思維拓展棱錐體積計(jì)算話思想

胡彬

棱錐的體積只與棱錐的底面積和高有關(guān)，而與其形狀無(wú)關(guān).求四面體的體積時(shí)要注意合理選取底面.同時(shí)，計(jì)算棱錐的體積也應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用.常用的思想方法有：轉(zhuǎn)換思想、等積變換思想、分割思想及補(bǔ)形思想.

一、轉(zhuǎn)換思想

圖1

例1如圖1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都為a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱錐B-B1DE的體積.

分析本題有助于提高空間想象能力，棱錐B-B1DE的位置不利于計(jì)算，利用等底面積等高的錐體體積相等的定理把求該棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求其他棱錐的體積.

解直三棱柱各棱長(zhǎng)均為a，

∴各側(cè)面是正方形，D、E分別是AB1、CB1的中點(diǎn)，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱錐B-AB1C與棱錐B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

評(píng)注從以上的解答過(guò)程我們可以看到，本題直接計(jì)算三棱錐B-B1DE的底面積與高將十分困難，但是，當(dāng)我們把求三棱錐B-B1DE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B1-ABC的體積時(shí)，三棱錐B1-ABC的高與底面積就一目了然了，這樣合理轉(zhuǎn)化后使計(jì)算大大簡(jiǎn)化.

二、等積變換思想

圖2

例2如圖2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高為3，底面邊長(zhǎng)為2，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，求四棱錐A-A1B1ED的體積.

分析直接求四棱錐的底面積和高，再求體積可行，但不如分割成三棱錐后再進(jìn)行“等積變換”解答簡(jiǎn)便.

解連A1E，則S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

評(píng)注“等積變換”一般有兩類：一是對(duì)同一個(gè)三棱錐，變某一側(cè)面為底面；二是對(duì)兩個(gè)不同的錐體，或頂點(diǎn)不變，在同一平面內(nèi)變換底面，或底面不變，在與底面平行的直線上或平面內(nèi)變換頂點(diǎn)的位置.靈活運(yùn)用“等積變換”，事半功倍.

三、分割與補(bǔ)形思想

例3在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線ED=h，求證：三棱錐P-ABC的體積V=16·l2·h.

分析一當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，無(wú)法直接運(yùn)用體積公式求解，這時(shí)一般通過(guò)分割與補(bǔ)形，即將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這種方法就稱為割補(bǔ)法.該題的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）將三棱錐分割成兩個(gè)易求體積的三棱錐.圖3

證法一如圖3所示，

連EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱，則便于利用條件求體積.

圖4

證法二如圖4所示，

以PA為側(cè)棱，△ABC為底面將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱ABC-PQR，則△BCE為直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

評(píng)注（1）本題還可以將三棱錐補(bǔ)形為四棱錐求體積；（2）三棱錐是最簡(jiǎn)單的多面體，求多面體的體積時(shí)，常將其分割成幾個(gè)三棱錐，或?qū)⑵溲a(bǔ)形成四棱錐、三棱柱，即采用“割補(bǔ)法”使問(wèn)題更容易得到解決.

（收稿日期：2014-06-12）

棱錐的體積只與棱錐的底面積和高有關(guān)，而與其形狀無(wú)關(guān).求四面體的體積時(shí)要注意合理選取底面.同時(shí)，計(jì)算棱錐的體積也應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用.常用的思想方法有：轉(zhuǎn)換思想、等積變換思想、分割思想及補(bǔ)形思想.

一、轉(zhuǎn)換思想

圖1

例1如圖1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都為a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱錐B-B1DE的體積.

分析本題有助于提高空間想象能力，棱錐B-B1DE的位置不利于計(jì)算，利用等底面積等高的錐體體積相等的定理把求該棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求其他棱錐的體積.

解直三棱柱各棱長(zhǎng)均為a，

∴各側(cè)面是正方形，D、E分別是AB1、CB1的中點(diǎn)，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱錐B-AB1C與棱錐B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

評(píng)注從以上的解答過(guò)程我們可以看到，本題直接計(jì)算三棱錐B-B1DE的底面積與高將十分困難，但是，當(dāng)我們把求三棱錐B-B1DE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B1-ABC的體積時(shí)，三棱錐B1-ABC的高與底面積就一目了然了，這樣合理轉(zhuǎn)化后使計(jì)算大大簡(jiǎn)化.

二、等積變換思想

圖2

例2如圖2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高為3，底面邊長(zhǎng)為2，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，求四棱錐A-A1B1ED的體積.

分析直接求四棱錐的底面積和高，再求體積可行，但不如分割成三棱錐后再進(jìn)行“等積變換”解答簡(jiǎn)便.

解連A1E，則S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

評(píng)注“等積變換”一般有兩類：一是對(duì)同一個(gè)三棱錐，變某一側(cè)面為底面；二是對(duì)兩個(gè)不同的錐體，或頂點(diǎn)不變，在同一平面內(nèi)變換底面，或底面不變，在與底面平行的直線上或平面內(nèi)變換頂點(diǎn)的位置.靈活運(yùn)用“等積變換”，事半功倍.

三、分割與補(bǔ)形思想

例3在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線ED=h，求證：三棱錐P-ABC的體積V=16·l2·h.

分析一當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，無(wú)法直接運(yùn)用體積公式求解，這時(shí)一般通過(guò)分割與補(bǔ)形，即將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這種方法就稱為割補(bǔ)法.該題的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）將三棱錐分割成兩個(gè)易求體積的三棱錐.圖3

證法一如圖3所示，

連EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱，則便于利用條件求體積.

圖4

證法二如圖4所示，

以PA為側(cè)棱，△ABC為底面將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱ABC-PQR，則△BCE為直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

評(píng)注（1）本題還可以將三棱錐補(bǔ)形為四棱錐求體積；（2）三棱錐是最簡(jiǎn)單的多面體，求多面體的體積時(shí)，常將其分割成幾個(gè)三棱錐，或?qū)⑵溲a(bǔ)形成四棱錐、三棱柱，即采用“割補(bǔ)法”使問(wèn)題更容易得到解決.

（收稿日期：2014-06-12）

棱錐的體積只與棱錐的底面積和高有關(guān)，而與其形狀無(wú)關(guān).求四面體的體積時(shí)要注意合理選取底面.同時(shí)，計(jì)算棱錐的體積也應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用.常用的思想方法有：轉(zhuǎn)換思想、等積變換思想、分割思想及補(bǔ)形思想.

一、轉(zhuǎn)換思想

圖1

例1如圖1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都為a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱錐B-B1DE的體積.

分析本題有助于提高空間想象能力，棱錐B-B1DE的位置不利于計(jì)算，利用等底面積等高的錐體體積相等的定理把求該棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求其他棱錐的體積.

解直三棱柱各棱長(zhǎng)均為a，

∴各側(cè)面是正方形，D、E分別是AB1、CB1的中點(diǎn)，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱錐B-AB1C與棱錐B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

評(píng)注從以上的解答過(guò)程我們可以看到，本題直接計(jì)算三棱錐B-B1DE的底面積與高將十分困難，但是，當(dāng)我們把求三棱錐B-B1DE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B1-ABC的體積時(shí)，三棱錐B1-ABC的高與底面積就一目了然了，這樣合理轉(zhuǎn)化后使計(jì)算大大簡(jiǎn)化.

二、等積變換思想

圖2

例2如圖2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高為3，底面邊長(zhǎng)為2，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，求四棱錐A-A1B1ED的體積.

分析直接求四棱錐的底面積和高，再求體積可行，但不如分割成三棱錐后再進(jìn)行“等積變換”解答簡(jiǎn)便.

解連A1E，則S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

評(píng)注“等積變換”一般有兩類：一是對(duì)同一個(gè)三棱錐，變某一側(cè)面為底面；二是對(duì)兩個(gè)不同的錐體，或頂點(diǎn)不變，在同一平面內(nèi)變換底面，或底面不變，在與底面平行的直線上或平面內(nèi)變換頂點(diǎn)的位置.靈活運(yùn)用“等積變換”，事半功倍.

三、分割與補(bǔ)形思想

例3在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線ED=h，求證：三棱錐P-ABC的體積V=16·l2·h.

分析一當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，無(wú)法直接運(yùn)用體積公式求解，這時(shí)一般通過(guò)分割與補(bǔ)形，即將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這種方法就稱為割補(bǔ)法.該題的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）將三棱錐分割成兩個(gè)易求體積的三棱錐.圖3

證法一如圖3所示，

連EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱，則便于利用條件求體積.

圖4

證法二如圖4所示，

以PA為側(cè)棱，△ABC為底面將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱ABC-PQR，則△BCE為直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

評(píng)注（1）本題還可以將三棱錐補(bǔ)形為四棱錐求體積；（2）三棱錐是最簡(jiǎn)單的多面體，求多面體的體積時(shí)，常將其分割成幾個(gè)三棱錐，或?qū)⑵溲a(bǔ)形成四棱錐、三棱柱，即采用“割補(bǔ)法”使問(wèn)題更容易得到解決.

（收稿日期：2014-06-12）