關(guān)鍵鏈的隨機(jī)性及在工程項(xiàng)目工期優(yōu)化中應(yīng)用研究

閆文周，劉振超，任格葉

（西安建筑科技大學(xué)管理學(xué)院，陜西 西安 7100555）

項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)資源沖突現(xiàn)象，影響工程項(xiàng)目的順利進(jìn)行．基于CPM的傳統(tǒng)進(jìn)度管理方法，在解決資源約束方面具有明顯的局限性．而基于約束理論的關(guān)鍵鏈技術(shù)較好地解決了此問(wèn)題，關(guān)鍵鏈技術(shù)的實(shí)質(zhì)是解決約束下的資源優(yōu)先分配問(wèn)題亦稱工期優(yōu)化問(wèn)題．但由于受到各種不確定因素的影響，使得工序作業(yè)時(shí)間表現(xiàn)出隨機(jī)性，從而導(dǎo)致關(guān)鍵鏈具有隨機(jī)性，即關(guān)鍵鏈的總工期是一個(gè)隨機(jī)變量．如何既考慮資源約束條件，又考慮關(guān)鍵鏈的隨機(jī)性．為此，應(yīng)用同分布中心極限定理研究了關(guān)鍵鏈總工期的概率分布，實(shí)現(xiàn)了關(guān)鍵鏈技術(shù)與計(jì)劃評(píng)審技術(shù)的結(jié)合，較好地解決了資源有限條件下關(guān)鍵鏈總工期的完工概率問(wèn)題．該方法對(duì)實(shí)際施工具有重要的指導(dǎo)意義．

1 關(guān)鍵鏈法

關(guān)鍵鏈方法是綜合考慮人為因素、資源沖突問(wèn)題以及任務(wù)之間邏輯關(guān)系等因素對(duì)項(xiàng)目進(jìn)度進(jìn)行管理的一種方法[1]，將人為因素、約束因素等不確定因素引入到關(guān)鍵鏈項(xiàng)目管理中，盡可能的先給關(guān)鍵工作安排資源，在關(guān)鍵工序與非關(guān)鍵工序同時(shí)共用同一資源時(shí)，必然是安排給關(guān)鍵工序[2-3]．關(guān)鍵鏈法解決資源沖突問(wèn)題主要包括兩個(gè)方面：關(guān)鍵鏈的識(shí)別和緩沖區(qū)的設(shè)置．

1.1 關(guān)鍵鏈的識(shí)別

關(guān)鍵鏈識(shí)別是在充分考慮資源約束和工序邏輯關(guān)系下對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行資源分配，不同的分配算法會(huì)產(chǎn)生不同的關(guān)鍵鏈，應(yīng)用較普遍的算法之一為啟發(fā)式算法．啟發(fā)式ACTIM值算法的流程為[4-5]：

Step l:按照網(wǎng)絡(luò)圖繪制規(guī)則及工序間的邏輯關(guān)系繪制網(wǎng)絡(luò)圖．

Step 2:估計(jì)每個(gè)工序的作業(yè)時(shí)間，根據(jù)項(xiàng)目特點(diǎn)和工程量大小通過(guò)理論計(jì)算，或根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料、專家經(jīng)驗(yàn)等估計(jì)各工序作業(yè)時(shí)間的期望和方差．

Step 3:按照傳統(tǒng)的CPM方法找出工程項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑，得到該工程項(xiàng)目的總工期及各個(gè)工序的最遲開(kāi)始時(shí)間．

Step 4:根據(jù)ACTIM準(zhǔn)則得出每個(gè)工序的ACTIM值，計(jì)算公式如式（1）所示．

其中：ACTIM為資源分配優(yōu)先順序；T總為總工期；LSi-j為工序i-j的最遲開(kāi)始時(shí)間．

Step 5:將ACTIM值由大到小排序，然后確定每個(gè)工序的開(kāi)始與結(jié)束時(shí)間，并判斷工序中資源使用量是否沖突，如果發(fā)生沖突，則需要調(diào)整，也就是改變邏輯關(guān)系．

Step 6:依照ACTIM值的排序，確定下一個(gè)工序的開(kāi)始、結(jié)束時(shí)間．

如果 Rij+Rik＞Rc(aij＞aik)，則這個(gè)工序?yàn)?/p>

Step 7:對(duì)于其余的工序重復(fù)Step 6 即可，直至所有工序的開(kāi)始、結(jié)束時(shí)間都確定完成．

Step 8:得到網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵鏈．

1.2 緩沖區(qū)的設(shè)置

緩沖區(qū)的設(shè)置主要是為了吸收消除安全時(shí)間后帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)以及通過(guò)緩沖區(qū)來(lái)監(jiān)控進(jìn)度計(jì)劃的執(zhí)行情況．我們采用根方差法計(jì)算緩沖區(qū)大小[6]．工序作業(yè)時(shí)間的方差為2

iσ，可以求出項(xiàng)目緩沖區(qū)（PB）大小以及匯入緩沖區(qū)（FB）的大?。?/p>

其中， CC為關(guān)鍵鏈上的工序作業(yè)時(shí)間．

2 關(guān)鍵鏈的隨機(jī)性

由于受到各種不確定因素的影響，各工序作業(yè)時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，從而導(dǎo)致各工序最早開(kāi)始時(shí)間、最遲開(kāi)始時(shí)間以及網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃總工期也是隨機(jī)的，ACTIM值亦是一個(gè)隨機(jī)變量，最終導(dǎo)致關(guān)鍵鏈具有隨機(jī)性．

假設(shè)各工序作業(yè)時(shí)間服從同一分布，關(guān)鍵鏈上各工序作業(yè)時(shí)間期望值為iμ、方差為2iσ，根據(jù)期望與方差性質(zhì)，總工期的期望μ和方差2σ可得：

僅知道總工期的期望和方差，尚無(wú)法求得完工概率，還需確定總工期的概率密度函數(shù)．根據(jù)同分布中心極限定理，當(dāng)關(guān)鍵鏈上的工序充分多時(shí)，總工期趨于正態(tài)分布．

總工期的完工概率為

其中：P為滿足某指定工期的完工概率；rT為指定工期或合同工期；μ為關(guān)鍵鏈的期望工期；2

σ為關(guān)鍵鏈的工期的方差值．

由此，即可求得在某指定工期Tr下的完工概率，以及某要求概率下的完工期．

當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖中有多條關(guān)鍵鏈時(shí)，各關(guān)鍵鏈的期望工期相等，但在某指定工期下的完工概率不等，此時(shí)，應(yīng)選擇完工概率最小的關(guān)鍵鏈作為重點(diǎn)控制對(duì)象．網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的總完工概率為各關(guān)鍵鏈完工概率之積．

3 實(shí)例驗(yàn)證

(1)已知條件：某工程的相關(guān)資料如表1所示．假設(shè)資源限量 Ra= 1 2單位，指定工期Tr=14.3d．

表 1 工序作業(yè)時(shí)間相關(guān)參數(shù)Tab.1 Operation time related parameters

(2)繪制網(wǎng)絡(luò)圖．根據(jù)表1 所示的已知條件，繪制的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃如圖1所示，箭線上方的數(shù)字表示工序的資源強(qiáng)度，箭線下方的數(shù)字表示工序作業(yè)時(shí)間的期望值．

圖 1某項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖Fig.1 Network plan for a project

(3)識(shí)別關(guān)鍵鏈．采用 ACTIM啟發(fā)式算法識(shí)別關(guān)鍵鏈，根據(jù)各工序作業(yè)時(shí)間期望值確定 ACTIM值，并計(jì)算各工序開(kāi)始時(shí)間、結(jié)束時(shí)間，結(jié)果如表2所示．

表2 資源影響下關(guān)鍵鏈的識(shí)別過(guò)程及計(jì)算工期Tab.2 The identification process and calculation period of the critical chain under the influence of resources

根據(jù)上述方法，可以得到 A-C-E-G和 A-D-F兩條關(guān)鍵鏈（虛線部分），期望工期均為13d，如圖2、圖3所示．

圖2 關(guān)鍵鏈A-D-F示意圖Fig.2 Diagram of critical chain A-D-F

圖 3關(guān)鍵鏈A-C-E-G示意Fig.3 Diagram of critical chain A-C-E-G

(4)確定完工概率．有兩條關(guān)鍵鏈，分別計(jì)算：① 對(duì)關(guān)鍵鏈 A-D-F而言：

該線路在指定工期14.3d內(nèi)完工的概率，由式（4）可得P1=0.88．

②對(duì)關(guān)鍵鏈A-C-E-G而言：

該線路在指定工期14.3d內(nèi)完工的概率P2=0.79．則，整個(gè)計(jì)劃在14.3d完工的概率為

由于P2＜P1，應(yīng)選擇關(guān)鍵鏈A-C-E-G作為重點(diǎn)控制對(duì)象．

（5）以關(guān)鍵鏈 A-C-E-G為對(duì)象，設(shè)置緩沖區(qū)．采用根方差法，在關(guān)鍵鏈的末尾設(shè)置項(xiàng)目緩沖區(qū) PB，在非關(guān)鍵鏈匯入關(guān)鍵鏈處設(shè)置匯入緩沖區(qū)FB，用以吸收不確定因素的影響．如圖4所示（虛線表示關(guān)鍵鏈）．

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