尋找“那些數(shù)”背后的意蘊

穆傳慧

【設(shè)計理念】

綜合性知識有助于我們運用所學(xué)的知識有效地解決實際問題。然而，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程不太注意與學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活相聯(lián)系，對數(shù)學(xué)應(yīng)用的處理則明顯帶有人為編造的痕跡。幾何、代數(shù)都是按著各自的學(xué)科體系以直線的結(jié)構(gòu)發(fā)展，即使有些聯(lián)系也比較牽強，更不要奢談綜合運用了。這在一定程度上造成了我們的學(xué)生“強于基礎(chǔ)、弱于應(yīng)用，強于答卷、弱于動手，強于考試、弱于創(chuàng)造”的局面。

或許基于上述原因，“綜合與實踐”作為新課改的一個特色和亮點“橫空出世”了。這一領(lǐng)域溝通了生活中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使得幾何、代數(shù)和統(tǒng)計與概率的內(nèi)容有可能交織在一起出現(xiàn)，使發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力成為可能。面對這一陌生而又熟悉的領(lǐng)域，有些教師如“霧里看花”而未能識得“廬山真面目”，在深一腳、淺一腳地行走著。

《走近無理數(shù)》一課，是我根據(jù)學(xué)生的需要和自己對“綜合與實踐”教學(xué)的理解開發(fā)設(shè)計的。源于我在校園里偶然聽到兩個高年級學(xué)生的“嘀咕”——生1：怎么會有這樣的數(shù)，無限的，還不循環(huán)？生2：是啊，沒有規(guī)律，太亂了，算不出準確的結(jié)果……好奇的我?guī)е奥殬I(yè)敏感”上前詢問，原來他們是五年級的學(xué)生，剛剛學(xué)習(xí)了圓周率π。圓周率π是學(xué)生接觸的第一個無理數(shù)。相當長的一段時間內(nèi)，無理數(shù)對人們來說就是一團迷霧：它是否真的存在于現(xiàn)實世界？它到底是不是數(shù)？如果是數(shù)又該怎樣表示？諸如此類的問題始終困擾著人們，成了人們思想上難以逾越的鴻溝。

時至今日，“無理數(shù)”這個名稱仍給許多中學(xué)生造成心理上的疑惑：既然是“實實在在”的數(shù)，為什么稱它為“無理數(shù)”？如果它的存在本身就“不合理”，為什么還要下大力氣去研究它呢？由此想來，對于剛剛接觸“無理數(shù)”的小學(xué)生來說，他們心中充滿疑惑應(yīng)該是情理之中的事情。只是作為教師的我們，考慮過學(xué)生的“困惑”嗎？對于學(xué)生的“嘀咕”，我也不禁犯起了嘀咕：究竟有多少學(xué)生有這樣的疑惑呢？我們該不該為學(xué)生解惑？什么時候解？如何解呢？我隨機對所在學(xué)校五年級5個班做了一個調(diào)查：

我們剛剛學(xué)習(xí)了圓周率π，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，對于這樣的數(shù)，你內(nèi)心的感受是什么？

A.很奇怪 B.不奇怪 C.沒想過

請在以上三個選項中選出你內(nèi)心最真實的感受。

統(tǒng)計結(jié)果還是讓我大吃一驚——5個班274人共有225人選A，占總?cè)藬?shù)的82.1%，選B與選C的人數(shù)則分別只占總?cè)藬?shù)的12.8%與5.1%。

學(xué)生有惑，豈能不解？我翻閱了大量資料，結(jié)合學(xué)生在小學(xué)階段接觸的兩個無理數(shù)（五年級下冊的“圓周率”和六年級上冊的“黃金分割數(shù)”），反復(fù)推敲，幾經(jīng)取舍，決定為讓學(xué)生在小學(xué)畢業(yè)前消除心中的疑惑，做一番“拋磚引玉”的嘗試：

【教學(xué)過程】

一、情境與導(dǎo)入：喚醒心靈的文化訴說

1.課件演示講述愛因斯坦12歲時，在雅各布叔叔的引導(dǎo)下，獨立探索證明“勾股定理”的故事。

2.學(xué)生獨立測量相關(guān)數(shù)據(jù)并發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后隱藏的奧秘。

二、探索與實踐：“數(shù)學(xué)教育”的價值實現(xiàn)

1.走近“第一個無理數(shù)”：感受數(shù)學(xué)的經(jīng)典。

師：誰愿意與大家一起分享你的探索成果？

生1：我發(fā)現(xiàn)3的平方加4的平方等于5的平方。

生2：我發(fā)現(xiàn)直角三角形底的平方加上高的平方等于斜邊的平方。

師：這樣的發(fā)現(xiàn)就更深入了。（生鼓掌）這就是雅各布叔叔告訴小愛因斯坦的秘密……畢達哥拉斯學(xué)派提出了一個響亮的口號——“萬物皆數(shù)也”，你怎么理解這句話？（生答略）

師：世間萬物，都可以用數(shù)來刻畫和表達。這句話說得多好啊，非常有道理！但當時的畢達哥拉斯學(xué)派卻犯了個錯誤，在他們心中，世間萬物都歸結(jié)為整數(shù)或分數(shù)，沒有其他的數(shù)。學(xué)派中一位非常優(yōu)秀的青年叫希帕索斯，在用“勾股定理”研究正方形的時候，竟然發(fā)現(xiàn)了一個新的數(shù)——無限不循環(huán)小數(shù)，大家猜一下，希帕索斯得到了什么待遇呢？

生：他受到了人們的頂禮膜拜。

師：握握手！我非常同意你的觀點。但事實上，他被拋進了大海！因為他動搖了學(xué)派“萬物皆數(shù)”的信仰……千百年來，很多人覺得這個數(shù)沒有道理，甚至到了十五世紀，大畫家達·芬奇還說它是一個無理的數(shù)，所以無理數(shù)這個名字就流傳至今了。今天，就讓我們一起走近無理數(shù)。

2.走近圓周率：體驗數(shù)學(xué)的理性精神。

師：猜一猜，算得最準確的同學(xué)能算到多少？

生1：3.14。

生2：3.12與3.16之間。

（出示電子表格，反饋學(xué)生測量出的周長與直徑數(shù)據(jù)，表格自動計算出π值。）

師：離3.14還挺遠的，為什么呢？

生1：因為我的工具很簡陋，還因為我們測量得不夠細心。

生2：看來圓周率的測量與計算不是我們想象得那樣簡單。

3.走近黃金比：享受數(shù)學(xué)的神奇美妙。

（學(xué)生測量作業(yè)紙上的正五角星形并計算。然后反饋交流，大多數(shù)學(xué)生算出了0.618。）

師：神奇的黃金分割在我們生活中有很多很多，誰知道？（生答略）

師：其實在我們身上就有0.618（隨機選擇一位學(xué)生的數(shù)據(jù)，下半身與全身各增加4厘米后計算，學(xué)生討論為何結(jié)果接近0.618），所以啊，舞臺上，踮起腳尖的芭蕾舞演員顯得那樣優(yōu)雅美麗；法國的埃菲爾鐵塔、中國的東方明珠塔無不煥發(fā)出黃金分割比的魅力。（生贊嘆）

師：神奇嗎？讓神奇繼續(xù)。音樂被譽為“思維著的聲音”，許多世界名曲的高潮部分都在整個樂曲的0.618處。世界名畫《蒙娜麗莎》畫面的主體部分占整個畫面的0.618，有愛好者竟然僅從蒙娜麗莎臉上就找到了十幾處黃金分割比。（生贊嘆）……

三、總結(jié)與評價

師：此時此刻，你心中的無理數(shù)是怎樣的？

生1：無理數(shù)很神奇。

生2：無理數(shù)不是沒有道理的數(shù)。

生3：無理數(shù)有理。

師：好一個“無理數(shù)有理”！同學(xué)們真了不起！要知道人類歷史上，從發(fā)現(xiàn)第一個無理數(shù)到發(fā)出這樣的吶喊經(jīng)過了幾千年?。∽屛覀円黄鸷艉啊?/p>

生（齊）：無理數(shù)有理！

【課后思考】

這節(jié)課的價值到底在哪里？它是如何實現(xiàn)的？為了數(shù)學(xué)教育的需要，我們應(yīng)該怎樣對數(shù)學(xué)成果進行再開發(fā)、再創(chuàng)造？課后，我一直在冷靜地思索著這諸多問題。《走近無理數(shù)》這節(jié)“綜合與實踐”活動課，在“大數(shù)學(xué)”視野下，是否應(yīng)該“返璞歸真”再度思考三個問題：教什么？怎樣教？為什么這樣教？由對《走近無理數(shù)》一課的總結(jié)，我自然而然延伸到對“綜合與實踐”教學(xué)的反思。在我心中，“綜合與實踐”教學(xué)應(yīng)該是這樣的：

1.綜合性與實踐性相統(tǒng)一。

綜合性是指數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，或者是不同領(lǐng)域的知識與技能的綜合，還可以是同一領(lǐng)域不同知識和技能的結(jié)合。綜合性知識可以讓學(xué)生與問題意識、數(shù)學(xué)意識、創(chuàng)新意識無限親近。實踐與操作是培養(yǎng)學(xué)生實踐能力的重要途徑，可以讓學(xué)生“動”起來——動手、動腦、動口，調(diào)動學(xué)生多種感官協(xié)同發(fā)揮作用，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.凸顯探索性與價值性。

學(xué)習(xí)知識的最佳途徑是讓學(xué)生自己去探索與發(fā)現(xiàn)。同時，在與他人合作的過程中，體驗合作的力量與快樂。價值性其實體現(xiàn)著一種需要性，可以幫助學(xué)生更全面地了解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在學(xué)生未來的職業(yè)與生活中發(fā)揮作用，成為學(xué)生終身受用的價值體系，是眼前利益與長遠規(guī)劃的辯證統(tǒng)一。

3.展露靈活性與開放性。

靈活性是指“綜合與實踐”教學(xué)不應(yīng)局限在課內(nèi)，要課內(nèi)與課外、校內(nèi)與校外相結(jié)合。設(shè)計活動時，要注意充分利用社會教育、家庭教育的資源和優(yōu)勢，使學(xué)生廣泛聯(lián)系生活和生產(chǎn)實際以及個人經(jīng)驗獲得知識和教育。開展“綜合與實踐”教學(xué)的時間與空間都是開放的。不同層次的學(xué)生都能參與，不同學(xué)生在問題解決的活動中都能展示不同的個性和思考品質(zhì)。

在具有挑戰(zhàn)性、價值性、探索性、開放性的情境中學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識、發(fā)展策略意識、增強應(yīng)用能力、錘煉思維品質(zhì)、催生創(chuàng)新思維、提升綜合素養(yǎng)，最終實現(xiàn)從數(shù)學(xué)的“本位主義”到“大數(shù)學(xué)理想”的跨越。

（作者單位：江蘇省連云港師范高等?？茖W(xué)校第二附屬小學(xué)）