淺談微積分思想及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

許天慧

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121000）

數(shù)學(xué)作為科學(xué)的語(yǔ)言，不僅有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撔?，還具有較強(qiáng)的實(shí)踐性。隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，其諸多的理論、原理和公式等已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到了經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、天文學(xué)、理學(xué)、工學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，為各個(gè)領(lǐng)域和學(xué)科的發(fā)展提供了科學(xué)的分析方法。微積分作為高等數(shù)學(xué)重要組成部分，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也已得到了廣泛地應(yīng)用，在幫助經(jīng)濟(jì)主體實(shí)現(xiàn)成本最低化、利潤(rùn)最大化、貯存最優(yōu)化等方面發(fā)揮出了重要作用。在本文中，即以微積分思想為研究出發(fā)點(diǎn)，對(duì)其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要性及典型應(yīng)用案例進(jìn)行了分析。

1 微積分思想概述

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分和積分以及相關(guān)概念的一個(gè)重要分支部分，同時(shí)，微積分也是高等數(shù)學(xué)中支撐其他分支學(xué)科、為其他學(xué)科提供計(jì)算方法的重要基礎(chǔ)。微積分建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限等概念的基礎(chǔ)之上，主要包括極限連續(xù)、可微分和積分等研究?jī)?nèi)容。微積分思想核心是“微元”和“無(wú)限逼近”。其中，微分學(xué)的核心思想是“無(wú)限細(xì)分”，積分學(xué)的核心思想是“無(wú)限求和”。

1.1 微分的基本思想

微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述，其基本思想的核心在于分析函數(shù)在足夠小的范圍內(nèi)，能否來用線性函數(shù)來進(jìn)行近似等同表示。其幾何意義可以這樣表述：設(shè)y=f（x）為是實(shí)函數(shù)，△x是函數(shù)中點(diǎn)A在橫坐標(biāo)上的增量，于此對(duì)應(yīng)的△y為點(diǎn)A在縱坐標(biāo)上的增量，dy是函數(shù)在點(diǎn)A的切線對(duì)應(yīng)△x在縱坐標(biāo)上的增量，當(dāng)|△x|取值足夠小時(shí)，|△y-dy|要比|△y|得多（高階無(wú)窮小），因此在點(diǎn) A 附近，就可以用切線段拉近似替代函數(shù)曲線。

從簡(jiǎn)單直觀的角度來看，微分思想指的是：如果函數(shù)在足夠小的范圍內(nèi)，可以用其他的線性函數(shù)來表示的話，那么函數(shù)在這個(gè)足夠小的范圍內(nèi)的函數(shù)圖形就可以近似看作成一段直線。通過微分能夠使線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果座位原函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計(jì)算的基本思想。可以說，借助微分的近似代替，使對(duì)復(fù)雜函數(shù)的研究在局部上得到了簡(jiǎn)化。

1.2 積分的基本思想

微分是對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，而積分則可以看作是微分的逆運(yùn)算，即他它是在得知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基礎(chǔ)之上求解原函數(shù)的過程，積分分為不定積分和定積分兩個(gè)基本類別。

1.2.1 不定積分：假設(shè) F（x）是函數(shù) f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的所有原函數(shù)則為F（x）+C（C 為任意常數(shù)），這個(gè)式子叫做f（x）的不定積分，求解原函數(shù)的過程，即為積分的過程，記作為：∫f（x）dx=F（x）+C。

1.2.2 定積分：假設(shè)實(shí)函數(shù)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)可積，則其定積分可以表示為：，如果在區(qū)間［a，b］，函數(shù) f（x）始終取值為正的話，那么可以將函數(shù)在這一區(qū)間上的定積分看作是：在坐標(biāo)平面上，由（x，f（x））所構(gòu)成的曲線與x軸，以及x=a和x=b這兩直線所圍成的面積。

2 微積分思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要性

在經(jīng)濟(jì)學(xué)眾多問題的分析中，微積分都扮演著重要的工具角色。微積分通過分析求解變量的變化規(guī)律，來使經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的研究更為地簡(jiǎn)化，它不僅使經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究范圍變得更寬擴(kuò)，還為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了深刻的思考方式和科學(xué)的分析方法，在當(dāng)前分析經(jīng)濟(jì)問題研究中發(fā)揮出來愈來愈重要的作用。

2.1 拓寬了經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究范圍

經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門講求實(shí)踐性的學(xué)科，研究的內(nèi)容十分豐富。然而，任何學(xué)科的研究只有在其特定的領(lǐng)域中運(yùn)用特定的方法才能依據(jù)實(shí)際情況或者假設(shè)條件得出準(zhǔn)確的結(jié)論，超出這一范圍，便會(huì)影響結(jié)論的準(zhǔn)確性和科學(xué)性。在以往大多數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，大多是從經(jīng)濟(jì)學(xué)特有的研究視角出發(fā)去研究，缺乏學(xué)科交叉性，由此得出的解決和作出的決策存在一定的局限性，而將微積分的理論引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)之中，不僅會(huì)使經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究范圍得到有效拓寬，也能夠借助數(shù)學(xué)工具，與其他學(xué)科建立起研究橋梁，實(shí)現(xiàn)更加深層次地交叉研究，進(jìn)而通過微積分的分析來把握經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的本質(zhì)和規(guī)律。

2.2 為經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了科學(xué)的分析方法

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常需要為企業(yè)分析資源最佳資源配置、經(jīng)濟(jì)效益最大化等問題，在過去，大多依靠企業(yè)管理者憑借個(gè)人經(jīng)驗(yàn)作出選擇。而隨著微積分思想與經(jīng)濟(jì)學(xué)的交叉發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的這些問題都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)的最優(yōu)化問題中，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度相當(dāng)于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)偏離“頂峰”位置時(shí)，所獲得的效益就會(huì)下降，而將一問題轉(zhuǎn)化為微積分的問題后，就滿足了費(fèi)馬定理的運(yùn)用條件，即可以將“頂峰”位置作為極值點(diǎn)，在其上的導(dǎo)數(shù)為零，這樣就可以順利的求解。

2.3 使經(jīng)濟(jì)學(xué)中的決策更加嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確

經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容是幫助經(jīng)濟(jì)體或者組織實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化配置和社會(huì)效益最優(yōu)化，其研究的對(duì)象常常涉及經(jīng)濟(jì)制度、宏觀政策、社會(huì)心理和人們的價(jià)值觀念等等，但作為社會(huì)科學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)，很難將這些研究對(duì)象進(jìn)行抽象量化進(jìn)而分析，而數(shù)學(xué)工具的引入，則可以為社會(huì)科學(xué)的問題分析帶來科學(xué)的模型和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算公式。微積分作為重要的數(shù)學(xué)工具，可以確保經(jīng)濟(jì)問題在計(jì)算分析過程中的更加地嚴(yán)謹(jǐn)，得出的結(jié)論也更加地準(zhǔn)確，從而使經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究更加全面和深入。

3 微積分思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

隨著社會(huì)的發(fā)展，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中所出現(xiàn)的問題也呈現(xiàn)出了多樣化和復(fù)雜化的發(fā)展趨勢(shì)，由此給經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究帶來更多的挑戰(zhàn)，因此，將微積分思想更深入和廣泛地運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的定量分析十分地必要，這不僅能夠?yàn)榻?jīng)濟(jì)主體的企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)，為企業(yè)經(jīng)營(yíng)者科學(xué)決策提供量化依據(jù)，還能夠促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的不斷發(fā)展。具體來說，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，微積分思想被應(yīng)用于許多方面問題的分析求解，下面，本文將以幾個(gè)典型的應(yīng)用實(shí)例，來談?wù)勎⒎e分思想在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。

3.1 微分思想在利潤(rùn)最大化問題中的應(yīng)用

在微分學(xué)中，通過對(duì)已知的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后，就可以得到原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即邊際函數(shù)。而在經(jīng)濟(jì)學(xué)之中，邊際概念是十分重要的經(jīng)濟(jì)學(xué)命題之一，通常在經(jīng)濟(jì)學(xué)中表示經(jīng)濟(jì)變量的變化率。在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的理論認(rèn)為，當(dāng)經(jīng)濟(jì)主體的產(chǎn)量接近或等于邊際收入和邊際成本時(shí)，企業(yè)這時(shí)所能獲得的利潤(rùn)為最大。在實(shí)際的企業(yè)中，企業(yè)的管理者常常通過確定邊際成本進(jìn)而來確定所需資料的成本決策。而利用微分的思想，即可將企業(yè)確定生產(chǎn)量而實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化的問題轉(zhuǎn)化為微分方程計(jì)算，使問題得到簡(jiǎn)化。

例：某生活用品生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)成本C和產(chǎn)量Q之間的函數(shù)關(guān)系為C（Q）=2Q+100（元），企業(yè)的收入R與產(chǎn)量Q函數(shù)的函數(shù)關(guān)系為R（Q）=262Q-Q2（元）。 試問，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)的利潤(rùn)L（Q）能夠達(dá)到最大？

對(duì)于這個(gè)問題，可運(yùn)用微分的思想來求解：

L（Q）＝R（Q）-C（Q）＝260Q-Q2-100

令 L'（Q）＝0，得 Q＝130（件）

驗(yàn)證：由于 L″（Q）＝-2＜0，所以當(dāng)生產(chǎn) 130 件時(shí)，企業(yè)將獲得最大利潤(rùn)，為16800元。

3.2 積分思想在利潤(rùn)最大化問題中的應(yīng)用

如前文所述，積分是微分的逆運(yùn)算，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，積分思想大多應(yīng)用于通過已知函數(shù)積分來求解原函數(shù)。在如今經(jīng)濟(jì)學(xué)與社會(huì)學(xué)交叉融合發(fā)展的趨勢(shì)下，諸如存款貸款問題、醫(yī)療保險(xiǎn)問題、金融利率等問題都需要利用積分思想來進(jìn)行分析和求解，積分思想的重要性越來越凸顯出來。

例：某企業(yè)生產(chǎn)一款產(chǎn)品的邊際收入函數(shù)為R'（x）=9-x（萬(wàn)元/噸），固定成本為 1 萬(wàn)元，邊際成本函數(shù)為（萬(wàn)元/噸），求企業(yè)取得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量和利潤(rùn)分別是多少？

由上述分析可以得出，企業(yè)的總收入函數(shù)為：

企業(yè)的總成本函數(shù)為：

所以企業(yè)產(chǎn)量為4時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)9萬(wàn)元。

4 結(jié)語(yǔ)

在當(dāng)今的學(xué)科交叉研究越來越深入的趨勢(shì)下，微積分思想與經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究也更加緊密地結(jié)合了起來，當(dāng)前，微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用還有很多的實(shí)例，通過微積分思想的引入，不僅將經(jīng)濟(jì)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為了量化的數(shù)學(xué)問題，使的問題的求解過程更加簡(jiǎn)單，同時(shí)還為經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的研究有了全新的視角，拓寬了經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究領(lǐng)域。當(dāng)然，在本文中，僅是對(duì)微積分思想進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，并對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中兩個(gè)典型的實(shí)例進(jìn)行了解析，在現(xiàn)實(shí)的生活中，這類的問題還有很多，本文僅是簡(jiǎn)單地介紹，希望通過本文的研究能夠幫助人們了解微積分思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用，并且希望通過本文的研究能夠促進(jìn)微積分思想在更多的學(xué)科中得到更廣泛而深入地應(yīng)用。

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