高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提高解題能力的研究

梁升熙

高中數(shù)學(xué)新的課程改革要求培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力，我們高中數(shù)學(xué)教師不能為教而教。數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法，具有直觀性和簡(jiǎn)潔性，解題思路清晰、快速的特點(diǎn)。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際，論述了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的作用，并提出了具體的數(shù)形結(jié)合的理論與實(shí)踐，希望能給高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些建議。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的意義

1。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的解題能力

直觀形象的數(shù)學(xué)圖形能夠讓學(xué)生們更加清楚的理解題目意思，提高學(xué)生們的解題能力。例如有些方程根的問(wèn)題，如果用代數(shù)方法解決繁瑣、工作量大；但是如果把代數(shù)與幾何有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)方程相應(yīng)函數(shù)和圖形的關(guān)系，便可以很方便的得出方程根的個(gè)數(shù)和解集，簡(jiǎn)單明了，特別是對(duì)于數(shù)學(xué)題中的選擇題和填空題，數(shù)形結(jié)合方法能夠節(jié)省大量寶貴時(shí)間。

2。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的認(rèn)知能力

數(shù)形結(jié)合能夠給學(xué)生們帶來(lái)直觀的數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)，更加深刻地說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生們的認(rèn)知能力。例如數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)軸把集合中的數(shù)集表現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生們通過(guò)直觀的圖形包含關(guān)系和數(shù)軸上的線條走向，能夠很快的了解集合的意義和從屬關(guān)系，從而獲得正確的結(jié)果。

3。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的自主學(xué)習(xí)能力

數(shù)形結(jié)合提供給了學(xué)生們自己動(dòng)手演練解題過(guò)程，同時(shí)自己動(dòng)腦開(kāi)發(fā)解題方法的機(jī)會(huì)，提高了學(xué)生們自主學(xué)習(xí)的能力。例如在講授三角函數(shù)時(shí)，通過(guò)點(diǎn)在圖形“圓”上的變化，得出不同的正弦、余弦、正切和余切的函數(shù)定義，學(xué)生們通過(guò)自己動(dòng)手加深了三角函數(shù)的意義的理解；同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生們?cè)诮忸}過(guò)程中合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，相互交流和學(xué)習(xí)，共同提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的策略

1。培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合意識(shí)

首先我們數(shù)學(xué)教師在解題過(guò)程中，應(yīng)該精選一些典型的，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想奧妙之處的例題來(lái)進(jìn)行講解；其次在講解過(guò)程中適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍﹩?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題；最后講解完畢了注意總結(jié)，對(duì)于著重運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合的思想加以概括和提升，達(dá)到講解一個(gè)例題，熟練一類(lèi)題型的效果。例如在講授函數(shù)與方程的關(guān)系時(shí)，我選取了一個(gè)典型例題：

方程2x2-（m+3）x+m2-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，其實(shí)根分別在（0，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍。

我們可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2x2-（m+3）x+m2-1，這樣根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)（如上圖），可以得出f（0）>0，f（2）<0，f（4）>0三個(gè)不同的不等式求解，這樣就可以得出m取值的范圍。

這是我在教學(xué)過(guò)程中使用的一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用案例，不僅使得題目問(wèn)題一目了然，而且通過(guò)相互轉(zhuǎn)化，提高了學(xué)生們的分析問(wèn)題能力，從而鍛煉了學(xué)生們的解題能力和邏輯思維。我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中通過(guò)函數(shù)關(guān)系式把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)圖形等直觀的表現(xiàn)方法，以便于學(xué)生們能夠清楚地看圖，讀圖，提高了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性。

2。注重尋找數(shù)形轉(zhuǎn)換突破口的練習(xí)

我們教師在課堂解題教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合能力，努力讓學(xué)生們做到“由數(shù)想形、由形想數(shù)”的思想觀念，這樣不僅能夠積累一定的數(shù)形結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)，還能夠?yàn)橐院笄擅顟?yīng)用數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造條件。這里我列舉一個(gè)我教學(xué)過(guò)程中，尋找數(shù)形結(jié)合突破口的教學(xué)案例：求函數(shù)f（x）=x2+9+x2-8x+41的最小值。學(xué)生們看到這個(gè)題都覺(jué)得一個(gè)根式運(yùn)用數(shù)形結(jié)合就很好求解了，兩個(gè)根式就不知道怎么運(yùn)用數(shù)形結(jié)合了。這時(shí)我對(duì)解析式做了一下變形： f（x）=x2+32+（x-4）2+52。這一步同學(xué)們非常明白，但是還是不能解決實(shí)際問(wèn)題。這時(shí)我引入距離公式：A（x1，y1）和B（x2，y2）的距離為d=（x1-x2）2+（y1-y2）2。這時(shí)同學(xué)們聯(lián)想到這個(gè)題目就是求動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值，通過(guò)作圖可以得出三點(diǎn)共線時(shí)距離最短。同學(xué)們通過(guò)這個(gè)題目了解了數(shù)形結(jié)合的意義，同時(shí)也懂得了合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合需要大量的知識(shí)積累。

3。注重圖形的準(zhǔn)確和等價(jià)變換

學(xué)生們?cè)谶\(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)往往因?yàn)閳D形的不準(zhǔn)確，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論，我們數(shù)學(xué)教師要在平時(shí)的課堂講解中，時(shí)刻提醒學(xué)生們注意圖形的等價(jià)交換和準(zhǔn)確性。例如下面例題：求函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=tanx圖象在區(qū)間[-π，π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。這個(gè)題目學(xué)生們都知道要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，但是得出的結(jié)論不一樣。有的同學(xué)只是簡(jiǎn)單的畫(huà)了一個(gè)草圖，沒(méi)有嚴(yán)格按照三角函數(shù)定義域內(nèi)圖形的特征，從而得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。我借此告誡同學(xué)們應(yīng)該嚴(yán)格了解每個(gè)函數(shù)的特征，準(zhǔn)確的按照要求繪圖，這樣才能夠體現(xiàn)圖象的等價(jià)性。

高中數(shù)學(xué)新的課程改革要求培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力，我們高中數(shù)學(xué)教師不能為教而教。數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法，具有直觀性和簡(jiǎn)潔性，解題思路清晰、快速的特點(diǎn)。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際，論述了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的作用，并提出了具體的數(shù)形結(jié)合的理論與實(shí)踐，希望能給高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些建議。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的意義

1。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的解題能力

直觀形象的數(shù)學(xué)圖形能夠讓學(xué)生們更加清楚的理解題目意思，提高學(xué)生們的解題能力。例如有些方程根的問(wèn)題，如果用代數(shù)方法解決繁瑣、工作量大；但是如果把代數(shù)與幾何有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)方程相應(yīng)函數(shù)和圖形的關(guān)系，便可以很方便的得出方程根的個(gè)數(shù)和解集，簡(jiǎn)單明了，特別是對(duì)于數(shù)學(xué)題中的選擇題和填空題，數(shù)形結(jié)合方法能夠節(jié)省大量寶貴時(shí)間。

2。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的認(rèn)知能力

數(shù)形結(jié)合能夠給學(xué)生們帶來(lái)直觀的數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)，更加深刻地說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生們的認(rèn)知能力。例如數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)軸把集合中的數(shù)集表現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生們通過(guò)直觀的圖形包含關(guān)系和數(shù)軸上的線條走向，能夠很快的了解集合的意義和從屬關(guān)系，從而獲得正確的結(jié)果。

3。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的自主學(xué)習(xí)能力

數(shù)形結(jié)合提供給了學(xué)生們自己動(dòng)手演練解題過(guò)程，同時(shí)自己動(dòng)腦開(kāi)發(fā)解題方法的機(jī)會(huì)，提高了學(xué)生們自主學(xué)習(xí)的能力。例如在講授三角函數(shù)時(shí)，通過(guò)點(diǎn)在圖形“圓”上的變化，得出不同的正弦、余弦、正切和余切的函數(shù)定義，學(xué)生們通過(guò)自己動(dòng)手加深了三角函數(shù)的意義的理解；同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生們?cè)诮忸}過(guò)程中合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，相互交流和學(xué)習(xí)，共同提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的策略

1。培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合意識(shí)

首先我們數(shù)學(xué)教師在解題過(guò)程中，應(yīng)該精選一些典型的，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想奧妙之處的例題來(lái)進(jìn)行講解；其次在講解過(guò)程中適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍﹩?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題；最后講解完畢了注意總結(jié)，對(duì)于著重運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合的思想加以概括和提升，達(dá)到講解一個(gè)例題，熟練一類(lèi)題型的效果。例如在講授函數(shù)與方程的關(guān)系時(shí)，我選取了一個(gè)典型例題：

方程2x2-（m+3）x+m2-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，其實(shí)根分別在（0，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍。

我們可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2x2-（m+3）x+m2-1，這樣根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)（如上圖），可以得出f（0）>0，f（2）<0，f（4）>0三個(gè)不同的不等式求解，這樣就可以得出m取值的范圍。

這是我在教學(xué)過(guò)程中使用的一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用案例，不僅使得題目問(wèn)題一目了然，而且通過(guò)相互轉(zhuǎn)化，提高了學(xué)生們的分析問(wèn)題能力，從而鍛煉了學(xué)生們的解題能力和邏輯思維。我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中通過(guò)函數(shù)關(guān)系式把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)圖形等直觀的表現(xiàn)方法，以便于學(xué)生們能夠清楚地看圖，讀圖，提高了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性。

2。注重尋找數(shù)形轉(zhuǎn)換突破口的練習(xí)

我們教師在課堂解題教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合能力，努力讓學(xué)生們做到“由數(shù)想形、由形想數(shù)”的思想觀念，這樣不僅能夠積累一定的數(shù)形結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)，還能夠?yàn)橐院笄擅顟?yīng)用數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造條件。這里我列舉一個(gè)我教學(xué)過(guò)程中，尋找數(shù)形結(jié)合突破口的教學(xué)案例：求函數(shù)f（x）=x2+9+x2-8x+41的最小值。學(xué)生們看到這個(gè)題都覺(jué)得一個(gè)根式運(yùn)用數(shù)形結(jié)合就很好求解了，兩個(gè)根式就不知道怎么運(yùn)用數(shù)形結(jié)合了。這時(shí)我對(duì)解析式做了一下變形： f（x）=x2+32+（x-4）2+52。這一步同學(xué)們非常明白，但是還是不能解決實(shí)際問(wèn)題。這時(shí)我引入距離公式：A（x1，y1）和B（x2，y2）的距離為d=（x1-x2）2+（y1-y2）2。這時(shí)同學(xué)們聯(lián)想到這個(gè)題目就是求動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值，通過(guò)作圖可以得出三點(diǎn)共線時(shí)距離最短。同學(xué)們通過(guò)這個(gè)題目了解了數(shù)形結(jié)合的意義，同時(shí)也懂得了合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合需要大量的知識(shí)積累。

3。注重圖形的準(zhǔn)確和等價(jià)變換

學(xué)生們?cè)谶\(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)往往因?yàn)閳D形的不準(zhǔn)確，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論，我們數(shù)學(xué)教師要在平時(shí)的課堂講解中，時(shí)刻提醒學(xué)生們注意圖形的等價(jià)交換和準(zhǔn)確性。例如下面例題：求函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=tanx圖象在區(qū)間[-π，π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。這個(gè)題目學(xué)生們都知道要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，但是得出的結(jié)論不一樣。有的同學(xué)只是簡(jiǎn)單的畫(huà)了一個(gè)草圖，沒(méi)有嚴(yán)格按照三角函數(shù)定義域內(nèi)圖形的特征，從而得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。我借此告誡同學(xué)們應(yīng)該嚴(yán)格了解每個(gè)函數(shù)的特征，準(zhǔn)確的按照要求繪圖，這樣才能夠體現(xiàn)圖象的等價(jià)性。

高中數(shù)學(xué)新的課程改革要求培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力，我們高中數(shù)學(xué)教師不能為教而教。數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)一種重要的思想方法，具有直觀性和簡(jiǎn)潔性，解題思路清晰、快速的特點(diǎn)。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際，論述了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的作用，并提出了具體的數(shù)形結(jié)合的理論與實(shí)踐，希望能給高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些建議。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的意義

1。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的解題能力

直觀形象的數(shù)學(xué)圖形能夠讓學(xué)生們更加清楚的理解題目意思，提高學(xué)生們的解題能力。例如有些方程根的問(wèn)題，如果用代數(shù)方法解決繁瑣、工作量大；但是如果把代數(shù)與幾何有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)方程相應(yīng)函數(shù)和圖形的關(guān)系，便可以很方便的得出方程根的個(gè)數(shù)和解集，簡(jiǎn)單明了，特別是對(duì)于數(shù)學(xué)題中的選擇題和填空題，數(shù)形結(jié)合方法能夠節(jié)省大量寶貴時(shí)間。

2。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的認(rèn)知能力

數(shù)形結(jié)合能夠給學(xué)生們帶來(lái)直觀的數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)，更加深刻地說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生們的認(rèn)知能力。例如數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)軸把集合中的數(shù)集表現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生們通過(guò)直觀的圖形包含關(guān)系和數(shù)軸上的線條走向，能夠很快的了解集合的意義和從屬關(guān)系，從而獲得正確的結(jié)果。

3。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生們的自主學(xué)習(xí)能力

數(shù)形結(jié)合提供給了學(xué)生們自己動(dòng)手演練解題過(guò)程，同時(shí)自己動(dòng)腦開(kāi)發(fā)解題方法的機(jī)會(huì)，提高了學(xué)生們自主學(xué)習(xí)的能力。例如在講授三角函數(shù)時(shí)，通過(guò)點(diǎn)在圖形“圓”上的變化，得出不同的正弦、余弦、正切和余切的函數(shù)定義，學(xué)生們通過(guò)自己動(dòng)手加深了三角函數(shù)的意義的理解；同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生們?cè)诮忸}過(guò)程中合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，相互交流和學(xué)習(xí)，共同提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題的策略

1。培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合意識(shí)

首先我們數(shù)學(xué)教師在解題過(guò)程中，應(yīng)該精選一些典型的，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想奧妙之處的例題來(lái)進(jìn)行講解；其次在講解過(guò)程中適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍﹩?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題；最后講解完畢了注意總結(jié)，對(duì)于著重運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合的思想加以概括和提升，達(dá)到講解一個(gè)例題，熟練一類(lèi)題型的效果。例如在講授函數(shù)與方程的關(guān)系時(shí)，我選取了一個(gè)典型例題：

方程2x2-（m+3）x+m2-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，其實(shí)根分別在（0，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍。

我們可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2x2-（m+3）x+m2-1，這樣根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)（如上圖），可以得出f（0）>0，f（2）<0，f（4）>0三個(gè)不同的不等式求解，這樣就可以得出m取值的范圍。

這是我在教學(xué)過(guò)程中使用的一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用案例，不僅使得題目問(wèn)題一目了然，而且通過(guò)相互轉(zhuǎn)化，提高了學(xué)生們的分析問(wèn)題能力，從而鍛煉了學(xué)生們的解題能力和邏輯思維。我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中通過(guò)函數(shù)關(guān)系式把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)圖形等直觀的表現(xiàn)方法，以便于學(xué)生們能夠清楚地看圖，讀圖，提高了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性。

2。注重尋找數(shù)形轉(zhuǎn)換突破口的練習(xí)

我們教師在課堂解題教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)形結(jié)合能力，努力讓學(xué)生們做到“由數(shù)想形、由形想數(shù)”的思想觀念，這樣不僅能夠積累一定的數(shù)形結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)，還能夠?yàn)橐院笄擅顟?yīng)用數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造條件。這里我列舉一個(gè)我教學(xué)過(guò)程中，尋找數(shù)形結(jié)合突破口的教學(xué)案例：求函數(shù)f（x）=x2+9+x2-8x+41的最小值。學(xué)生們看到這個(gè)題都覺(jué)得一個(gè)根式運(yùn)用數(shù)形結(jié)合就很好求解了，兩個(gè)根式就不知道怎么運(yùn)用數(shù)形結(jié)合了。這時(shí)我對(duì)解析式做了一下變形： f（x）=x2+32+（x-4）2+52。這一步同學(xué)們非常明白，但是還是不能解決實(shí)際問(wèn)題。這時(shí)我引入距離公式：A（x1，y1）和B（x2，y2）的距離為d=（x1-x2）2+（y1-y2）2。這時(shí)同學(xué)們聯(lián)想到這個(gè)題目就是求動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值，通過(guò)作圖可以得出三點(diǎn)共線時(shí)距離最短。同學(xué)們通過(guò)這個(gè)題目了解了數(shù)形結(jié)合的意義，同時(shí)也懂得了合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合需要大量的知識(shí)積累。

3。注重圖形的準(zhǔn)確和等價(jià)變換

學(xué)生們?cè)谶\(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)往往因?yàn)閳D形的不準(zhǔn)確，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論，我們數(shù)學(xué)教師要在平時(shí)的課堂講解中，時(shí)刻提醒學(xué)生們注意圖形的等價(jià)交換和準(zhǔn)確性。例如下面例題：求函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=tanx圖象在區(qū)間[-π，π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。這個(gè)題目學(xué)生們都知道要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，但是得出的結(jié)論不一樣。有的同學(xué)只是簡(jiǎn)單的畫(huà)了一個(gè)草圖，沒(méi)有嚴(yán)格按照三角函數(shù)定義域內(nèi)圖形的特征，從而得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。我借此告誡同學(xué)們應(yīng)該嚴(yán)格了解每個(gè)函數(shù)的特征，準(zhǔn)確的按照要求繪圖，這樣才能夠體現(xiàn)圖象的等價(jià)性。