壓縮感知在磁共振成像中的應(yīng)用研究

鐘曉燕，卜祥磊，田輝勇

(1南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州510515;2廣州市婦女兒童醫(yī)療中心 設(shè)備科，廣州510263)

壓縮感知在磁共振成像中的應(yīng)用研究

鐘曉燕1，卜祥磊2，田輝勇1

(1南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州510515;2廣州市婦女兒童醫(yī)療中心 設(shè)備科，廣州510263)

壓縮感知是建立在矩陣分析、概率統(tǒng)計理論及泛函分析等基礎(chǔ)上的一種新穎的信號獲取方式，它可以以低于傳統(tǒng)Nyquist采樣定理所需的采樣數(shù)據(jù)準(zhǔn)確重建原始信號。本文在壓縮感知基本理論的基礎(chǔ)之上論述了其與磁共振成像相結(jié)合的基本原理，包括磁共振圖像的稀疏表示、K空間采樣軌跡的設(shè)計、優(yōu)質(zhì)重建算法的選擇，并簡要介紹了壓縮感知在磁共振成像中其他方面的一些應(yīng)用。

壓縮感知;磁共振成像;稀疏表示;圖像重建

0 引言

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，MRI)是一種利用生物原子核自旋特性，通過激勵靜磁場中的物體產(chǎn)生磁共振信號，然后對其進(jìn)行空間信息編碼，最后由傅立葉變換獲得圖像數(shù)據(jù)的技術(shù)。由于該技術(shù)具有無輻射、不需要使用造影劑、較高的人體組織分辨率以及可任意方向斷層等特點，已經(jīng)成為一項重要的醫(yī)學(xué)輔助診斷技術(shù)。然而，磁共振成像仍然存在成像時間較長的不足。因此，縮短數(shù)據(jù)采集時間仍然是磁共振成像發(fā)展的核心目標(biāo)之一。

目前，從硬件性能提升的角度來講，成像速度的加快基本上已經(jīng)達(dá)到了極限。因此，研究人員開始更多地關(guān)注磁共振成像的重建算法，通過研究更快速的K空間采集方案來達(dá)到減少磁共振掃描時間的目的。縮短掃描時間的途徑主要有以下三種:一是高速掃描序列的設(shè)計，該方法通過設(shè)計高速掃描序列，實現(xiàn)在一次激發(fā)內(nèi)獲得整幅圖像的信息。然而這種技術(shù)受硬件條件的制約，已經(jīng)接近達(dá)到可以改善的極限。二是并行成像技術(shù)，該方法采用相控陣線圈同時接受感應(yīng)信號，并通過相控陣線圈對空間靈敏度的差異來編碼空間信息，減少了相位方向梯度編碼的次數(shù)，從而實現(xiàn)大幅度縮短掃描時間，提高成像速度。三是部分K空間采樣方法，該方法利用K空間數(shù)據(jù)的共軛對稱性，只采集部分K空間數(shù)據(jù)，以達(dá)到縮短掃描時間的目的。

由Donoho［1］與Candes［2］等人2006年提出的壓縮感知技術(shù)(Compressed Sensing，CS)是近年來新興的一個研究方向。該理論表明，當(dāng)信號具有稀疏性或者可壓縮時，設(shè)計隨機(jī)測量矩陣在K空間稀疏采樣，通過稀疏重建算法就可以獲得高質(zhì)量的重建圖像。

1 基于壓縮感知的磁共振成像原理

1.1 基本理論

對于磁共振成像而言，首先，大部分磁共振圖像都具有稀疏性;其次，磁共振MRI采樣的原始數(shù)據(jù)K空間為圖像的傅里葉數(shù)據(jù)。因此利用壓縮感知理論能夠極大地減小傅里葉變換域的采樣數(shù)據(jù)，從而降低掃描時間。

1.2 數(shù)學(xué)模型

CS理論的數(shù)學(xué)模型描述如下:假設(shè)x為一維的空間向量，向量長度是N，它可以用一組正交基線性表示為:

式中φψ為M×N的矩陣。可見，式(3)的逆向求解是一個NP－HARD問題，但是Candes等指出，如果Θ滿足約束等距性條件，同時，，則原始K稀疏信號x可通過求解某種最優(yōu)化問題由測量值重構(gòu)。即:

將CS應(yīng)用到磁共振重建中:在壓縮感知理論中將信號從高維到低維隨機(jī)投影的過程，對應(yīng)到MRI中即為獲取K空間樣本的過程。因此與式(4)相對應(yīng)，α相當(dāng)于磁共振圖像x在某個域中的稀疏表示，而φ則是欠采樣的傅里葉變換操作FU，F(xiàn)U由采樣方式?jīng)Q定，M＜N則意味著獲得的K空間采樣數(shù)據(jù)是不完全的，即欠采樣，通過式(4)知，MR圖像可以通過求解一個有約束的優(yōu)化問題重建出來。

1.3 關(guān)鍵要素

當(dāng)前CS理論主要涉及三個核心問題:信號的稀疏表示;非相干性或等距約束性準(zhǔn)則的測量矩陣設(shè)計;優(yōu)質(zhì)重建算法的選擇。將壓縮感知理論應(yīng)用到MRI重建同樣需要解決相應(yīng)的這三個問題。

（1）處理的原則：技術(shù)上可行，經(jīng)濟(jì)上合理，確保工程質(zhì)量。因為在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計和施工中最難以駕馭的并不是上部結(jié)構(gòu)，而是該工程的地基和基礎(chǔ)問題，尤其是在地基處理上，不同地域的差異很大，如果處理不當(dāng)，一旦發(fā)生事故，難以補(bǔ)救，甚至造成災(zāi)難性的后果。

(1)MR圖像的稀疏表示:常用稀疏變換有傅立葉變換、小波變換、Curvelet基、Gabor基、差分變換及冗余字典等。磁共振圖像中較為常用的稀疏變換有小波變換和全變差分變換。例如，Lustig等［3］著眼于利用TV處罰項和小波變換來構(gòu)造基于壓縮感知的磁共振圖像重建模型。圖1以磁共振腦部圖像為例給出了原圖及其在不同稀疏域內(nèi)的表達(dá)。

研究表明，由于二維小波不能對二維信號中的邊緣和紋理提供最優(yōu)表示。因此，用于高維信號處理的多尺度幾何分析方法應(yīng)運而生，比較有代表性的包括曲線波(Curvelet)、輪廓波(Contourlet)、脊波(Ridgelet)、以及剪切波(Shearlet)等。例如:文獻(xiàn)［4］提出了一種將輪廓波變換作為圖像稀疏變換的方法，實驗結(jié)果表明輪廓波變換在圖像去噪和壓縮感知稀疏化信號方面具有明顯優(yōu)勢。國內(nèi)學(xué)者屈小波等通過將曲波、方向性小波等變換引入MRI重建的過程中，得到了較好的重建效果。

圖1 MR圖像在不同稀疏域內(nèi)的表示

目前，用字典學(xué)習(xí)的方法來構(gòu)建稀疏變換字典是一種熱門的方法，它的核心思想是構(gòu)造一個超完備的字典，信號可以用字典中少數(shù)幾個原子的線性組合來表示，這樣就可以使信號達(dá)到最佳的稀疏效果。例如，2007年P(guān)eyer等［5］將正交基范圍拓寬到了正交基字典，該字典由多個正交基組合而成，可根據(jù)信號的不同選擇最合適的正交基，以實現(xiàn)對信號的最優(yōu)表示。Aharon等［6］提出以K均值聚類方法為基礎(chǔ)的 K－SVD(single value decomposition)算法可用來設(shè)計字典集，使正交基自適應(yīng)性地依據(jù)信號更新，進(jìn)而獲得信號在字典集上更好的稀疏表達(dá)形式，并且應(yīng)用于磁共振圖像重建。

(2)K空間采樣軌跡設(shè)計:由壓縮感知理論可知，要精確的重構(gòu)圖像，測量矩陣與稀疏矩陣之間必須滿足受限等距特性－RIP(Restricted Isometry Property)性質(zhì)，所謂受限等距特性指的是:對于一個具有K項稀疏的矢量x，測量矩陣與稀疏矩陣構(gòu)成的觀測矩陣Θ必須滿足如下條件:

其中，ξ＞0。在CS理論中，常把測量矩陣和稀疏矩陣合在一起(Θ=φ×ψ)稱為觀測矩陣，由于直接判斷觀測矩陣是否滿足受限等距特性比較困難，相關(guān)學(xué)者提出可用非相關(guān)性來判斷觀測矩陣是否符合RIP準(zhǔn)則:即如果測量矩陣φ和稀疏變換基ψ是不相關(guān)(Incoherent)的，則Θ=φ×ψ很大概率上是滿足RIP準(zhǔn)則的。相關(guān)性定義如下:

對于磁共振成像而言，壓縮感知中測量矩陣的設(shè)計就相當(dāng)于是傅里葉采樣方式的設(shè)計。

目前為止，最常用的采樣系統(tǒng)是圖2(a)笛卡爾采樣，其采樣所得到的數(shù)據(jù)相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于隨機(jī)采樣所得到的數(shù)據(jù)，重建圖像質(zhì)量不高，有較多偽影。研究表明，滿足高斯分布軌跡的采樣矩陣與任何稀疏基之間的相關(guān)性都非常低，并且也滿足相應(yīng)的RIP性質(zhì)。而射線狀采樣矩陣與螺旋線采樣矩陣其采樣軌跡大部分都滿足高斯分布，因此與笛卡爾采樣相比，射線狀采樣軌跡圖2(b)對具有高對比度的物體采樣后圖像重構(gòu)的質(zhì)量更高。螺旋采樣軌跡圖2(c)在梯度系統(tǒng)硬件中的使用其效率非常高，特別是在實時成像和快速成像中的應(yīng)用，但這種采樣軌跡采樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)時，其重構(gòu)算法復(fù)雜，需要利用網(wǎng)格重建算法來重建圖像。隨機(jī)點采樣矩陣雖然能完成采樣過程，并且也能重構(gòu)圖像，但是現(xiàn)實中會受到硬件以及生理條件的限制。

圖2 常用k－space采樣軌跡

(3)重建算法:重構(gòu)的過程，實際就是由少量觀測y恢復(fù)原始稀疏信號x的過程。根據(jù)前面的討論可知，只要Θ是滿足等距離約束條件的隨機(jī)觀測，公式(3)的欠定方程就有解。信號x的恢復(fù)可通過逆向求解稀疏表示α來完成，即α=ψTx。由此壓縮感知的信號重構(gòu)問題被轉(zhuǎn)換為約束條件下最優(yōu)化問題的求解過程，如下式所示。

實際問題中0范數(shù)最小化的求解是NP－h(huán)ard問題，因此尋找其等效快速算法成為非常重要的課題。研究中，Chen和Donoho等人指出，1范數(shù)最小化問題求解近乎全概率和0范數(shù)最小化求得相同解，使得0范數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解，如公式(10)所示。

對應(yīng)到磁共振成像中，則x相當(dāng)于待恢復(fù)圖像，y代表觀測到的k－space數(shù)據(jù)，ψ為稀疏基，φ為部分傅里葉變換Fu，重建問題轉(zhuǎn)化為求解一個受限的優(yōu)化問題:

式中ε控制重建結(jié)果和觀測值之間的一致性。有時在進(jìn)行稀疏變換時，既采用其它稀疏變換，也會包含有限差分，可以理解為要求圖像在某指定變換形式下和有限差分下均稀疏。此時等式就會變形為以下形式，

其中α調(diào)節(jié)ψ稀疏和TV稀疏兩者的比重。

具體的重建算法大致可分為三類:

①貪婪算法。主要有匹配追蹤算法(Matching Pursuit，MP)、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)、正則化 OMP算法(Regularized OMP，ROMP)及分段OMP算法(Stagewise OMP，StOMP)等。

②凸優(yōu)化算法。主要包括基追蹤算法(Basis Pursuit，BP)、內(nèi)點法(Interior－Point Method)和梯度投影法?；粉櫵惴ㄔ诿看蔚鷷r從過完備原子庫(即測量矩陣)中尋找最佳的匹配原子。

③組合算法。主要包括傅里葉采樣，鏈?zhǔn)阶粉?Chaining Pursuit，CP)和 HHS(Heavy Hitters on Steroids Pursuit)追蹤等等。這類方法適用于針對大規(guī)模數(shù)據(jù)的問題，通過對信號進(jìn)行結(jié)構(gòu)化抽樣，要求信號的采樣可以支持快速分組測試快速重建。

2 壓縮感知在其他磁共振成像方法中的應(yīng)用

2.1 并行成像

目前比較流行的并行成像算法主要有三類:基于圖像空間的技術(shù)(SENSE)、基于K空間的技術(shù)(GRAPPA、SMASH)還有基于圖像空間和K空間的混合的技術(shù)(SPACE－RIP)。Ye等［7］提出了一種快速數(shù)值方法—部分并行MRI圖像重建的加速技術(shù)，通過變量分裂和獲取最優(yōu)步長的方式來減少計算量和加快收斂。還有一些研究工作也嘗試將并行成像技術(shù)和壓縮感知技術(shù)相結(jié)合，以進(jìn)一步提高成像速度［8，9］。

2.2 動態(tài)成像

動態(tài)磁共振成像是一種控制動態(tài)過程的技術(shù)。最先將壓縮感知思想應(yīng)用到動態(tài)磁共振成像的是Lustig等人。他提出的k－t SPARSE方法，成功的將壓縮感知理論應(yīng)用到心臟成像。HongJung等［10］提出的k－t FOCUSS算法并將之用于動態(tài)MR圖像的重建，Chenlu Qiu等［11］提出了KF－CS算法將卡爾曼濾波器引入到動態(tài)MR圖像的重建中。2011年，Lingala等［12］提出了一種重建動態(tài)核磁共振MRI圖像的新方法，該方法在由欠采樣的原始K空間數(shù)據(jù)進(jìn)行信號重建時，充分利用了信號的稀疏性。

2.3 三維圖像重構(gòu)

傳統(tǒng)的三維磁共振圖像重建主要通過在重建中使用適當(dāng)?shù)募s束正則項，并利用了圖像序列的時間相關(guān)性來獲取重建結(jié)果。而Montefusco等［13］采用體積圖像的梯度稀疏性，將圖像重建問題轉(zhuǎn)化為有約束的三維最小化問題，該方法可以用較少的頻率采樣數(shù)據(jù)得到高分辨率的重建圖像。文獻(xiàn)［14］將壓縮感知理論應(yīng)用于大腿肌肉中的磷酸肌醉三維成像，以主成分分析方法為稀疏變換，根據(jù)相位編碼對圖像進(jìn)行分割，采用k－t稀疏技術(shù)的迭代重構(gòu)算法對圖像進(jìn)行重建。

3 結(jié)論

將壓縮感知理論應(yīng)用于醫(yī)學(xué)磁共振成像，可以縮短圖像重構(gòu)時間。而磁共振成像速度越快，重建圖像質(zhì)量越高，越有利于醫(yī)生的診斷，同時還可以減輕病人在掃描過程中的不適。雖然到目前為止提出了很多不同的針對磁共振成像的稀疏變換、采樣軌跡設(shè)計、重建算法，但是隨著研究的推進(jìn)和科技的發(fā)展，對成像速度和成像質(zhì)量的要求只會越為越高。因此，尋找最優(yōu)的稀疏表示、恰當(dāng)?shù)牟蓸臃绞揭约案哔|(zhì)的重建算法依然是我們的目標(biāo)。而如何將壓縮感知與磁共振成像應(yīng)用的其他方面相結(jié)合仍然是我們需要深入研究的問題。

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Application of compressed sensing in magnetic resonance imaging

ZHONG Xiao－yan1，BU Xiang－lei2，TIAN Hui－yong1
(1Department of biomedical engineering，southern medical university，guangzhou 510515，China; 2Equipment division，guangzhou women and childrens medical center，guangzhou 510263，China)

Compressed sensing is a novel signal acquisition method based on the matrix analysis，probability statistics theory and functional analysis.Original signal can be reconstructed by fewer sampling data that needed in nyquist sampling theory.This paper presents the principles of compressed sensing combined with magnetic resonance imaging(MRI).Sparse representation of magnetic image，design of k－space sampling trace and choice of high quality reconstruction algorithms are included.At last，the other applications of the compressed sensing in the magnetic resonance imaging are discussed.

Compressed Sensing(CS);Magnetic Resonance Imaging(MRI);Sparse representation;Image Reconstruction

R445.2

A

1002－2376(2015)06－0001－05

2015－02－11