基于改進(jìn)粒子群-差分算法的電容器優(yōu)化配置

孫白艷 李眾立 楊 帥

(西南科技大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 綿陽 621010)

電容器的優(yōu)化配置是無功補償系統(tǒng)優(yōu)化的前提，它要求在不同負(fù)荷水平、不同時段及不同地點等各種限制條件下選擇合適的電容器安裝節(jié)點、安裝大小和安裝類型，以盡可能地減少成本，提高電網(wǎng)的電壓質(zhì)量，獲得最大經(jīng)濟(jì)收益。配電網(wǎng)電容器優(yōu)化配置是一個非線性整數(shù)優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是離散控制的非線性函數(shù)，難以直接用常規(guī)的優(yōu)化方法來求解，而且隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，其計算量也在顯著增加。

近年來，一些智能優(yōu)化算法及其改進(jìn)算法被廣泛地應(yīng)用到電容器優(yōu)化配置上來。余欣梅提出了改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，并將其應(yīng)用到電容器優(yōu)化配置和電容器優(yōu)化投切上[1]；張愛軍等將遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn)[2]；文獻(xiàn)[3，4]對傳統(tǒng)的Tabu搜索算法進(jìn)行了靈敏度分析改進(jìn)；文獻(xiàn)[5]將免疫算法和遺傳算法進(jìn)行比較，并將其應(yīng)用到電容器優(yōu)化配置上。這些現(xiàn)代啟發(fā)式方法在電容器優(yōu)化配置問題上取得了一定的成果，但是上述各種算法同樣存在著一些不足，單一的智能算法在迭代后期都會出現(xiàn)收斂于局部極值的現(xiàn)象。

筆者在研究了粒子群優(yōu)化(PSO)算法和差分進(jìn)化(DE)算法的基礎(chǔ)上，對粒子群優(yōu)化算法做了改進(jìn)，并將改進(jìn)后的粒子群算法與差分進(jìn)化算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)粒子群-差分算法的混合算法。將該算法應(yīng)用到配電網(wǎng)電容器優(yōu)化配置中，對IEEE33節(jié)點配電網(wǎng)算例進(jìn)行仿真，結(jié)果表明該算法在一定程度上提高了目標(biāo)函數(shù)的搜索效率和收斂精度，避免了尋優(yōu)過程中過早陷入局部極值的問題，證明了該算法的實用性和有效性。

1 算法分析①

1.1 PSO算法

(1)

(2)

其中，k、k+1表示迭代次數(shù)；w表示慣性權(quán)重；c1、c2為加速系數(shù)，也稱作認(rèn)知因子和社會因子；rand1和rand2是兩個在區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，每次迭代都隨機(jī)生成；pid-xid說明了粒子自身最佳狀態(tài)和當(dāng)前狀態(tài)的距離；pgd-xid說明了粒子當(dāng)前狀態(tài)與種群中“鄰居”粒子找到的最佳狀態(tài)的距離。

式(1)中的關(guān)鍵參數(shù)w起著調(diào)整算法的功能，一方面可以平衡粒子的全局搜索能力。另一方面也要調(diào)整微粒的局部搜索能力。當(dāng)w較大時粒子可以保持運動慣性，有利于搜索到整個區(qū)域；當(dāng)w較小時有利于搜索范圍較小的局部區(qū)域。大多數(shù)粒子群優(yōu)化算法都是在迭代初始時設(shè)置w為較大的值，隨著迭代的增加逐漸遞減至較小的值。文獻(xiàn)[1]對慣性權(quán)重w做了大量分析，提出將慣性權(quán)重w隨著迭代次數(shù)的增加由最小值wmin線性增長至最大值wmax，即：

w=wmin+(wmax-wmin)·itera/iteramax

(3)

式中itera、iteramax——迭代的次數(shù)和最高次數(shù)；

wmax、wmin——w能取的最高值和最低值。

結(jié)合式(2)對粒子群優(yōu)化算法的速度做以下改進(jìn)：

(4)

(5)

其中，φ1、φ2為取值在[0.5,2]的隨機(jī)數(shù)。

1.2 DE算法

DE算法是在20世紀(jì)末由Stron等提出的基于群體進(jìn)化的計算技術(shù)[7]。它具有記憶功能，能記錄種群中的個體最優(yōu)解，同時還具有共享機(jī)制，能夠在種群內(nèi)部進(jìn)行信息共享。作為一種群智能搜索算法，DE首先在搜索空間隨機(jī)生成一個初始種群，然后用當(dāng)前種群個體的差分變異和交叉重組得到中間代種群，然后再對中間代種群和父代種群進(jìn)行選擇操作，得到新一代種群[8]。筆者用DE經(jīng)典的DE/rand/1/bin形式進(jìn)行說明[9～12]。

根據(jù)邊界約束條件在D維搜索空間中隨機(jī)生成Np個個體，該優(yōu)化過程由3個主要的操作步驟來控制，分別為突變、交叉和選擇。

突變。在D維搜索空間中隨機(jī)生成一個種群Np，該種群內(nèi)的個體Xi=(xi1,xi2,…,xiD)(i=1,2,…，Np)；隨機(jī)選擇3個不同的向量Xr1(t)、Xr2(t)和Xr3(t)作為3個變異個體：

Mi(t)=Xr1(t)+F(Xr2(t)-Xr3(t))

(6)

其中，F(xiàn)是取值在[0，2]的縮放因子，用于改變差分變量的放大和縮小水平；t為進(jìn)化代數(shù)。

交叉。對第t代個體Xi(t)及其變異個體Mi(t+1)進(jìn)行交叉操作得到中間代個體：

(7)

其中，k、krand為1,2,…,D的隨機(jī)維度；rand為[0,1]的隨機(jī)數(shù)；CR為[0,1]的交叉因子。

選擇。DE算法采用貪婪策略，從父代個體和中間代個體中選擇優(yōu)越者組成新一代的個體Xi(t+1)，其中f為求解問題的適應(yīng)度函數(shù)：

(8)

1.3 改進(jìn)粒子群-差分算法

PSO算法和DE算法都屬于啟發(fā)式群智能算法[13]，在保證PSO種群多樣性的情況下，PSO算法能較好地探索求解區(qū)域，收斂速度也相對較快。但是PSO算法在遇到高位復(fù)雜問題優(yōu)化時容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。為了解決PSO過早收斂于局部極值的問題,對PSO算法的關(guān)鍵參數(shù)w進(jìn)行改進(jìn)，并將其與DE算法嵌套迭代形成一種新的混合群智能算法——改進(jìn)粒子群-差分(IPSO-DE)算法,該算法首先利用PSO的快速搜索能力得到一個較優(yōu)的群體,然后利用DE的變異算子對其進(jìn)行變異操作,再對原種群和變異后的實驗種群進(jìn)行交叉運算,再用DE的貪婪選擇算法選擇出較優(yōu)的群體。

算法的基本步驟如下：

a. 隨機(jī)生成m個粒子作為父代種群，每一個粒子i隨機(jī)生成一個位置坐標(biāo)Xi和速度坐標(biāo)Vi。設(shè)置參數(shù)c1、c2并生成相應(yīng)的φ1、φ2值、縮放因子F、交叉因子CR及最大迭代次數(shù)Tmax等。

b. 計算當(dāng)前粒子的適應(yīng)度值。記錄個體當(dāng)前最優(yōu)值Pi=(pi1，pi2，…，pin)，種群全局最優(yōu)值Pg=(pg1，pg2，…，pgn)。根據(jù)式(2)、(4)更新粒子的位置和速度信息，并根據(jù)式(3)、(5)更新慣性權(quán)重w和φ1、φ2值。

c. 若粒子當(dāng)前的適應(yīng)度值優(yōu)于個體極值Pbest，則當(dāng)前適應(yīng)度值作為新的個體極值Pbest。所有粒子的適應(yīng)度值與全局極值Gbest比較，若有優(yōu)于Gbest的粒子則更新Gbest。

d. 根據(jù)式(6)～(8)對粒子進(jìn)行變異、交叉和選擇操作，并將進(jìn)行差分進(jìn)化運算后的粒子個體極值和全局極值記為DPbest和DGbest。

e. 比較Pbest和DPbest以及Gbest和DGbest，保留較優(yōu)者。

f. 判斷是否達(dá)到終止條件，如果沒有則轉(zhuǎn)到步驟b繼續(xù)執(zhí)行；否則，結(jié)束運行，輸出最優(yōu)值并退出程序。

2 基于IPSO-DE算法的配電網(wǎng)電容器優(yōu)化配置

2.1 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

電容器優(yōu)化配置的目標(biāo)是在滿足電力系統(tǒng)負(fù)荷增長需要和各項約束條件下，根據(jù)優(yōu)化方法使系統(tǒng)有用功網(wǎng)絡(luò)損耗費用和電容器配置費用達(dá)到最低[13]。系統(tǒng)的電能損耗總費用就是系統(tǒng)的有功網(wǎng)絡(luò)損耗費用，指在不同負(fù)荷情況下的功率損耗與該負(fù)荷水平持續(xù)時間的乘積。電容器配置費用包括電容器的購買費用、安裝費用及其維護(hù)費用等。目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

其中，ke為單位有功網(wǎng)絡(luò)損耗費用系數(shù)；nt為負(fù)荷等級；nc為配電網(wǎng)中需要安裝補償電容器的節(jié)點總和；ti為負(fù)荷等級i下的持續(xù)時間；Ploss為負(fù)荷等級i下的有功網(wǎng)絡(luò)損耗；xi=[Pi,Qi,Ui]；Pi、Qi和Ui分別表示在第i個負(fù)荷下每一個節(jié)點有功功率注入向量、無功功率注入向量和電壓；ui,k為在負(fù)荷等級i下節(jié)點k處的安裝電容器容量；f(ui,k)為節(jié)點k處安裝電容器的投資費用，包括購買、安裝及維護(hù)費等[13]。

約束條件為：

(10)

s.t.

潮流計算約束Pflow(xi,ui)=0

節(jié)點電壓約束Ui,min≤Ui≤Ui,max

(11)

電容器容量約束 0≤uk,i≤uk,0

式中Ui,max、Ui,min——節(jié)點電壓的最大值與最小值；

uk,0——電容器容量的安裝上限。

2.2 求解過程及其步驟

用于解決配電網(wǎng)電容器配置問題的算法步驟如下：

a. 輸入系統(tǒng)數(shù)據(jù)。根據(jù)補償節(jié)點數(shù)據(jù)和補償上下限約束，初始化一個粒子群體，粒子的維數(shù)設(shè)置為系統(tǒng)的節(jié)點總數(shù)，設(shè)置粒子的速度、位置信息及進(jìn)行差分進(jìn)化運算的縮放因子F等。記錄個體當(dāng)前最優(yōu)值Pi=(pi1，pi2，…，pim)，種群全局最優(yōu)值Pg=(pg1，pg2，…，pgn)。

b. 判斷當(dāng)前微粒位置中的某些變量是否滿足式(11)的約束，若不滿足則將這些變量限制為約束上下限值。計算各個補償節(jié)點的費用和有功網(wǎng)絡(luò)損耗。

c. 在不同負(fù)荷水平下，計算系統(tǒng)的潮流方程，獲得各個節(jié)點的有功功率、無功功率和電壓值，根據(jù)式(2)、(4)更新粒子的位置和速度，根據(jù)式(3)更新慣性權(quán)重w，按式(9)計算粒子的適應(yīng)度。若粒子當(dāng)前的適應(yīng)度值優(yōu)于個體極值Pbest，則當(dāng)前的適應(yīng)度作為新的個體極值Pbest。所有粒子的適應(yīng)度值與全局極值Gbest比較，若有優(yōu)于Gbest的粒子則更新Gbest。

d. 根據(jù)式(6)～(8)對粒子進(jìn)行變異、交叉和選擇操作，并將進(jìn)行差分進(jìn)化運算后的粒子個體極值和全局極值記為DPbest和DGbest。

e. 比較Pbest和DPbest以及Gbest和DGbest，保留較優(yōu)者。

f. 判斷是否達(dá)到終止條件，如果沒有則轉(zhuǎn)到步驟b繼續(xù)執(zhí)行，否則就結(jié)束運行輸出優(yōu)化結(jié)果。

3 算例分析

將以上算法應(yīng)用于IEEE33節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化配置計算，計算過程中，令種群規(guī)模m=40，ke=0.80元/kWh，單位電容器的無功補償功率為300kVar，可投切電容器的金額為5 000元，每個安裝點的安裝費用為1 500元，每單位固定電容器的價格為2 000元，每單位電容器年維護(hù)費用為500元，每個節(jié)點電容器的安裝上限為5臺，電壓的上下限分別設(shè)置為1.0V和0.9V，每年不同負(fù)荷持續(xù)時間見表1，IEEE33節(jié)點配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

表1 不同負(fù)荷年持續(xù)時間

圖1 IEEE33節(jié)點配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖

優(yōu)化結(jié)果見表2。

表2 電容器的優(yōu)化配置結(jié)果

電容器優(yōu)化配置的結(jié)果對比見表3。

表3 電容器優(yōu)化配置結(jié)果對比

從表3可以看出合理配置電容器后，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗降低了17.4%，有功網(wǎng)絡(luò)損耗得到了降低，年運行費用節(jié)省了9.19萬元，減少了35.6%。算例分析表明，所提出的IPSO-DE算法的求解方法是合理、有效的。

4 結(jié)束語

提出的IPSO-DE算法充分發(fā)揮了粒子群算法搜索速度快、效率高、算法簡單的特點。針對PSO算法易于陷入局部極值的問題進(jìn)行了改進(jìn)，結(jié)合差分算法的魯棒性和能克服啟發(fā)式算法常見早熟問題的特點，將其運用到配電網(wǎng)電容器優(yōu)化配置問題上，結(jié)合IEEE33節(jié)點的配電系統(tǒng)，編寫實用的計算機(jī)仿真程序進(jìn)行仿真計算，對計算結(jié)果的分析表明：筆者所提出的算法不僅降低了網(wǎng)絡(luò)損耗，還節(jié)省了資金投入，取得了較好的優(yōu)化結(jié)果。

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