在比較中孕育數(shù)學(xué)思維

孫學(xué)軍

人類通過(guò)觀察和比較來(lái)認(rèn)識(shí)和了解事物，比較是一切思維和理解的基礎(chǔ)。我國(guó)著名教育家陳鶴琴在其“活教育”思想中提出“比較教學(xué)法”教學(xué)原則。他認(rèn)為比較教學(xué)法能使學(xué)生對(duì)于所學(xué)的事物，認(rèn)識(shí)得格外正確，印刻得格外深切，記憶得格外持久。

多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐告訴我，比較教學(xué)法能夠較好地刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)需，有利于幫助學(xué)生深刻理解知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，促使學(xué)生較好地自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高思維的靈活度、廣度和深度。我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以積極應(yīng)用“比較教學(xué)法”，孕育學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、在求同比較中培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

比較教學(xué)法是教者在教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多個(gè)事物進(jìn)行細(xì)致觀察、對(duì)比、辨析、探尋出異同關(guān)系，抽取出某一事物本質(zhì)的思維過(guò)程。通過(guò)對(duì)同類多個(gè)物體信息進(jìn)行抽象、概括，使其特征趨于集中，以找出該類物體的共同特點(diǎn)，形成一種完滿結(jié)論，該類比較我們稱之為求同比較。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中許多知識(shí)可以通過(guò)求同比較歸納概括得出，并能較好地培養(yǎng)學(xué)生的概括思維。

我們?cè)谶M(jìn)行一些平面圖形的特征、商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象觀察比較，分析、概括它們的共同特征，并發(fā)展學(xué)生的概括思維。

例如，教學(xué)《長(zhǎng)方體》時(shí)，我給每個(gè)小組學(xué)生準(zhǔn)備了三個(gè)大小不同的長(zhǎng)方體模型，讓各小組對(duì)三個(gè)不同的長(zhǎng)方體進(jìn)行細(xì)致觀察，并完成記錄單。記錄單中填寫的內(nèi)容分別是：每個(gè)長(zhǎng)方體各有幾個(gè)面，每個(gè)面都是什么形狀，相對(duì)的面怎么樣；每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米，每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各有幾條，一共有幾條棱，相對(duì)的棱有什么關(guān)系；每個(gè)長(zhǎng)方體有幾個(gè)頂點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)觀察、填表，再經(jīng)過(guò)對(duì)所填數(shù)據(jù)信息的比較、分析，發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)長(zhǎng)方體在面、邊、頂點(diǎn)等方面都具有相同的特征，從而歸納、概括出長(zhǎng)方體的共同特征：有6個(gè)面，都是長(zhǎng)方形，相對(duì)的面形狀相同，面積相等；有12條棱，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。

我們不僅在教學(xué)概念、特征、性質(zhì)、規(guī)律等時(shí)需要進(jìn)行大量的求同比較，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)求同，還可以在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)通過(guò)新舊知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的對(duì)比，以獲得策略求同、經(jīng)驗(yàn)求同。

例如，教學(xué)《梯形的面積》時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形和三角形的面積計(jì)算，對(duì)平行四邊形、三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程、方法已經(jīng)知曉，并積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程和方法在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。因此，我就放手讓學(xué)生依據(jù)三角形或平行四邊形面積推導(dǎo)計(jì)算公式的過(guò)程和方法自行探索梯形的面積計(jì)算公式，學(xué)生很快就自主探究并總結(jié)出梯形的面積計(jì)算方法和公式。最后，我引導(dǎo)學(xué)生一起將梯形面積計(jì)算公式和平行四邊形、三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程及方法進(jìn)行比照，使學(xué)生分析概括出梯形、平行四邊形、三角形面積解答策略間的聯(lián)系。學(xué)生在不斷的對(duì)比中，發(fā)展了概括能力，提高了解決問(wèn)題的水平。

在數(shù)學(xué)教學(xué)各方面靈活運(yùn)用求同比較，不但有助于培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，還有益于提高學(xué)生新舊知識(shí)、解決問(wèn)題策略和已有經(jīng)驗(yàn)的遷移，為有效開展自主探究學(xué)習(xí)提供有力保障。

二、在求異比較中催生學(xué)生創(chuàng)新思維

發(fā)散思維以其靈活性、多樣性、新穎性決定了其作為創(chuàng)新思維的核心地位，在創(chuàng)造能力發(fā)展中具有根基性價(jià)值。求異比較旨在從多種思路設(shè)想出發(fā)，尋求變異，使信息朝向各種可能的方向發(fā)散，讓解決方案多樣化，以引出更多的新信息，不斷豐富學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、全方位地考慮問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析各種數(shù)學(xué)信息。

例如，教學(xué)《三角形的分類》一課時(shí)，我讓每位學(xué)生在課前用卡紙任意剪出5個(gè)三角形，上課時(shí)四人一組，將各自剪的三角形集合在一起，給三角形分類，開展小組合作探究。學(xué)生經(jīng)過(guò)一番觀察、爭(zhēng)論后紛紛擺弄起來(lái)，待學(xué)生充分活動(dòng)之后，我讓各小組代表展示匯報(bào)他們的分類，并說(shuō)說(shuō)分類標(biāo)準(zhǔn)。有的小組匯報(bào)說(shuō)：“我們小組是按照角來(lái)分的，有的三角形三個(gè)角都是銳角，有的三角形有一個(gè)直角兩個(gè)銳角，有的三角形有一個(gè)鈍角和兩個(gè)銳角?！蔽医又鴨?wèn)：“其他小組也有這樣分類的嗎？”其他小組都說(shuō)也是這樣分的，我于是總結(jié)道：“你們分得都不錯(cuò)，我們可以將三角形按照角分成三種，三個(gè)角全是銳角的三角形叫銳角三角形，一個(gè)直角兩個(gè)銳角的三角形叫直角三角形，一個(gè)鈍角兩個(gè)銳角的三角形叫鈍角三角形?！薄澳銈冞€有其他不同的分法嗎？”見(jiàn)學(xué)生沒(méi)有反應(yīng)，我就提示說(shuō)：“請(qǐng)大家再?gòu)倪叺慕嵌认胂?，仔?xì)看看每個(gè)三角形邊的長(zhǎng)短關(guān)系，比劃比劃，看看是不是還有其他的分類方法？”有的學(xué)生用手比較每個(gè)三角形中三條邊的長(zhǎng)短，還有學(xué)生拿出尺子來(lái)度量邊的長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的操作活動(dòng)，他們終于發(fā)現(xiàn)：有些三角形有兩條邊是相等的，有些三角形是三條邊都相等的，有些三角形三條邊都不相等。我趁機(jī)告訴學(xué)生：“三角形除了可以根據(jù)角來(lái)分類，還可以按邊來(lái)分類，我們把只有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，三條邊都相等的叫作等邊三角形，三條邊各不相等的叫作不等邊三角形?！蔽医又龑?dǎo)學(xué)生將兩種分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，通過(guò)比較使學(xué)生懂得我們思考的角度可以多樣，思維可以發(fā)散些、靈活些、開闊些。

我們還可以在教學(xué)中設(shè)計(jì)一些開放性練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生敢于打破常規(guī)，跳出思維的框架，以探尋多條解決問(wèn)題的思路，一題多解，在發(fā)散式的求異思維活動(dòng)中學(xué)習(xí)提升創(chuàng)新思維。

我們要廣泛開展求異比較教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、睿智地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，提高學(xué)生思維的廣闊性，催生學(xué)生的創(chuàng)新思維。

三、在相似比較中孕育學(xué)生綜合思維

數(shù)學(xué)綜合思維是指綜合運(yùn)用多種思維方法，細(xì)致、全面、多角度觀察并將獲取的數(shù)學(xué)信息加以整合、提煉，形成科學(xué)周全的結(jié)論。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中開展相似比較教學(xué)，可以從幾何相似、結(jié)構(gòu)相似、關(guān)系相似、方法相似等方面斟酌。在似與不似之間找出事物的細(xì)微差別，以使事物的特征、性質(zhì)、關(guān)系、方法更為鮮明準(zhǔn)確。

例如，在教學(xué)完“長(zhǎng)方體的表面積”之后，我讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)，解決這樣一道實(shí)際問(wèn)題：有一種洗衣機(jī)長(zhǎng)60厘米，寬40厘米，高80厘米，現(xiàn)在要做100個(gè)這樣的洗衣機(jī)套（沒(méi)有底面），至少需要用布多少平方米？多數(shù)學(xué)生根據(jù)剛剛學(xué)會(huì)的長(zhǎng)方體表面積計(jì)算公式，在計(jì)算一個(gè)機(jī)套的用布面積時(shí)，先計(jì)算出一臺(tái)洗衣機(jī)六個(gè)面的面積總和，然后減去一個(gè)底面積，列式為：（60×40+60×80+40×80）×2-60×40，再用一個(gè)機(jī)套的面積乘100。 我發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生在計(jì)算一個(gè)機(jī)套的面積時(shí)思維機(jī)械，方法老套。于是我引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度去思考：我們計(jì)算一個(gè)機(jī)套的面積時(shí)可以先計(jì)算出一臺(tái)洗衣機(jī)的側(cè)面積，然后加上一個(gè)上面的面積。有學(xué)生列式為：60×80×2+40×80×2+60×40。學(xué)生根據(jù)這個(gè)思路很快又計(jì)算出100個(gè)機(jī)套至少用布多少平方米。我又鼓勵(lì)學(xué)生改變思考方向：在計(jì)算一臺(tái)洗衣機(jī)的側(cè)面積時(shí)我們可以用底面周長(zhǎng)乘高，再加上一個(gè)上面的面積就得到做1個(gè)機(jī)套所要用的布，算式為：（60+40）×2×80+60×40。最后再乘100，就是100個(gè)洗衣機(jī)機(jī)套的用布數(shù)量。

最后，我著意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這三種解答方法進(jìn)行比較，比較它們的解題思路、方法的異同，比較它們之間存在著怎樣的關(guān)系，通過(guò)比較使學(xué)生懂得這三種方法總的思路是一致的，但是之間也存在細(xì)微的差別，第三種解題方法更為方便、簡(jiǎn)單、合適。

在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行觀察、聯(lián)想、類比、歸納分析中使其原本模棱兩可的特征、性質(zhì)、規(guī)律更為清晰、深刻，發(fā)展學(xué)生直覺(jué)、形象、邏輯等綜合思維，提高思維的深刻性，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。

數(shù)學(xué)使人類的思維得以運(yùn)用到最為完善的程度，讓我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中相機(jī)開展比較教學(xué)，在比較中提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性和深刻性，孕育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。