，以AB為直徑的圓與DC相切于M點(diǎn)，MC=2，BC=1，求MD的長(zhǎng)。

分析:M為切點(diǎn)，連結(jié)OM，則∠OMC=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)，有DM=DA，MO=BO=半徑r，在Rt△CMO中根據(jù)勾股定理或Rt△AMO∽R(shí)t△CAD，即可求出DM。

四、連結(jié)公共弦

在遇到有關(guān)相交圓的問(wèn)題時(shí)，做公共弦有著極大的意義，所以“遇到相交圓，連接公共弦”。

例4 如圖4所示，⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)M、N，O2O1的延長(zhǎng)線與⊙O1相交于B點(diǎn)，MB、NB的延長(zhǎng)線和⊙O2分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，求證:ND=MC。

分析:⊙O1和⊙O2是相交的兩圓，由連心線與公共弦的關(guān)系可知BO2為角平分線，然后利用全等三角形可得出BM=BN和BC=BD，從而得出結(jié)果。

五、作圓心連接線

兩圓相交時(shí)，圓心連接線垂直平分兩圓的公共弦;兩圓相切時(shí)，圓心連接線一定經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。通過(guò)作兩圓的圓心連接線，可以將公共弦、兩圓半徑、圓心距之間的關(guān)系緊密聯(lián)系。

例5 如圖5所示:⊙O1與⊙O2相切于點(diǎn)M，⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為3r，AB是⊙O1和⊙O2的公共切線，A和B分別是兩圓的切點(diǎn)，求:(1)切線AB的長(zhǎng)度;(2)切線AB與弧MA弧、MB所構(gòu)成陰影部分的面積。

分析:(1)連結(jié)O1O2、O1A、O2B，由題意可知O1N=AB，然后利用兩圓半徑關(guān)系和勾股定律可得出結(jié)果;(2)陰影部分面積為梯形面積減去倆弧形面積。

六、作公共切線

分析:兩圓相切時(shí)，過(guò)公共切點(diǎn)有一條公共切線，該公切線在在兩圓之中有著橋梁的作用，在例6中作公切線MN，可以緊密聯(lián)系兩圓，所以，兩圓相切時(shí)，過(guò)切點(diǎn)作公共切線是常用添加輔助線的方法。

例6 如圖6所示，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，MN是⊙O1與⊙O2的公共切線，M、N分別為兩圓切點(diǎn)。求證:MP⊥NP

分析:過(guò)切點(diǎn)P作公切線PA交MN于A點(diǎn)，由切線性質(zhì)可知AM=AP=AN，然后三角形內(nèi)角和可知∠MPN=90°

七、判定切線有兩種情況:是否與圓相交未知的情況下作垂線;確定與圓相交作半徑，由切線的判定定理:“經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！笨芍卸ㄒ粭l直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條:(1)直線經(jīng)過(guò)半徑的外端，(2)直線與半徑垂直。

(一)無(wú)交點(diǎn)作垂線。如果條件沒(méi)有指出與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)系切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)度與半徑相等。

例7 如圖7，MN是⊙O的直徑，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，若∠AOB=90°。求證:AB是⊙O的切線。

分析:過(guò)圓心O作OD⊥AB，只要證明OD與半徑相等。因?yàn)镺M是半徑，若能證OD與OM相等即可。而OD和OM分別在△ADO和△AMO中，只需證明△AMO與△ADO全等，取AB的中點(diǎn)C，連結(jié)OC可知OC∥AM，∠AOB為直角可知CO=CA，再聯(lián)系平行線的性質(zhì)可得到AO為角平分線，可證明ADO≌△AMO。

(二)園上有點(diǎn)連接圓心。當(dāng)直線與圓相交時(shí)時(shí)，聯(lián)系切線的判定定理，只要連接交點(diǎn)和圓心，再判定直線與半徑是否垂直。

例8 如圖8，以MN為直徑做⊙O，BN與⊙O相切，N是切點(diǎn)，OB與弦MA平行，求證:BA與⊙O相切。

分析:A是⊙O上的點(diǎn)，有點(diǎn)連接圓心，連接AO，只需證明OA⊥AB。由平行線的性質(zhì)可推理出∠BOA=∠AOB，從而得出△AOB≌△NOB。