時滯離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)的部分Lévy鎮(zhèn)定

胡軍浩，蘭 菁，韋茜妤

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

時滯離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)的部分Lévy鎮(zhèn)定

胡軍浩，蘭 菁，韋茜妤

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

研究了時滯離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)的部分Lévy鎮(zhèn)定問題. 通過對馬爾科夫鏈的分類，將時滯離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)分為可觀測和不可觀測兩個部分，利用隨機分析工具和線性矩陣不等式設(shè)計了可觀測部分的鎮(zhèn)定控制器，使得系統(tǒng)被Lévy噪音鎮(zhèn)定. 再運用Shur引理，對定理進行了推廣，并通過實例闡明了定理構(gòu)造的控制器有效.

Lévy噪音;部分鎮(zhèn)定;馬爾可夫切換;線性矩陣不等式; Shur引理

Markov鏈驅(qū)動的系統(tǒng)是用來描述許多具有結(jié)構(gòu)和系數(shù)突變特點的實用系統(tǒng)，其中包含連續(xù)取值和離散取值. 混雜系統(tǒng)是自動控制的重要課題，隨之而來的重點就是穩(wěn)定性分析.文獻[1]研究了變時滯控制器鎮(zhèn)定離散混雜線性系統(tǒng)，文獻[2]討論了混雜微分方程的隨機穩(wěn)定性，文獻[3]研究了連續(xù)混雜線性二次控制，文獻[4]討論了離散混雜線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制.

眾所周知，一個不穩(wěn)定的確定性系統(tǒng)可以被噪聲鎮(zhèn)定，對于此方面的課題，利用不同的噪音來鎮(zhèn)定系統(tǒng)有一系列的研究，文獻[5,6]利用多維Brown運動作為噪聲源，確立了一般的隨機鎮(zhèn)定結(jié)論，解決了這個問題.文獻[7]研究了基于Lévy噪音的隨機微分方程的漸近穩(wěn)定性質(zhì)，提供由Lévy噪音作為噪聲源鎮(zhèn)定系統(tǒng)的可能性.

與此同時，另一個問題也經(jīng)常出現(xiàn)在現(xiàn)實的動力系統(tǒng)中，一個系統(tǒng)包含兩個部分，一部分是可觀測的，一部分是不可觀測的，由此產(chǎn)生了能否僅控制可觀測部分來實現(xiàn)鎮(zhèn)定整個系統(tǒng)，文獻[8]利用Brown運動作為噪聲源鎮(zhèn)定了混雜系統(tǒng)，將Markov鏈狀態(tài)空間分解為兩個集合來將系統(tǒng)劃分為兩部分，一部分為可觀測部分，另一部分為不可觀測部分.文獻[9]引入了這種劃分方式，用Lévy噪音對混雜微分方程進行部分鎮(zhèn)定.

另一方面，時滯在分析許多物理過程中是非常常見的，文獻[10,11]均考慮了時滯，而一個隨時間變化的時滯更加貼合實際，其中，文獻[11]分析的是變時滯系統(tǒng). 現(xiàn)有文獻中，利用Lévy噪音作為噪聲源鎮(zhèn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)的成果非常少.本文將Brown運動推廣到一般的Lévy過程，并且考慮在離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)中添加變時滯，利用Lévy噪音通過可觀測部分鎮(zhèn)定整個系統(tǒng).

1 問題陳述

考慮如下定義在完備概率空間(Ω,F,P)的線性變時滯離散混雜微分方程的鎮(zhèn)定：

Δx(k)=A(r(k))x(k)+B(r(k))x(x-τ(k)).

其中Δx(k)=x(k+1)-x(k),k∈Z+,x(k)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，矩陣A(r(k)),B(r(k))是有合適維度的常數(shù)矩陣.τ(k)∈N 是一個變時滯，并且滿足τmin≤τ(k)≤τmax且τmin,τmax∈N.

眾所周知，根據(jù)Markov鏈轉(zhuǎn)移規(guī)律，如果將Markov鏈r(k)狀態(tài)看作模式，則該系統(tǒng)將從一個模式切換到另一個模式. 但是，系統(tǒng)中有一些模式是可觀測的，另一些是不可觀測的. 將Markov鏈狀態(tài)空間L分為兩個子集L1和L2，且L=L1∪L2. 對于每一個模式，若i∈L1，則是可觀測的；若i∈L2，則是不可觀測的.

下面考慮由Lévy過程鎮(zhèn)定的上述線性變時滯離散混雜微分方程：

Δx(k)=A(r(k))x(k)+B(r(k))x(x-τ(k))+

u(x(k),r(k))Δy(k)，

(1)

u(x(k),i)=(g1ix(k),g2ix(k),…,gmix(k)),

其中g(shù)ji,j=1,2,…,m,i∈L1是待設(shè)計使系統(tǒng)(1)鎮(zhèn)定的n×n階矩陣，且gji=0,j=1,2,…,m,i∈L2，則系統(tǒng)(1)化為：

(2)

給出(y(k),k≥0)的Lévy-It分解：

(3)

(4)

為了使(4)式看起來更為簡便，采用如下符號：

任意的i∈L，從而將(4)式表示為：

令Hi=Ai+Ci+Di+Ei則有：

(5)

定義1 用x(k;r0,φ(·))表示系統(tǒng)(5)的軌道，如果對任意的初始條件r0∈L,φ(k)∈Rn,k=-τmax,-τmax+1,…，0,有

我們稱系統(tǒng)(5)隨機穩(wěn)定.

2 Lévy噪聲鎮(zhèn)定

首先，給出本文必要的假設(shè)2.

假設(shè)2 對任意的x∈Rn，i∈L1，存在常數(shù)ej，j=1,2,…，m,使得：

定理1 當(7)式滿足假設(shè)2，它是隨機部分穩(wěn)定的，如果存在矩陣Pn∈S+,Q∈S+,W∈S+,i∈L1,n∈L, 滿足如下LMIs：

(6)

證明 定義 z(k):=Δx(k),

xk:=[xT(k)xT(k-1)…xT(k-τmax)]T,

并且采用如下Lyapunov泛函：

V(xk,r(k),k):=V1(xk,r(k),k)+V2(xk,r(k),k)+V3(xk,r(k),k)+V(xk,r(k),k)+V4(xk,r(k),k)+V5(xk,r(k),k).

其中：

V1(xk,r(k),k)=xT(k)P(r(k))x(k),

利用假設(shè)2可以解得：

E(xTHix)=E(xTAix+xTCix+xTDix+xTEix)=

(7)

從而，我們計算：

(8)

(9)

E(V3(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

V3(xk,r(k),k)=(τmax-τmin)xT(k)Qx(k)-

(10)

因為τmin≤τ(k)≤τmax，所以得到：

(11)

結(jié)合(9)～(11)式有：

E(V2(xk+1,r(k+1),k+1)+V3(xk+1,r(k+1),

k+1)|xk,r(k),k)-(V2(xk,r(k),k)+V3(xk,r(k),k))=xT(k)Qx(k)-xT(k-τ(k))Qx(k-

τ(k))+(τmax-τmin)xT(k)Qx(k)+

(12)

(13)

E(V5(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

(14)

因為:

(15)

綜合(7)以及(13)～(15)式有：

E(V4(xk+1,r(k+1),k+1)+V5(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-(V4(xk,r(k),k)+V5(xk,r(k),k))=E[τmaxzT(k)Wz(k)-zT(k)Wz(k)+

E(zT(k)(τmax-1)Wz(k))≤ζT(k)·

(16)

綜合(7)，(12)及(16)式有：

E(V(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

(17)

根據(jù)(17)式，對所有的x(k)≠0，有δ>0，所以：

E(V(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

V(xk,r(k),k)≤-δ‖x(k)‖2<0.

(18)

由(18)式我們得到，對任意的K≥1，有：

所以可以得到：

由定義1，可以得到系統(tǒng)(5)部分鎮(zhèn)定. 證畢.

引理1(Schur引理) 考慮實對稱矩陣S∈Rn×n，并將S進行分塊：

其中S11是r×r階的，假定S11,S12是非奇異的，則以下3個條件是等價的：

(i) S<0;

定理2 當(5)式滿足假設(shè)2，它是隨機部分穩(wěn)定的，如果存在矩陣Pn∈S+,Q∈S+,W∈S+,Z∈S+,i∈L1,n∈L，滿足如下LMIs：

(19)

證明 運用引理1(iii)，令：S11=

3 實例

4 總結(jié)

本文運用Lévy噪音研究時滯離散馬氏跳躍線性系統(tǒng)，推廣了現(xiàn)有文獻的結(jié)果(現(xiàn)有文獻只用Brown運動鎮(zhèn)定時滯系統(tǒng))，并且引入了對馬爾可夫鏈的劃分方法，使得用噪音鎮(zhèn)定的系統(tǒng)更加普遍，提高了計算實用性和實際應(yīng)用價值.

[1] Xiong J L, Lam J. Stabilization of discrete-time Markovian jump linear systems via time-delay controllers[J]. Automatica, 2006,42(5):747-753.

[2] Deng F Q, Luo Q, Mao X R. Stochastic stabilization of hybrid differential equations[J]. Automatica, 2012, 48(9):2321-2328.

[3] Ji Y D, Chizeck H J. Controllability, stabilizability and continuous-time Markovian jump linear quadratic control[J]. IEEE Trans Automat Control, 1990,35(7): 777-788.

[4] Mao X R. Stability of stochastic differential equations with Markovian switching[J]. Stoch Proce App Applications, 1999, 79(1): 45-67.

[5] Bao J H, Yuan C G. Stabilization of partial differential equations by Lévy noise[J]. Stoch Anal Appl, 2012,30(2): 354-374.

[6] Bellman R, Bentsman J, Meerkov S. Stability for fast periodic systems[J]. IEEE Trans Automat Control, 1985, 30(3): 289-291.

[7] Applebaum D, Siakalli M. Asymptotic stability of stochasitc differential equations driven by Lévy noise[J]. J Appl Probab, 2009,46:1116-1129.

[8] Mao X R, Yin G G, Yuan C G. Stabilization and destabilization of hybrid systems of stochastic differential equations[J]. Automatica, 2007,43(2): 264-273.

[9] 劉德志，周國立. 基于Lévy過程混雜微分方程的隨機部分鎮(zhèn)定[J].中國科學(xué),2015,45(5):713-722.

[10] Zhao X Y, Deng F Q. Moment stability of nonlinear discrete stochastic systems with time-delays based on H-representation technique[J]. Automatica, 2014,50(2): 530-536.

[11] Liu D Z, Wang W Q, Menaldi J L . Almost sure asymptotic stabilization of differential equations with time-varying delay by Lévy noise[J]. Nonlinear Dyn, 2015,79:163-172.

Partial Lévy Stabilization of Time-Delayed Discrete Markovian Jump Linear Systems

Hu Junhao, Lan Jing,Wei Xiyu

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, the partial Lévy stabilization of time-delayed discrete Markovian jump linear systems was considered. By the classification of markov chain, the time-delayed discrete Markovian jump linear system was divided into two part that one was observable part and the other was objectivity part. By adopting stochastic analysis and linear matrix inequalities (LMIs), the stabilition controller of the observable part was designed to stabilize via Lévy noise. By using Shur lemma, the theorem was extended. In the end, an example was given to illustrate the effectiveness of the designed controller.

Lévy noise; partial stabilization; markovian switching; LMIs; Shur lemma

2015-08-31

胡軍浩(1974-)，男，教授，博士，研究方向：隨機控制， E-mail:junhaohu74@163.com

國家自然科學(xué)基金資助項目(61374085)

O231.1

A

1672-4321(2015)04-0114-05