整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

杜學(xué)文

數(shù)學(xué)是一門重在學(xué)習(xí)解題思路的學(xué)科，如何讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)、掌握解題方法，這就要求教師在教學(xué)中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學(xué)當(dāng)中去，向?qū)W生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，暫時(shí)忽略局部復(fù)雜而模糊的細(xì)節(jié)，以整體來解題，從而達(dá)到求解出問題結(jié)論的目的。它是最基本、最常用的的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)中是一種重要的解題思想。學(xué)生若能靈活掌握整體思想的運(yùn)用，將會(huì)在高中數(shù)學(xué)的解題中化復(fù)雜為簡單，讓難題變?yōu)橐捉忸}，從而提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確率。

二、整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結(jié)合，首先要對(duì)題目進(jìn)行整體性地觀察，然后根據(jù)解題需要判斷是否需要進(jìn)行整體的變形、換元、配對(duì)或者是代入等轉(zhuǎn)化。需要注意的是，在轉(zhuǎn)化的過程中要注意一切的運(yùn)算都要以等價(jià)為原則。

1。運(yùn)用整體思想補(bǔ)式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A(yù)= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運(yùn)用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因?yàn)?2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點(diǎn)評(píng)如遇到此類的問題，我們?cè)诮忸}的過程中要采用整體的代換方式進(jìn)行求解。

3。運(yùn)用整體思想換元

例3設(shè)x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當(dāng)t=2即x=y=212時(shí)，x+y+xy的最大值為112+2。

點(diǎn)評(píng)在對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行求解。

4。運(yùn)用整體思想配方

例4求函數(shù)y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進(jìn)行思想的轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x2+4+11x2+4，即x2=-3時(shí)等號(hào)成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號(hào)成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關(guān)系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因?yàn)?1x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值是512。

點(diǎn)評(píng)本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個(gè)新的整體，通過研究它的最小值，就能達(dá)到研究整個(gè)函數(shù)最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運(yùn)用整體思想求導(dǎo)

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個(gè)整體，令其為F（x），對(duì)F（x）實(shí)施整體求導(dǎo)，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因?yàn)閤∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，F(xiàn)（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

數(shù)學(xué)是一門重在學(xué)習(xí)解題思路的學(xué)科，如何讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)、掌握解題方法，這就要求教師在教學(xué)中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學(xué)當(dāng)中去，向?qū)W生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，暫時(shí)忽略局部復(fù)雜而模糊的細(xì)節(jié)，以整體來解題，從而達(dá)到求解出問題結(jié)論的目的。它是最基本、最常用的的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)中是一種重要的解題思想。學(xué)生若能靈活掌握整體思想的運(yùn)用，將會(huì)在高中數(shù)學(xué)的解題中化復(fù)雜為簡單，讓難題變?yōu)橐捉忸}，從而提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確率。

二、整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結(jié)合，首先要對(duì)題目進(jìn)行整體性地觀察，然后根據(jù)解題需要判斷是否需要進(jìn)行整體的變形、換元、配對(duì)或者是代入等轉(zhuǎn)化。需要注意的是，在轉(zhuǎn)化的過程中要注意一切的運(yùn)算都要以等價(jià)為原則。

1。運(yùn)用整體思想補(bǔ)式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A(yù)= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運(yùn)用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因?yàn)?2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點(diǎn)評(píng)如遇到此類的問題，我們?cè)诮忸}的過程中要采用整體的代換方式進(jìn)行求解。

3。運(yùn)用整體思想換元

例3設(shè)x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當(dāng)t=2即x=y=212時(shí)，x+y+xy的最大值為112+2。

點(diǎn)評(píng)在對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行求解。

4。運(yùn)用整體思想配方

例4求函數(shù)y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進(jìn)行思想的轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x2+4+11x2+4，即x2=-3時(shí)等號(hào)成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號(hào)成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關(guān)系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因?yàn)?1x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值是512。

點(diǎn)評(píng)本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個(gè)新的整體，通過研究它的最小值，就能達(dá)到研究整個(gè)函數(shù)最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運(yùn)用整體思想求導(dǎo)

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個(gè)整體，令其為F（x），對(duì)F（x）實(shí)施整體求導(dǎo)，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因?yàn)閤∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，F(xiàn)（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

數(shù)學(xué)是一門重在學(xué)習(xí)解題思路的學(xué)科，如何讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)、掌握解題方法，這就要求教師在教學(xué)中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學(xué)當(dāng)中去，向?qū)W生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，暫時(shí)忽略局部復(fù)雜而模糊的細(xì)節(jié)，以整體來解題，從而達(dá)到求解出問題結(jié)論的目的。它是最基本、最常用的的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)中是一種重要的解題思想。學(xué)生若能靈活掌握整體思想的運(yùn)用，將會(huì)在高中數(shù)學(xué)的解題中化復(fù)雜為簡單，讓難題變?yōu)橐捉忸}，從而提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確率。

二、整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結(jié)合，首先要對(duì)題目進(jìn)行整體性地觀察，然后根據(jù)解題需要判斷是否需要進(jìn)行整體的變形、換元、配對(duì)或者是代入等轉(zhuǎn)化。需要注意的是，在轉(zhuǎn)化的過程中要注意一切的運(yùn)算都要以等價(jià)為原則。

1。運(yùn)用整體思想補(bǔ)式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A(yù)= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運(yùn)用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因?yàn)?2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點(diǎn)評(píng)如遇到此類的問題，我們?cè)诮忸}的過程中要采用整體的代換方式進(jìn)行求解。

3。運(yùn)用整體思想換元

例3設(shè)x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當(dāng)t=2即x=y=212時(shí)，x+y+xy的最大值為112+2。

點(diǎn)評(píng)在對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)進(jìn)行求解。

4。運(yùn)用整體思想配方

例4求函數(shù)y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進(jìn)行思想的轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x2+4+11x2+4，即x2=-3時(shí)等號(hào)成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號(hào)成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關(guān)系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因?yàn)?1x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值是512。

點(diǎn)評(píng)本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個(gè)新的整體，通過研究它的最小值，就能達(dá)到研究整個(gè)函數(shù)最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運(yùn)用整體思想求導(dǎo)

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個(gè)整體，令其為F（x），對(duì)F（x）實(shí)施整體求導(dǎo)，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因?yàn)閤∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，F(xiàn)（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成