具有線性捕撈成本的漁業(yè)資源的連續(xù)動(dòng)力模型的穩(wěn)定性分析

顧恩國(guó)，史曉琳，但 威

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

具有線性捕撈成本的漁業(yè)資源的連續(xù)動(dòng)力模型的穩(wěn)定性分析

顧恩國(guó)，史曉琳，但 威

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

為了控制漁業(yè)資源保持在一個(gè)平衡的狀態(tài)，在假設(shè)捕撈成本函數(shù)為捕撈量線性函數(shù)的基礎(chǔ)上，以及考慮魚群自然增長(zhǎng)及其市場(chǎng)價(jià)格隨供需變化的情況下，建立了漁業(yè)資源存儲(chǔ)量、捕撈量、市場(chǎng)價(jià)格三者的相互作用的動(dòng)力學(xué)模型,研究該連續(xù)系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性.

正平衡點(diǎn)；中心流形定理；穩(wěn)定性；Routh-Hurwitz定理

隨著世界人口的不斷增長(zhǎng),人類對(duì)漁業(yè)資源的需求不斷增加.在市場(chǎng)的作用下,為了達(dá)到供需平衡,總會(huì)出現(xiàn)過(guò)度捕撈現(xiàn)象,使得漁業(yè)資源存儲(chǔ)量急劇減少，漁業(yè)資源的可持續(xù)利用受到威脅[1].因此，對(duì)漁業(yè)資源的可持續(xù)利用的研究已經(jīng)成為當(dāng)今世界學(xué)術(shù)界的重要課題.目前,有關(guān)研究包括漁業(yè)資源的最優(yōu)捕撈策略的比較靜態(tài)研究[2-4]和基于生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[5]較多，而基于博弈論的多個(gè)個(gè)體和不完全的多市場(chǎng)動(dòng)態(tài)分析已經(jīng)成為主流[6-9].通過(guò)對(duì)漁業(yè)資源的研究,有利于有關(guān)部門作出科學(xué)決策,控制好漁業(yè)資源的存儲(chǔ)量和捕撈量，從而保護(hù)食物鏈的完整.本文在已有的研究成果的基礎(chǔ)上,應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)的分析方法及數(shù)值模擬研究資源存量、捕撈量和市場(chǎng)價(jià)格的相互作用,分析影響漁業(yè)資源維持平衡的因素,可以科學(xué)地揭示漁業(yè)資源在什么情況下屬于過(guò)度捕撈，為有效進(jìn)行資源管理提供新思路和理論依據(jù),并且可為研究其它可再生資源(森林、牧草等)提供新方法.

1 模型的建立

影響漁業(yè)系統(tǒng)的主要因素有資源、個(gè)體(漁船隊(duì)或國(guó)家或漁民)和市場(chǎng),現(xiàn)假設(shè)公共漁業(yè)資源的捕撈為商業(yè)捕撈，即將捕撈的魚全部投放到同一個(gè)市場(chǎng)上銷售.首先，設(shè)H(t)為t時(shí)刻的捕撈量，考慮短期內(nèi)漁業(yè)資源變化量不會(huì)很大，所以我們假設(shè)捕撈成本函數(shù)線性依賴于捕撈量H(t)，滿足函數(shù)：

C=C0+γH,

其中C0為固定成本，γ為捕撈技術(shù).

捕撈利潤(rùn)為：

π=P(t)H(t)-C0-γH(t).

所以捕撈在某時(shí)刻的邊際利潤(rùn)為：

假設(shè)邊際利潤(rùn)為正，捕撈者就會(huì)增加捕撈量，反之減少.

假設(shè)在不考慮捕撈的情況下,魚的存儲(chǔ)量也即生長(zhǎng)量由Logistic方程給出[10]，即：

其中參數(shù)r>0為漁業(yè)資源的內(nèi)在增長(zhǎng)率，K>0為環(huán)境承載能力.

我們假設(shè)的需求函數(shù)D(t)為線性的,其滿足下列關(guān)系式：

D(t)=A-P(t),

這里A表示市場(chǎng)的絕對(duì)需求量.如果捕撈量大于市場(chǎng)需求量,市場(chǎng)價(jià)格將降低,反之上升.

綜合上述假設(shè)，我們有

(1)

其中α為捕撈量調(diào)節(jié)速度，β為市場(chǎng)價(jià)格調(diào)節(jié)速度.為了保證系統(tǒng)有意義，系統(tǒng)(1)狀態(tài)必須在可行域D={(X,H,P)|0≤X≤K,0≤H≤X,0≤P≤A}中.

2 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性分析

2.1 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性

求系統(tǒng)(1)的不動(dòng)點(diǎn)，基于實(shí)際意義考慮，不動(dòng)點(diǎn)應(yīng)為非負(fù)數(shù)，滿足下列條件：

則系統(tǒng)有兩個(gè)邊界不動(dòng)點(diǎn)p1(0,0,A)和p2(K,0,A)，其中p1(0,0,A)為滅絕不動(dòng)點(diǎn)，正不動(dòng)點(diǎn)滿足：

我們得到系統(tǒng)(1)正不動(dòng)點(diǎn)存在定理.

定理1 (i)當(dāng)Δ<0，則系統(tǒng)(1)不存在正不動(dòng)點(diǎn);

2.2 不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 系統(tǒng)(1)不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性情況如下：

(i)邊界不動(dòng)點(diǎn)p1為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍點(diǎn);

(ii)當(dāng)γA，p2為系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);

(iii)當(dāng)Δ=0時(shí)，系統(tǒng)(1)不動(dòng)點(diǎn)E始終穩(wěn)定;

(iv)當(dāng)Δ>0且γ

證明 對(duì)于系統(tǒng)(1)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，考慮其Jacobian矩陣：

(i)在不動(dòng)點(diǎn)p1(0,0,A)的Jacobian矩陣為：

特征值為：λ1=r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1>0,λ3<0，則邊界不動(dòng)點(diǎn)p1(0,0,A)為鞍點(diǎn).

(ii)在不動(dòng)點(diǎn)p2(K,0,A)的Jacobian矩陣為：

特征值為：λ1=-r,λ2=α(A-γ),λ3=-β.

由于λ1<0,λ3<0，當(dāng)γ0,所以邊界不動(dòng)點(diǎn)p2(K,0,A)為鞍點(diǎn)；當(dāng)γ>A，則λ2<0，所以邊界不動(dòng)點(diǎn)p2(K,0,A)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

(2)

λ1=0,

則λ2≠λ3，由于λ1=0，λ2,λ3具有負(fù)實(shí)部，則此時(shí)穩(wěn)定性可以應(yīng)用中心流形定理判定：得到屬于λ1,λ2,λ3的特征向量分別為：

作非奇異線性變換：

將系統(tǒng)矩陣對(duì)角化后得到新的系統(tǒng)為：

(3)

由中心流形存在性理論[11]可知，系統(tǒng)存在一個(gè)中心流形，可表示為：

其中δ為一個(gè)充分小的正常數(shù).根據(jù)中心流形的定義，令：

Q=h1(S)=a1S2+a2S3+a3S4+O(S5),

T=h2(S)=b1S2+b2S3+b3S4+O(S5).

則有：

φ1(S,h1(S),h2(S))·

當(dāng)t→∞時(shí)，S→0，所以不動(dòng)點(diǎn)(S,Q,T)=(0,0,0)是穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn),即平衡點(diǎn)E穩(wěn)定.

(iv)關(guān)于正不動(dòng)點(diǎn)E1,E2的穩(wěn)定性，其Jacobian矩陣為：

我們應(yīng)用Routh-Hurwitz定理來(lái)判斷，a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，可以得出正平衡點(diǎn)E1,E2的穩(wěn)定條件為：

a0=1>0,

a1a2>a3.

3 數(shù)值模擬

當(dāng)我們固定參數(shù)A=2.13,K=4,r=1.73,γ=0.4時(shí)，研究系統(tǒng)(1)在參數(shù)條件為α=0.1,β=1時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.此時(shí)Δ=0,E(2.1,73,0.4)，圖1為初始值為(1.7,1.6,0.5)的時(shí)間序列圖和相圖，很明顯漁業(yè)資源經(jīng)過(guò)有限時(shí)間將穩(wěn)定到不動(dòng)點(diǎn)E.

當(dāng)我們固定參數(shù)A=2.13,K=4,r=2.3,γ=0.4,研究系統(tǒng)(1)在參數(shù)條件為α=β=0.1時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.此時(shí)Δ=3.97>0,γ

4 結(jié)論

本文建立漁業(yè)資源存儲(chǔ)量、捕撈量、價(jià)格三者之間相互作用的系統(tǒng),給出了系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的存在條件，并且應(yīng)用了中心流行定理以及Routh-Hurwitz定理分析了不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，從而了解如何通過(guò)控制參數(shù)來(lái)保持系統(tǒng)的穩(wěn)定，最后通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證結(jié)論.研究結(jié)果對(duì)實(shí)際生活中控制漁業(yè)資源平衡、實(shí)現(xiàn)漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展具有重要指導(dǎo)意義.

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Analysis of Stability in a Continuous Dynamical System of Fishery Resources with Linear Harvest Cost

Gu Enguo,Shi Xiaolin,Dan Wei

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In order to keep the fishery resources in a balanced state, we assume that fishing cost function linearly depends on the harvest cost. Considering the fish natural growth and the market price changes with supply and demand situation, we establish a dynamic model of the interaction of fish store, harvest and market price to study the existence and the stability of the positive equilibrium point of the continuous system.

positive equilibrium point; center manifold theory; stability; Routh-Hurwitz theorem

2015-10-13

顧恩國(guó)(1964-)，男，教授，博士，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)應(yīng)用，E-mail: guenguo@163.com

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085)；中南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2015sycxjj129)

O193

A

1672-4321(2015)04-0119-04