一種無須變換參考星的GNSS單基線卡爾曼濾波算法

張寶成，袁運(yùn)斌，蔣振偉

1.中國科學(xué)院測量與地球物理研究所動(dòng)力大地測量學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢430077；2.北京空間信息中繼傳輸技術(shù)研究中心，北京100094

1 引 言

兩臺(tái)GNSS接收機(jī)可形成一條基線，對(duì)其同步觀測的偽距和相位觀測值實(shí)施雙差，可建立一組包含相對(duì)位置和雙差模糊度等參數(shù)的觀測方程，以用于實(shí)施相對(duì)定位等應(yīng)用［1－3］。其中，實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理和整周模糊度固定能分別確保各類參數(shù)估值的時(shí)效性和可靠性［4－5］。為此，通常采用卡爾曼濾波估計(jì)參數(shù)，并需要在相鄰歷元之間傳遞雙差模糊度的濾波值。然而，當(dāng)前后歷元的雙差模糊度所對(duì)應(yīng)的參考星不同時(shí)，還需要構(gòu)造一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣，用于將雙差模糊度“映射”至當(dāng)前歷元的參考星，以確保傳遞的準(zhǔn)確性和濾波的連續(xù)性。實(shí)際中，造成參考星發(fā)生改變的典型因素包括：①原參考星不可視；②原參考星的相位觀測值被探測出粗差或周跳；③原參考星的高度角變低（若始終將高度角最大的衛(wèi)星用作參考星）等。

本文提出了一種基于站間單差觀測方程的GNSS單基線濾波算法。在消除了由于接收機(jī)相位鐘差和站間單差模糊度所引起的列秩虧后，可估的模糊度參數(shù)將仍具備雙差形式和整數(shù)特性。另外，該算法還能更為直接地估計(jì)若干類“偏差”參數(shù)：①接收機(jī)鐘差，可服務(wù)精密授時(shí)、時(shí)間傳遞等應(yīng)用［6－10］；②接收機(jī)差分偽距偏差，用于獲取“無偏的”電離層延遲等信息［11－16］；③接收機(jī)相位鐘差，常用作頻率傳遞的基本輸入［9－10］。

理論上，當(dāng)在隨機(jī)模型中考慮由雙差（或單差）運(yùn)算所引起的數(shù)學(xué)相關(guān)，并假定經(jīng)雙差（或單差）過程所消去的各類參數(shù)均為時(shí)變參數(shù)（即歷元間無關(guān)聯(lián)）時(shí)，濾波分別采用雙差和單差觀測方程實(shí)施參數(shù)估計(jì)將具備等價(jià)性［17－18］。本文側(cè)重于強(qiáng)調(diào)濾波基于兩種觀測方程的實(shí)施差異。針對(duì)雙差濾波模型，概括了處理參考星變換的具體方案，構(gòu)造了對(duì)應(yīng)于不同參考星的兩組雙差模糊度間的轉(zhuǎn)換矩陣，同時(shí)論述了定義不同參考星對(duì)雙差模糊度和接收機(jī)相位鐘差可估性的影響。在此基礎(chǔ)上，明確了單差濾波模型的兩種實(shí)際便利性：①無須變換參考星，避免了傳遞雙差模糊度濾波值時(shí)的“映射”等運(yùn)算；②接收機(jī)相位鐘差濾波值中不再存在“整周跳躍”現(xiàn)象，因此能更真實(shí)地反映接收機(jī)鐘的頻率穩(wěn)定性。

2 單基線GNSS數(shù)據(jù)處理

經(jīng)由線性化，GNSS非差偽距和相位觀測方程可聯(lián)合地表示為［19－20］

式中，E（·）是數(shù)學(xué)期望運(yùn)算符和分別表示偽距和相位觀測值，其上標(biāo)s和i代表衛(wèi)星和歷元，下標(biāo)r和j則為接收機(jī)和頻率是4×1的幾何參數(shù)向量，分別包含了三維位置增量和天頂對(duì)流層延遲（ZTD）；系數(shù)由r－s單位方向向量和 ZTD 投影函數(shù)構(gòu)成和對(duì)應(yīng)于接收機(jī)偽距和相位鐘差，各自分別吸收了接收機(jī)偽距和相位偏差和為衛(wèi)星偽距和相位鐘差；為非差模糊度，單位為周；系數(shù)λj表示波長。本文假定，除外，其余參數(shù)均為時(shí)變參數(shù)。

在確保結(jié)論適用性的前提下，為簡化隨后的推導(dǎo)和論述，此處假定電離層延遲可被站間單差（針對(duì)短基線）或形成消電離層組合（針對(duì)中長基線）等手段消除，式（1）中因此未包含電離層延遲參數(shù)。

2.1 雙差濾波模型的參考星變換方案與影響

假定構(gòu)成基線的兩臺(tái)接收機(jī)（r＝1，2）在當(dāng)前歷元i共觀測了m顆衛(wèi)星（s＝1，2，…，m）在f個(gè)頻率（j＝1，2，…，f）上的偽距和相位觀測值，此時(shí)全部非差觀測值的個(gè)數(shù)為4fm。為構(gòu)造對(duì)應(yīng)的雙差觀測值，可分別將第1顆衛(wèi)星和第1個(gè)接收機(jī)用作參考星和參考站，以定義雙差算子

式中，Dr＝［－1 1］和分別為站間和星間單差算子；I為單位矩陣，下標(biāo)表示其維數(shù)；em－1是各元素均為1的m－1維列向量。

將依次左乘全部的非差偽距和相位觀測值，可得2f（m－1）個(gè)相應(yīng)的雙差觀測值，其觀測方程即為

式中，s≠1和和（·）r1分別代表雙差、星間單差和站間單差變量。

由于雙差運(yùn)算完全消除了各類鐘差參數(shù)，式（3）無法直接地滿足時(shí)頻傳遞應(yīng)用，為此，還需引入2f個(gè)對(duì)應(yīng)于參考星（s＝1）的站間單差觀測方程

式中

在利用卡爾曼濾波處理多歷元（i≥2）觀測值時(shí)，須合理地考慮雙差模糊度不隨時(shí)間變化的特性，以遞歸地增強(qiáng)各類參數(shù)的濾波解精度。因此，需要對(duì)上一歷元的雙差模糊度濾波值實(shí)施一步時(shí)間預(yù)報(bào)，并將該預(yù)報(bào)值用作當(dāng)前歷元雙差模糊度參數(shù)的“偽觀測值”。在此之前，若相鄰歷元構(gòu)造雙差觀測值時(shí)所定義的參考星不同，還需要借助線性變換運(yùn)算，用于“對(duì)齊”兩個(gè)歷元的雙差模糊度。

以兩相鄰歷元i和i＋1為例，設(shè)各自對(duì)應(yīng)的雙差模糊度向量為

即，它們均對(duì)應(yīng)m顆相同的衛(wèi)星（s＝1，2，…，p，q，…，m），但分別以第p和q顆衛(wèi)星作為參考星（衛(wèi)星排序?yàn)閝＝p＋1≥2）。此時(shí)，可定義如下的轉(zhuǎn)換矩陣Ti，以實(shí)現(xiàn)

式中，將單位陣Im－1的第q－1列用－em－1代替，即可得矩陣，以用于將對(duì)應(yīng)于參考星p的雙差模糊度“映射”至參考星q。

若當(dāng)衛(wèi)星排序?yàn)?≤q＋1＝p時(shí)，Ti則可定義為

式中，矩陣定義與式（7）中的類似，此處不再詳述。

在濾波過程中，須涉及上述雙差模糊度“映射”運(yùn)算的情況包括：

（1）原參考星p消失。此時(shí)，通過選定新的參考星q（此處僅考慮q＝p＋1），構(gòu)造形如式（7）的Ti矩陣，可分別將Mi和其協(xié)方差轉(zhuǎn)換為和

式中，（·）T表示矩陣轉(zhuǎn)秩運(yùn)算。之后，剔除ˉMi中的第p個(gè)元素（即p相對(duì)于q的雙差模糊度），并刪除所包含的第p個(gè)行、列向量后，即可聯(lián)合地被預(yù)報(bào)至歷元i＋1。

（2）原參考星p的相位觀測值存在周跳。由于前后歷元衛(wèi)星個(gè)數(shù)不變，在完成式（9）所涉及的運(yùn)算后，即可將和傳遞至歷元i＋1，以用作“偽觀測值”向量。此時(shí)，可認(rèn)為中第p個(gè)元素包含“粗差”，為消除其影響，可對(duì)其引入一個(gè)額外的未知參數(shù)。

值得注意，對(duì)于上述情況，需確保新參考星q在相鄰歷元i和i＋1均可視。

另外，之前已指出，估計(jì)接收機(jī)鐘差直接依賴參考星的站間單差觀測方程，參考星變換還會(huì)對(duì)接收機(jī)鐘差的可估性造成影響。若兩歷元i和i＋1對(duì)應(yīng)的參考星分別是p和q，由式（5）可知，兩歷元的接收機(jī)相位鐘差和之差，包含了由（即q和p之間的雙差模糊度）所引起的“整周跳躍”。

2.2 無須變換參考星的單差濾波模型

式中，各符號(hào)的含義可參見式（3）—式（5）。

易知，式（10）對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣列秩虧，可導(dǎo)致參數(shù)解不唯一［21］。為此，可將第1顆衛(wèi)星（s＝1）的模糊度定義為“基準(zhǔn)”，用于消除接收機(jī)相位鐘差與所有模糊度之間的線性相關(guān)。此后，式（10）即具備如下的滿秩形式

與雙差模型類似，當(dāng)濾波采用式（11）所表示的單差觀測方程時(shí)，也需要傳遞相鄰歷元間的雙差模糊度濾波值。針對(duì)歷元i＋1，若對(duì)應(yīng)于“基準(zhǔn)”模糊度參數(shù)（即）的衛(wèi)星（即s＝1，其作用類似雙差模型所定義的參考星）消失，其處理方式盡管仍可采用雙差模型中變換參考星的策略，但這并非必要。

需要明確，針對(duì)每一顆衛(wèi)星，在其可被連續(xù)跟蹤的時(shí)段內(nèi)，其單差模糊度是時(shí)不變參數(shù)，個(gè)數(shù)為j。這也意味著，對(duì)于多歷元數(shù)據(jù)處理而言，由單差模糊度和接收機(jī)相位鐘差所引起的秩虧數(shù)也始終為j，而與歷元數(shù)無關(guān)。因此，當(dāng)在某個(gè)歷元（如i）選取了某顆衛(wèi)星（如s＝1）的j個(gè)單差模糊度（即）作為“基準(zhǔn)”時(shí)，其余衛(wèi)星的單差模糊度，s＝2，3，…，m）將吸收，從而具備了雙差形式（即）。當(dāng)被預(yù)報(bào)至隨后歷元（如i＋1）時(shí)，即使對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星s＝1消失，中的分量可繼續(xù)充當(dāng)“基準(zhǔn)”模糊度。

綜合上述考慮，歷元i＋1的單差觀測方程可被表示為

式中，s＝2，3，…，m。對(duì)比歷元i的單差觀測方程（見式（11））可知：

（1）可估的雙差模糊度仍相對(duì)于衛(wèi)星s＝1。這也表明，兩歷元（i和i＋1）的雙差模糊度均對(duì)應(yīng)相同的“基準(zhǔn)”單差模糊度，因此不需要實(shí)施“映射”運(yùn)算。

（2）可估的接收機(jī)相位鐘差的含義為

與歷元i的估值相比（含義見式（5）），除真正鐘差的變化外，兩者均包含了相同的“基準(zhǔn)”單差模糊度（對(duì)應(yīng)衛(wèi)星s＝1），即不再受“整周跳躍”的影響。

針對(duì)聯(lián)合兩個(gè)歷元i和i＋1的數(shù)據(jù)處理，雙差模型選后定義了第s＝1和s＝q共兩個(gè)參考星，而在單差模型中，其雙差模糊度則始終對(duì)應(yīng)于衛(wèi)星s＝1。但兩種模型所包含的雙差模糊度個(gè)數(shù)相等，且可被一致地“映射”至參考星s＝q（該衛(wèi)星在兩歷元內(nèi)均可視），由此可簡單地證明其等價(jià)性。

3 試驗(yàn)分析

本節(jié)分別利用雙差和單差濾波模型處理了兩條基線的雙頻GPS觀測數(shù)據(jù)，用于分析參考星變換對(duì)雙差模糊度和接收機(jī)相位鐘差可估性的影響。

3.1 數(shù)據(jù)處理

表1描述了兩條基線的若干基本要素。其中，CUAA－CUT3的基線長度僅為8.4m，站間單差運(yùn)算可充分消除觀測值中的大氣延遲。此時(shí)，雙差模糊度固定的效率和成功率較高，相關(guān)的數(shù)據(jù)處理結(jié)果將用于分析參考星變換對(duì)雙差模糊度可估性的影響。STAR－LALB的基線長度約為105km，相應(yīng)的單差/雙差觀測方程中需引入電離層延遲和ZTD參數(shù)，其數(shù)據(jù)處理結(jié)果將用于考察參考星變換對(duì)接收機(jī)相位鐘差可估性的影響。另外，該基線的觀測時(shí)長僅為21h。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)描述Tab.1 Description of experimental data set

數(shù)據(jù)處理采用了廣播星歷，用于計(jì)算各GPS衛(wèi)星在信號(hào)發(fā)射時(shí)刻的位置：對(duì)于本節(jié)所分析的基線長度而言，站間單差運(yùn)算將能充分地消除星歷誤差。天頂方向衛(wèi)星的非差偽距和相位標(biāo)準(zhǔn)差分別選取為30cm和0.3cm。采用高度角加權(quán)并考慮數(shù)學(xué)相關(guān)性，以最終確定單差和雙差觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差。衛(wèi)星截止高度角為20°，以盡量剔除低精度、強(qiáng)多路徑的觀測值。

式（3）和式（4）對(duì)應(yīng)于雙差濾波模型的觀測方程。為形成雙差觀測值，確定參考星的準(zhǔn)則是：在首個(gè)觀測歷元（i＝1），選取PRN最小的衛(wèi)星作為參考星。之后，在該參考星消失（或被探測出周跳）的當(dāng)前歷元，選取另一個(gè)PRN最小的衛(wèi)星作為新參考星（該衛(wèi)星還需在當(dāng)前和上一個(gè)歷元均可視）。需要強(qiáng)調(diào)，該參考星選取準(zhǔn)則是為了人為地增加參考星變換的頻率，以便于驗(yàn)證本文推導(dǎo)和相關(guān)論述的正確性。

類似的，式（11）對(duì)應(yīng)單差濾波模型的觀測方程。需要指出，為克服模糊度與接收機(jī)相位鐘差之間的秩虧，在首個(gè)觀測歷元將對(duì)應(yīng)于PRN最小衛(wèi)星的單差模糊度約束為“基準(zhǔn)”。顯然，該衛(wèi)星與雙差模型中第一次使用的參考星一致。

最后，各類濾波參數(shù)的初始值采用最小二乘平差首個(gè)歷元的全部觀測數(shù)據(jù)得到。之后，濾波一步時(shí)間預(yù)報(bào)僅傳遞時(shí)不變的雙差模糊度。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 CUAA－CUT3基線

圖1中列出了兩顆衛(wèi)星（PRN 7和PRN 23）相對(duì)于某（些）參考星的L1頻率雙差模糊度濾波值。以圖1（a）中PRN 7結(jié)果為例，分析可得以下兩點(diǎn)結(jié)論。

（1）在該衛(wèi)星出現(xiàn)的約5h時(shí)段內(nèi)，雙差濾波模型先后定義了4個(gè)不同的參考星（見紅色線），導(dǎo)致了其雙差模糊度濾波值（藍(lán)色虛線）中存在3次“跳躍”。盡管對(duì)應(yīng)于不同的參考星，所有雙差模糊度的濾波值均非常接近（不同的）整數(shù)，證明了采用本文式（9）“映射”雙差模糊度的正確性。

（2）對(duì)于單差濾波模型，其雙差模糊度濾波值（綠色虛線）均包含了第一顆參考星（PRN 1）的“基準(zhǔn)”模糊度，其估值在整個(gè)觀測時(shí)段內(nèi)保持連續(xù)，且接近同一個(gè)整數(shù)。同樣，在最初的一段時(shí)間內(nèi)，由于對(duì)應(yīng)相同的參考星，兩種濾波模型所估計(jì)的雙差模糊度相等。

另外，對(duì)于圖1（b）所繪PRN 23的兩類雙差模糊度的濾波值，其特性類似。

前文已述，針對(duì)雙差濾波模型，若參考星由上一歷元的p變?yōu)楫?dāng)前歷元的q時(shí)，以某非參考星s為例，其相對(duì)于新、舊參考星p和q的雙差模糊度分別為和，其差值應(yīng)等于－。為驗(yàn)證該結(jié)論的可靠性，圖2列出了16次參考星變換時(shí)刻和的估值（固定解，分別對(duì)應(yīng)L1和L2頻率）。對(duì)比可知，圖1（a）中（或（b）中），藍(lán)色線所表示的雙差模糊度濾波值在參考星變換后所發(fā)生3次（或2次）“跳躍”的量級(jí)確實(shí)與圖2中圓圈所表示的前3（或前2）組結(jié)果大小相等、符號(hào)相反。

3.2.2 STAR－LALB基線

圖3（a）和圖3（b）中分別繪出了接收機(jī)偽距鐘差（對(duì)應(yīng)C1）與雙頻接收機(jī)相位鐘差（分別對(duì)應(yīng)L1和L2）之差，并除以相應(yīng)的波長，以將單位轉(zhuǎn)換為周。需要指出，該差值實(shí)際上是雙頻接收機(jī)相位偏差［22］。以圖3（a）結(jié)果為例，分析可知：

（1）在濾波開始的前3個(gè)多小時(shí)內(nèi)（對(duì)應(yīng)圖中黑色橢圓），雙差濾波模型所采用的參考星為PRN 1（用紅色線表示），而單差濾波模型同樣將該衛(wèi)星的模糊度定義為“基準(zhǔn)”。在此期間，由于其可估性一致，兩種濾波模型所估計(jì)的接收機(jī)相位偏差（分別用藍(lán)線和綠線表示）互相重合。

（2）當(dāng)PRN 1消失時(shí)，雙差濾波模型重新定義了PRN 4作為新的參考星。此時(shí)，相應(yīng)的接收機(jī)相位鐘差的可估性發(fā)生改變，導(dǎo)致了圖3（a）中的接收機(jī)相位偏差出現(xiàn)了“跳躍”現(xiàn)象。其原因是，在參考星變換前后的兩個(gè)歷元時(shí)刻，接收機(jī)相位鐘差內(nèi)分別包含了對(duì)應(yīng)于PRN 1和PRN 4的模糊度，上述“跳躍”的量級(jí)即為PRN 4和PRN 1之間的雙差模糊度，并具備整數(shù)特性。相反，由于在濾波過程中實(shí)現(xiàn)了“基準(zhǔn)”模糊度在歷元間的傳遞，單差濾波模型估計(jì)的接收機(jī)相位偏差中始終包含一致的“基準(zhǔn)”模糊度，即使在PRN 1消失后，也仍能保持連續(xù)。

（3）值得注意的是，在雙差濾波模型估計(jì)的接收機(jī)相位偏差發(fā)生“跳躍”后，與相對(duì)應(yīng)的單差濾波模型結(jié)果相比，兩者存在一個(gè)整數(shù)常偏，但變化行為一致。即，在有效地補(bǔ)償該“跳躍”后，兩類濾波模型所估計(jì)的接收機(jī)相位鐘差（偏差）將完全相等。

圖3（b）中所表示的L2頻率接收機(jī)相位偏差估值具備類似的行為，此處不再詳細(xì)討論。

對(duì)于雙差濾波模型，當(dāng)參考星由p變?yōu)閝后，接收機(jī)相位偏差的濾波值將出現(xiàn)量級(jí)為的“整周跳躍”。與圖2類似，圖4列出了全部變換參考星時(shí)刻（共10次）的和估值（固定解，分別對(duì)應(yīng)L1和L2頻率）。分析可知，圖3中雙頻接收機(jī)相位偏差濾波值（藍(lán)色線）所經(jīng)歷的10次“跳躍”的量級(jí)與圖4中10組估值的大小完全相等。

圖1 L1頻率上兩個(gè)衛(wèi)星（PRN 7和23）的雙差模糊度估值Fig.1 L1DD integer ambiguities of two representative satellites（PRNs 7and 23）

圖2 參考星變換時(shí)刻，由新、舊參考星所形成的雙差模糊度整數(shù)估值（L1和L2）Fig.2 At the instants of changing pivot satellite，the estimates of integer DD ambiguities associated with two（old and new）pivots satellites

4 總結(jié)和討論

針對(duì)單基線GNSS數(shù)據(jù)處理，通常采用雙差觀測值，以消除接收機(jī)/衛(wèi)星的鐘差、偽距和相位偏差等參數(shù)，同時(shí)還能削弱大氣延遲和軌道誤差。在采用卡爾曼濾波估計(jì)參數(shù)時(shí)，通常預(yù)報(bào)并傳遞相鄰歷元的雙差模糊度，以增強(qiáng)各類參數(shù)的濾波解精度。在此過程中，當(dāng)前后歷元定義的參考星發(fā)生變化時(shí)，需要對(duì)相應(yīng)的雙差模糊度實(shí)施“映射”，以確保濾波連續(xù)。此后，兩類參數(shù)如雙差模糊度和接收機(jī)相位鐘差的估值中將出現(xiàn)量級(jí)相等、符號(hào)相反的“整周跳躍”。

圖3 接收機(jī)偽距鐘差（C1）與雙頻接收機(jī)相位鐘差（L1和L2）與之差Fig.3 The offsets between receiver phase clock（L1and L2）and receiver code clock（C1）

圖4 參考星變換時(shí)刻，由新、舊參考星所形成的雙差模糊度整數(shù)估值（L1和L2）Fig.4 At the instants of changing pivot satellite，the estimates of integer DD ambiguities associated with two（old and new）pivots satellites

若上述數(shù)據(jù)處理采用站間單差觀測值，則需要事先克服接收機(jī)相位鐘差與單差模糊度線性相關(guān)所引起的列秩虧。本文通過定義某衛(wèi)星的單差模糊度為一類“基準(zhǔn)”參數(shù)，消除了相應(yīng)的秩虧，此后剩余的可估模糊度即具備了雙差形式和整周特性。在實(shí)施濾波的過程中，一步時(shí)間預(yù)報(bào)相鄰歷元的雙差模糊度，可自動(dòng)傳遞該“基準(zhǔn)”模糊度參數(shù)，使得不同歷元的雙差模糊度參數(shù)均對(duì)應(yīng)于統(tǒng)一的“基準(zhǔn)”，由此避免了“映射”雙差模糊度的過程，進(jìn)而消除了存在于部分參數(shù)中的“整周跳躍”現(xiàn)象。由此表明，與雙差濾波模型相比，單差濾波模型的運(yùn)算效率更高，估計(jì)的接收機(jī)相位鐘差可直接用作頻率傳遞的輸入。

最后，需要指出，為形成雙差，本文采用剩余衛(wèi)星與某一顆參考星作差的方式。實(shí)際上，構(gòu)造雙差的方式并不唯一。例如，通過對(duì)所有衛(wèi)星序貫作差也可以形成雙差。但這類雙差濾波模型的實(shí)施過程更為復(fù)雜：除首尾衛(wèi)星外，任何衛(wèi)星的消失均需要“映射”雙差模糊度，因此接收機(jī)相位鐘差估值中也會(huì)存在更為頻繁的“整周跳躍”。比較而言，單差濾波模型的優(yōu)勢也更加明顯。

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