變力做功的八種解題方法

王理想

摘 ? 要：認(rèn)真研究總結(jié)物理學(xué)中的解題思想方法、策略技巧，并能在實際解題過程中靈活應(yīng)用，可收到事半功倍的效果。本文介紹變力做功的八種解題方法。

關(guān)鍵詞：變力;做功;解題;方法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1003-6148（2015）1-0049-4

1 ? ?微元求和法

把整個過程分成極短的很多段，在極短的每一段里的位移可以看成是直線，力可以看成是恒力，則可用功的公式W=Fxcosθ求每一段元功，再求每小段上做的元功的代數(shù)和，即整個過程的總功。

例1 ?解放前后，機械化生產(chǎn)水平較低，人們經(jīng)常通過“驢拉磨”的方式把糧食顆粒加工成粗面來使用，如圖1所示。假設(shè)驢拉磨的平均用力大小為500 N，運動的半徑為1 m，則驢拉磨轉(zhuǎn)動一周所做的功為多少？

圖1 ?驢拉磨

解析 ?將圓周分成很多小段x1，x2，…，xn，拉力在每小段上做的功為W1，W2，…，Wn。因拉力F大小不變，方向始終與物體所在點的速度同向，即力與位移夾角為0°，所以：

W1=Fx1，W2=Fx2，…，Wn=Fxn，

W總=W1+W2+…+Wn=F（x1+x2+…+xn）=F·2πR=1000π J

2 ? ?圖像法

F-x圖像：在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力F，橫坐標(biāo)表示物體在力的方向上的位移x，則其F-x圖像圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于該段位移內(nèi)力對物體做的功（如圖2）。

圖2 ?F-x圖像

P-t圖像：在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力F的功率P，橫坐標(biāo)表示力作用在物體上的時間t，則其P-t圖像圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于該段位移內(nèi)力對物體做的功（如圖3）。

圖3 P-t圖像

例2 ?放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內(nèi)其速度與時間的圖像和該拉力的功率與時間的圖像分別如圖4甲、乙所示。則0～6 s內(nèi)物體的位移大小為多少？0～6 s內(nèi)拉力做的功為多少？

甲 ? ?v-t圖像 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙 ?P-t圖像

圖4 ?v-t圖像和P-t圖像

解析 ?由v-t圖像面積表示相應(yīng)時間內(nèi)的位移，得0～6 s內(nèi)物體的位移大小為30 m;由P-t圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積在數(shù)值上等于該段位移內(nèi)力對物體做的功則W=×2×30+4×10=70 J，所以0～6 s拉力做的功為70 J。

3 ? ?轉(zhuǎn)換變力功為恒力功法

變力做功直接求解時，通常都比較復(fù)雜，但若通過轉(zhuǎn)換研究的對象，可以使問題的矛盾轉(zhuǎn)化，有時就可轉(zhuǎn)化變力功為恒力功，可以直接用W=Fxcosθ求解。

例3 ?人在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質(zhì)量m=50 kg的物體，如圖5所示。開始繩與水平方向夾角為60°，人勻速提起重物由A點沿水平方向運動2 m到達(dá)B點，此時繩與水平方向成30°。求人對繩的拉力做了多少功？（g取10 m/s2）

圖5 ?通過定滑輪吊起物體

解析 ?人對繩的拉力做的功與繩對物體的拉力做的功是相同的，又因為人勻速提升物體，故物體處于平衡狀態(tài)，可知繩上拉力F=mg。所以，人對繩的拉力做功等于重物上升高度Δh中克服重力做的功。Δh由幾何關(guān)系易求，所以，人對繩子的拉力做的功：

W=mgΔh=1000（-1） J。

4 ? ?轉(zhuǎn)化變力功為平均力功法

在求解變力功時，若物體受力的方向不變，而大小隨位移是成線性變化的，即力均勻變化時，則可以認(rèn)為物體受到一大小為F=的恒力作用，F(xiàn)、F分別為物體初、末態(tài)所受到的力，然后用公式P=Fvcosθ求此力所做的功。

例4 ?把長為l的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為E0，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問此釘子全部進入木板需要打擊幾次？

解析 ?在把釘子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服阻力做功，而阻力與釘子進入木板的深度成正比。先求出阻力的平均值，便可得阻力做的功。釘子在整個過程中受到的平均阻力為：

，釘子進入深度l過程中克服阻力做的功為：

，設(shè)全過程共打擊n次，則給予釘子的總能量：

所以

5 ? ?倍增法

采用如圖6所示的裝置探究功與物體速度變化的關(guān)系。實驗中用橡皮筋的彈力拉動小車做功使小車獲得動能，探究橡皮筋做的功與小車速度的關(guān)系。橡皮筋的彈力是變力，中學(xué)教材上沒有現(xiàn)成的公式可以計算功的大小。即使知道彈力功的公式也不能用它進行計算，因為橡皮筋的勁度系數(shù)也是變化的。但是，在相同的位移情況下，用一條橡皮筋做的功為W，用兩條橡皮筋時做的功就是2W，依此類推可以找出功和速度的對應(yīng)關(guān)系。

圖6 ?用橡皮筋拉動小車運動

6 ? ?機械能守恒法

機械能守恒定律內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。應(yīng)用機械能守恒定律，無需關(guān)注中間過程的細(xì)節(jié)，只需考慮初、末狀態(tài)的機械能或動能、勢能的變化。因此，機械能守恒定律對解決曲線運動問題應(yīng)用廣泛，經(jīng)常與圓周運動、平拋運動規(guī)律相結(jié)合解題。

例5 ?如圖7所示，質(zhì)量m=2 kg的小球系在輕細(xì)橡皮條一端，另一端固定在懸點O處。將橡皮條拉直至水平位置OA處（橡皮條無形變）靜止釋放，小球達(dá)O點正下方h=0.5 m處的B點時的速度為v=2 m/s。求小球從A運動到B的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取g=10 m/s2。

圖7 ?小球系于橡皮繩端點

解析 橡皮條的彈力是變力，所做的功是變力功無法由公式直接求得。取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對象。在小球從A運動到B的過程中，只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力做功，機械能守恒。取過B點的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時的彈性勢能為零，設(shè)在B時橡皮條的彈性勢能為EP，由機械能守恒定律得mgh=mv2+EP，帶入數(shù)值得EP=6 J，橡皮條的彈性勢能增加6 J，故橡皮條的彈力對小球做功-6 J。

7 ? ?動能定理法

動能定理內(nèi)容：力在一個過程中對物體所做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于求恒力功也適用于求變力功。因使用動能定理可由動能的變化來求功，所以，動能定理是求變力功的首選。

例6 ? 如圖8所示，某人乘雪橇從雪坡經(jīng)A點滑至B點，接著沿水平路面滑至C點停止，人與雪橇的總質(zhì)量為70 kg。表中記錄了沿坡滑下過程中的有關(guān)數(shù)據(jù)，請根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)求人與雪橇從A到B的過程中，損失的機械能為多少？

圖8 ?人乘雪橇從雪坡下滑

解析 ?物體從A運動到B的過程中，損失的

機械能等于克服摩擦力所做的功。物體從A運動到B的過程中所受的彈力要發(fā)生變化，摩擦力大小隨之變化，方向也在變。所以，克服摩擦力所做的功不能直接由做功的公式求得。對從A到B過程運用動能定理即可求出物體在AB段克服摩擦力所做的功，即從A到B的過程中損失的機械能。設(shè)物體在AB段克服摩擦力所做的功為Wf，由動能定理得： ? ? ? ?，帶入數(shù)值得Wf=9100 J。所以，人與雪橇從A到B的過程中，損失的機械能為9100 J。

8 ? ?能量守恒法

能量守恒定律內(nèi)容：能量既不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到別的物體，在轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變。應(yīng)用能量守恒定律的基本思路：①某種形式的能減少，一定存在其他形式的能增加，且減少量和增加量一定相等;②某個物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。

例7 ? 如圖9所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點相切，半圓形導(dǎo)軌的半徑為R。一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過B點進入導(dǎo)軌的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能到達(dá)最高點C。（不計空氣阻力）試求：

圖9 ?物體運行軌道圖示

1）物體在A點時彈簧的彈性勢能;

2）物體從B點運動至C點的過程中產(chǎn)生的內(nèi)能。

解析 ?1）設(shè)物體在B點的速度為vB，所受彈力為FNB，

則有：

又FNB=8mg，

由能量守恒定律可知：

彈性勢能

2）設(shè)物體在C點的速度為vC，由題意可知：

物體由B點運動到C點的過程中，由能量守恒定律得：

解得Q=mgR。

（欄目編輯 ?陳 ?潔）