高斯曲率絕妙定理的表示公式的幾種形式

邢家省, 高建全， 羅秀華

(1.北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京100191; 2.平頂山教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 平頂山 467000)

高斯曲率絕妙定理的表示公式的幾種形式

邢家省1, 高建全2， 羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京100191; 2.平頂山教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 平頂山 467000)

考慮高斯曲率絕妙定理的公式表示問(wèn)題.運(yùn)用曲面論基本方程的矩陣表示法，直接推導(dǎo)出了高斯曲率絕妙定理的隱式表示公式和顯式表示公式，指出了高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)隱式公式的驗(yàn)證過(guò)程，給出了高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式的Liouville形式的推導(dǎo)過(guò)程.

曲面論基本方程； 矩陣表示法; 高斯曲率； 內(nèi)蘊(yùn)量； 高斯絕妙定理; 高斯曲率的Liouville記憶形式

0 引言

曲面上的高斯曲率是曲面上的內(nèi)蘊(yùn)量[1-7]，這個(gè)重要結(jié)果是高斯于1827年發(fā)現(xiàn)的著名定理，稱(chēng)為高斯絕妙定理[2,6]或曲面論的高斯方程.由于現(xiàn)有文獻(xiàn)中給出的推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)繁雜，導(dǎo)致人們難以弄清楚其本質(zhì).人們一直在追求高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)量的具體表達(dá)式.我們發(fā)現(xiàn)采用曲面論基本方程的矩陣表示法[8-10]，運(yùn)用矩陣運(yùn)算就可以很簡(jiǎn)明地推導(dǎo)出高斯曲率絕妙定理的隱式表示公式和最終顯式表達(dá)公式[11-12].對(duì)高斯曲率計(jì)算公式的Liouville記憶形式亦給出了推導(dǎo)過(guò)程[5].這里給出的新的處理方法，有利于人們理解和掌握，從而推進(jìn)人們的認(rèn)識(shí).

1 曲面論的基本方程的矩陣方程表形式

按照文獻(xiàn)[1-6，9-10]中的符號(hào)體系，給出如下一系列記號(hào)，

曲面論基本方程的矩陣形式為[1-6,8-10]:

(1)

(2)

其中:

2 曲面論的基本方程中系數(shù)矩陣滿足的方程

利用式(1)，得

(3)

經(jīng)過(guò)代入運(yùn)算，最后比較左右兩端的系數(shù)[9-10]，可得

(4)

(5)

3 高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)定理隱式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

經(jīng)過(guò)對(duì)式(4)右端進(jìn)行代入運(yùn)算[9-10]，可得

(6)

由式(6)兩邊矩陣中右上角和左下角的元素對(duì)應(yīng)元素相等，可得[1-6,9-10],

于是,高斯曲率有如下的計(jì)算公式[1-6,9-10]:

(7)

(8)

4 高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)定理的最終顯式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

在式(6)左端，經(jīng)過(guò)代入運(yùn)算[9-10]，可得式(6)等價(jià)于[9-10]

(9)

由式(9)兩邊矩陣的右上角對(duì)應(yīng)元素相等，可得

(10)

再由

可得

[(Γ121g22-Γ221g12)Γ112+(-Γ121g12+Γ221g11)Γ212]}.

(11)

利用

(12)

從而得出

(13)

將式(12)和式(13)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)代入式(11)，經(jīng)過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)，可得

(14)

式(14)就是曲面論中著名的高斯方程[11].

5 高斯曲率絕妙定理的Brioschi公式表示

關(guān)于高斯曲率有如下的Brioschi公式[1-6,10],

(15)

將式(15)展開(kāi)，則得

(16)

顯然式(14)與式(16)是一致的.

6 高斯曲率絕妙定理隱式表示公式的驗(yàn)證

文獻(xiàn)[9-10]給出了如下公式的來(lái)源,

(17)

公式(17)在文獻(xiàn)[1-7]中已出現(xiàn)并給予了驗(yàn)證，現(xiàn)在給出另一種簡(jiǎn)便驗(yàn)證方法.

事實(shí)上， 由

(18)

將式(18)代入式(17)的右端，得到

(19)

對(duì)式(19)經(jīng)過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，可以得出式(19)與式(16)是相同的，于是式(17)成立.

將式(17)寫(xiě)為顯式公式，則為

(20)

類(lèi)似地，在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗(yàn)證[1-2,7,9-10]，成立

(21)

事實(shí)上，注意到

(22)

將式(22)代入式(21)的右端，得到

(23)

對(duì)式(23)經(jīng)過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，可以得到與式(16)同樣的式子，從而式(21)成立.

于是，有顯式公式

(24)

7 高斯曲率計(jì)算公式的Liouville記憶形式的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程

(25)

下面，我們給出式(25)的發(fā)現(xiàn)性推導(dǎo)過(guò)程.將式(20)和式(24)的兩端相加，得到

(26)

經(jīng)過(guò)逐項(xiàng)求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及化簡(jiǎn)，可得到

(27)

(28)

將式(27)和式(28)相加，得到

(29)

將式(29)代入式(26)，就得到式(25)成立.

8 常用參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率定理的最終表示公式

高斯絕妙定理的最終顯式公式,

G(EuGu-2EuFv+Ev2)-2(EG-F2)(Evv-2Fuv+Guu)].

(30)

高斯絕妙定理的Brioschi顯式公式,

(31)

將式(31)展開(kāi)，可得到式(30).

高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算的Liouville記憶形式為

(32)

其中:g=EG-F2.

在文獻(xiàn)[12]中，敘述引用時(shí)，寫(xiě)出了如下的一個(gè)公式，

(33)

由標(biāo)準(zhǔn)的式(30)，易知式(33)是錯(cuò)誤的.用球面方程的基本量去驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)式(33)是不成立的；文獻(xiàn)[12]中試圖用顯式曲面的基本量去驗(yàn)證式(33)，若仔細(xì)套用式(33)，也是驗(yàn)證不出來(lái)的.文獻(xiàn)[12]中的式(33)應(yīng)更正為式(30).

[1] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008:87-105.

[2] 陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006：193-228.

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[8] 謝琳, 安揚(yáng).一個(gè)利用矩陣整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法[J]. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,30(3)：262-264.

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[10]邢家省，高建全，羅秀華.高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)公式的幾種形式的推導(dǎo)方法[J]. 四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,27(4)：82-89.

[11]陳惠勇.高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何與非歐幾何[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,36(6):1028-1032.

[12]華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論(第二冊(cè))[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2009：301-302.

(責(zé)任編輯：王浩毅)

Formula Forms of Theorema Egregium of Gaussian Curvature

XING Jiasheng1, GAO Jianquan2， LUO Xiuhua2

(1.DepartmentofMathematics,LMIBoftheMinistryofEducation,BeihangUniversity,Beijing100191，China; 2.DepartmentofMathematics,PingdingshanInstituteofEducation,Pingdingshan467000,China)

The formula expression of Theorema Egregium of Gaussian curvature was discussed. The implicit and explicit formula expression of Theorema Egregium of Gaussian curvature was directly derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface. The proof procedure of Gaussian curvature intrinsic implicit formula and the derivation of the calculation formula of Gaussian curvature in Liouville form were demonstrated.

fundamental equation of surface theory; matrix expression; Gaussian curvature; intrinsic quantities; Gauss Theorema Egregium; Gaussian curvature in Liouville form

2015-05-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)61271010；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重大教改項(xiàng)目，編號(hào)201501.

邢家省(1964—)，男，河南泌陽(yáng)人，博士，副教授，主要從事偏微分方程、微分幾何研究，E-mail:xjsh@huaa.edu.cn.

邢家省,高建全，羅秀華.高斯曲率絕妙定理的表示公式的幾種形式[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(4)：17-23.

O186.1

A

1671-6841(2015)04-0017-07

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.004