粒子的多層模型和新的對稱-統(tǒng)計二重性

張一方

(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明650091)

粒子的多層模型和新的對稱-統(tǒng)計二重性

張一方

(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明650091)

基于筆者提出的夸克-粒子具有多層結(jié)構(gòu)和在不同層次或能量時具有新的對稱-統(tǒng)計二重性，探討了粒子的統(tǒng)計性，統(tǒng)一的方程及各種相應(yīng)的方程等.最后討論確定粒子質(zhì)量的一種定量方法和粒子數(shù)學(xué)的發(fā)展.

粒子物理；對稱性；統(tǒng)計性；粒子結(jié)構(gòu)；方程

0 引 言

量子力學(xué)和粒子物理的基礎(chǔ)是波粒二象性.由此粒子，特別是穩(wěn)定粒子應(yīng)該相應(yīng)于孤子.由粒子物理中的非線性方程，筆者討論了方程的孤子解及其推廣.并研究粒子方程和各種統(tǒng)一的關(guān)系[1].

一般的波粒二象性有兩種可能：第一，單個是粒子，多個粒子或者多次事件(統(tǒng)計系綜)具有波動性(統(tǒng)計性的幾率波).勞厄圖是統(tǒng)計分布(類似Einstein觀點).這是量子力學(xué)、量子場論及其方程的統(tǒng)計基礎(chǔ).第二，每個粒子都相應(yīng)于一個孤波等(類似向?qū)Р?，多個波疊加得到量子力學(xué)幾率波(類似de Broglie觀點).二者相應(yīng)于量子力學(xué)的最后結(jié)論是相同的.Dirac方程等基本適用于單個電子(僅有反常磁矩)，對重子磁矩相差很大.在核中可以驗證是第一或第二.先決定質(zhì)子p、中子n及氘、氦等的波動性及性質(zhì)，然后比較多個核子的核的波動性及性質(zhì).

兩方面統(tǒng)一則單個是粒子，相應(yīng)于孤子波(如袋等)，其化為線性波加非線性波.由此可以得到結(jié)果：(1)非線性波對各個粒子相同或不相同，疊加后相消.(2)對較大時空，非線性波趨于0，如對強(qiáng)弱相互作用，自能等.(3)電磁相互作用的非線性波在低能時可以略去(相應(yīng)于較大時空).這樣，非線性波與能量及相應(yīng)的時空有關(guān).

1 夸克和粒子的多層結(jié)構(gòu)

粒子結(jié)構(gòu)模型有兩類：分立結(jié)構(gòu)，如夸克；連續(xù)結(jié)構(gòu)，如特殊結(jié)構(gòu)的弦、膜、袋，或者統(tǒng)計模型.二者結(jié)合可為QCD.數(shù)學(xué)上主要是對稱性、統(tǒng)計性.超對稱性、超弦(superstring)、統(tǒng)一、亞夸克等粒子物理中這些最時髦的理論都是對稱性的.

三夸克、多夸克組成的重子、粒子可能也是三體、多體糾纏態(tài)；三體類似拓?fù)鋵W(xué)中3分支的Borromean環(huán)(rings)[2-6]，如此3個夸克如圖3所示，合則存，分則亡(United they stand, divided they fall).由此可以形象說明單個夸克不存在[7].

圖1 Borromean環(huán)Fig. 1. Borromean rings

筆者提出粒子的多層結(jié)構(gòu)(many-shell structure)模型(MSSM)[8].低能時是結(jié)構(gòu)對稱的三種集團(tuán)(即夸克)，粒子穩(wěn)定，亞夸克數(shù)一定；SU(3)等對稱性可能是低能粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的反映.中能碰撞時對稱性結(jié)構(gòu)破缺，出現(xiàn)多個部分子，類似液體模型，呈現(xiàn)出弦、袋等.高能時對稱性進(jìn)一步破缺，出現(xiàn)非常多的組分，呈現(xiàn)統(tǒng)計性，對應(yīng)非常小的微粒子——砂子(the sand-particle即sandon).砂子源于如恒河砂數(shù)(numberless as the sands).此時的統(tǒng)計模型把整個粒子作為一個不分彼此的高能集團(tuán)，類似火球及多火球模型.而砂子也可以是非常小的弦或超弦.

在不同的能級等條件下，粒子呈現(xiàn)不同的結(jié)構(gòu)形式和特征，可以不斷轉(zhuǎn)化.具有對稱性的方程導(dǎo)致量子化的質(zhì)量譜，其反映或者解釋為統(tǒng)計性.模型在不同層次、不同能量、不同條件下具有不同特性，對應(yīng)不同方程：砂子是統(tǒng)計性的，對應(yīng)Kolmogorov方程；夸克是對稱性的，對應(yīng)SU(N)規(guī)范場方程及其對稱性破缺，聯(lián)系于Higgs機(jī)制、動力學(xué)破缺；粒子是二象性，對應(yīng)量子力學(xué)方程.并且砂子的統(tǒng)計性應(yīng)該導(dǎo)致量子力學(xué)的統(tǒng)計性，夸克對稱性則聯(lián)系于二象性；進(jìn)而應(yīng)從統(tǒng)計性方程直接導(dǎo)出對稱性規(guī)范場方程.這聯(lián)系于統(tǒng)計性和量子場論的對應(yīng)關(guān)系[9,10]，對應(yīng)于由統(tǒng)計性導(dǎo)致量子力學(xué)方程，即量子力學(xué)的統(tǒng)計解釋.量子力學(xué)方程的特點是只與粒子自旋有關(guān)，自旋分別是整數(shù)、半整數(shù)時方程各是Klein-Gordon(KG)和Dirac方程，近似時統(tǒng)一為Schrodinger方程.多層模型本質(zhì)上是雙重性模型，或者統(tǒng)計模型.一般靜態(tài)(如質(zhì)量、壽命、衰變)都是由對稱性結(jié)合場論決定；高能相互作用(如碰撞、多重產(chǎn)生)則由統(tǒng)計性決定.

夸克是實體模型，則Heisenberg統(tǒng)一方程[11]應(yīng)該是相應(yīng)夸克的方程，是QCD方程的簡并態(tài).統(tǒng)一方程推廣到有質(zhì)量時就是有自相互作用的Dirac方程.夸克組成強(qiáng)子和核，類似原子組成分子.這樣強(qiáng)相互作用類似化學(xué)鍵.

形狀因子的實驗說明核子內(nèi)不可能是只有3個夸克，而更可能是多個部分子、亞夸克和砂子.MSSM中夸克在低能時雖然可能存在，但結(jié)合相變理論其被禁閉.高能時不被禁閉又已經(jīng)分解.夸克是亞穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，則它也是一種靴帶(bootstrap)模型，一種定量的以夸克為靴帶的基礎(chǔ)的理論.這是二象性.

夸克的下一層次是亞夸克或前子(preon)，甚至是Salam提出的前前子(prepreon).高能時亞夸克、砂子可能得到顯現(xiàn)，很多情況、實驗都表明如此.高能對應(yīng)小時空，內(nèi)部結(jié)構(gòu)不斷解放.夸克可以由類似的亞夸克組成，也可以由具有統(tǒng)計性的砂子結(jié)構(gòu)組成，組成一種具有對稱性的幻夸克.?？淇顺？梢缘葍r于亞夸克、砂子.砂子等于亞夸克則亞夸克結(jié)合統(tǒng)計性.砂子組成亞夸克則是多層結(jié)構(gòu)模型.只要是湯川相互作用，基元是費(fèi)米子就有多層膠子和多層類QCD.砂子組成部分子，數(shù)目不定；亞夸克組成夸克，數(shù)目一定，但又有膠子、海夸克等.或者砂子組成亞夸克，亞夸克是部分子，部分子再組成夸克.

無自旋砂費(fèi)米子(或費(fèi)米子對)場和有對稱性破缺的Higgs場耦合時就得到分?jǐn)?shù)電荷的夸克、亞夸克等.亞夸克統(tǒng)一對稱的夸克和輕子.但仍有光子、W-Z(電磁、弱相互作用)；膠子(強(qiáng)相互作用)；Higgs粒子.

2 統(tǒng)一的方程和粒子的統(tǒng)計性

筆者探討了粒子物理中的各種統(tǒng)一.它們包括相互作用統(tǒng)一和規(guī)范場，場、粒子及其方程的統(tǒng)一，低高能時的統(tǒng)一，統(tǒng)一和非線性理論的關(guān)系等.并提出它們也許可以統(tǒng)一到統(tǒng)計性[12].基于粒子的動力學(xué)模型及其拉氏量和方程，進(jìn)行了某些更深入的研究和應(yīng)用.它可以聯(lián)系于袋模型；方程的解聯(lián)系于各種勢；其簡化的振動-轉(zhuǎn)動模型和諧振子模型等導(dǎo)致各種質(zhì)量公式.由此可以討論強(qiáng)子的某些質(zhì)量公式，并提出動力學(xué)模型可能的發(fā)展方向[13].進(jìn)而各種已知的方程彼此結(jié)合可以得到一些新方程，并討論了由振動得到的方程，對稱性破缺時的方程及其推廣和各種解，探討了各種粒子及其相互作用的方程，而且討論了這些方程的混沌解和相應(yīng)的物理意義[14].

Heisenberg統(tǒng)一方程[11]推廣到有質(zhì)量時就是有自相互作用的非線性Dirac方程.進(jìn)一步它可以程推廣為[8]：

(1)

(2)

H.B.Nielsen多年來的一個主要想法是，在最微觀的層次上，物理定律是隨機(jī)的.我們看到的規(guī)律是重整化群向一個不動點流動的結(jié)果.非線性方程經(jīng)Feigenbaum定理的混沌解過渡到統(tǒng)計性.如此不需要統(tǒng)計性方程.當(dāng)控制參數(shù)E足夠大時都出現(xiàn)隨機(jī)運(yùn)動.這可能對應(yīng)于能量高、相互作用強(qiáng).

粒子的統(tǒng)計性，一方面是量子力學(xué)本身的幾率性；量子力學(xué)的統(tǒng)計詮釋，類似統(tǒng)計光學(xué).另一方面是更深入的量子力學(xué)的統(tǒng)計基礎(chǔ)等，由此聯(lián)系于：1)高能或小時空時的統(tǒng)計性基于眾多砂子的隨機(jī)性.2)非線性方程的統(tǒng)計性.3)非平衡態(tài)統(tǒng)計，對應(yīng)于新的算符，砂子組成幻夸克等.4)統(tǒng)計性背景，如真空漲落.5)唯象的各種統(tǒng)計模型等.保守系統(tǒng)中的自發(fā)隨機(jī)性與平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎(chǔ)密切相關(guān).

具體方法可以首先改造、統(tǒng)一各種統(tǒng)計模型.目前主要用于高能過程.很多模型都導(dǎo)致統(tǒng)一的Gamma分布、B分布等.火球及CKP模型基于熱力學(xué)；Fermi統(tǒng)計模型、Landau流體力學(xué)模型、Hagedorn統(tǒng)計靴帶模型多邊緣模型等都基于統(tǒng)計平衡，并類比于統(tǒng)計力學(xué).平衡態(tài)統(tǒng)計模型可以推廣為非平衡態(tài)統(tǒng)計模型.高能等時的統(tǒng)一性、對稱性、超對稱性導(dǎo)致簡單化.

砂子對應(yīng)方程.此時隨機(jī)項F=0是費(fèi)米子，其可以是穩(wěn)定的.但砂子組成玻色子時必有相互作用，F(xiàn)≠0，其不能完全穩(wěn)定.砂子的隨機(jī)性，一是直接引入具有隨機(jī)力的Langevin方程；一是由非線性導(dǎo)致隨機(jī)性的混沌等.粒子的產(chǎn)生和湮滅在隨機(jī)理論中對應(yīng)于生滅過程；這相應(yīng)于粒子的統(tǒng)計性、砂子.

由非線性方程導(dǎo)出非Abel群方程(對稱性)，統(tǒng)計性方程.非線性方程低能時導(dǎo)致動力學(xué)模型(DM)，孤子(粒子，分?jǐn)?shù)荷夸克等)；高能時導(dǎo)致混沌，粒子的分形砂-海綿模型(FSSM)[8]，MSSM及平衡態(tài)、非平衡態(tài)統(tǒng)計模型.MSSM在一定程度上已包含振動-轉(zhuǎn)動模型(ORM)，具有不同的振動-轉(zhuǎn)動能態(tài).

多層模型中最小的組成可能是統(tǒng)計性的砂子，也可能是類似原子的砂子，僅是統(tǒng)計性組成夸克.在粒子層級，夸克可變，而砂子不變，正如化學(xué)中的原子；而極高能時直接呈現(xiàn)出來.經(jīng)典統(tǒng)計是從分立的原子、分子等過渡到連續(xù)的氣體、液體等.此時，應(yīng)該對應(yīng)于量子統(tǒng)計從分立的砂子、夸克過渡到連續(xù)的統(tǒng)計模型.反之是從連續(xù)的統(tǒng)計模型過渡到分立的夸克等.這對應(yīng)于統(tǒng)計性的方程應(yīng)具有對稱性或得到對稱性解.

DM和MSM都認(rèn)為夸克不存在或者僅是亞穩(wěn)的幻粒子.但是二者分別認(rèn)為SU(3)是動力學(xué)對稱性和夸克是由砂子組成的.

倍周期分岔到混沌圖形類似高能強(qiáng)子的雙火球模型(粒子的兩體衰變)到多重產(chǎn)生.一般是QCD的非線性方程及其分岔過程.QCD等導(dǎo)致非線性的Dirac方程、KG方程等，用孤子方程可以化為非線性的一階、二階常微分方程，或非線性的Heisenberg方程

dF/dt=[F,H]+Q.

(3)

基態(tài)強(qiáng)子或介子由兩種夸克組成，即u,d→4夸克→8亞夸克，對應(yīng)二分岔，SU(2)→SU(4)→SU(8)等等；一般粒子或重子由3個夸克組成，即一個粒子→3個夸克→9個亞夸克，對應(yīng)三分岔，即SU(3)→SU(9)等等.進(jìn)一步都是夸克數(shù)混沌，或是深入層次的亞夸克、亞亞夸克，最后達(dá)到砂子混沌.砂子基于層級結(jié)構(gòu)是統(tǒng)計性粒子，具有隨機(jī)性；如果它是混沌夸克(chaosoquark)，則可稱混沌子(chaoson).

低能態(tài)時是3夸克，對應(yīng)Morse勢

V(r)=A[1-De-α(r-r0)]2.

(4)

高能態(tài)時是n夸克，對應(yīng)唯象束縛勢

(5)

更高能態(tài)時是統(tǒng)計性，對應(yīng)V=aψ3,bφ3+cφ5等，是FD和 BE統(tǒng)計，統(tǒng)一的統(tǒng)計性[16].這又相應(yīng)于分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(fractional statistics)和任意子(anyon).

混沌一方面是粒子內(nèi)部的亞粒子數(shù)不斷增多，可以趨于無窮(這是結(jié)構(gòu)).另一方面是粒子的性質(zhì)是統(tǒng)計性的.按照混沌理論，粒子無窮，代也無窮.如此不同代只能認(rèn)為是激發(fā)態(tài).

砂子分別組成夸克、膠子，或者它們是兩種砂子，或者是一種砂子有兩種統(tǒng)計性、兩種方程、兩種組成.如果膠子是由夸克對組成，則高能時即不斷產(chǎn)生膠子、夸克對，就是多夸克.而且夸克、膠子統(tǒng)一為部分子.二者不可分即可能是弦.能量增大時，砂子組成的亞穩(wěn)態(tài)，如亞夸克、夸克、膠子等可以增多，或者隨能量不同而對稱性及夸克不同，出現(xiàn)新的夸克.應(yīng)該研究統(tǒng)計性與拉氏量的一般關(guān)系.

3 新的對稱-統(tǒng)計二重性

最近，波粒二象性被發(fā)展為規(guī)范-引力二重性(gauge-gravity duality)[17-21]、電-磁二重性(electric-magnetic duality)[22]、夸克-強(qiáng)子二重性(quark-hadron duality)[23,24]、玻色子-費(fèi)米子二重性(boson-fermion duality)[25]和規(guī)范-弦二重性(gauge/string duality)[26,27]等.

筆者提出的新的對稱-統(tǒng)計二重性[9,28]可以是：1)統(tǒng)計性理論對應(yīng)規(guī)范場(對稱性).每種具體的統(tǒng)計模型都可以表述為連續(xù)的場論形式.統(tǒng)計物理是一種漲落場論，由此聯(lián)系于統(tǒng)計物理.2)非線性方程具有對稱性.高能時(相應(yīng)于無窮迭代)導(dǎo)致混沌解(統(tǒng)計性，對應(yīng)多重產(chǎn)生等).然后結(jié)合火球等統(tǒng)計模型及統(tǒng)計分布；對非平衡態(tài)，有序化又對應(yīng)幻夸克的耗散結(jié)構(gòu).3)基于統(tǒng)計性方程.其對應(yīng)重整化群(對稱性)方程，都導(dǎo)致Gamma分布等.但二者不等價.4)進(jìn)一步結(jié)合非線性方程和統(tǒng)計方程.非線性方程具有對稱性，其可以重整化時應(yīng)該導(dǎo)致重整化群方程，其可能是二者間的過渡.由非線性方程導(dǎo)致統(tǒng)計性方程，特別是隨機(jī)性方程，如Kolmogorov方程.由對稱性方程，例如規(guī)范場方程和重整化群方程導(dǎo)致Gamma統(tǒng)一分布.

個體的特性明顯，如粒子自旋時則是對稱性.而個體的特性可以忽略時則是統(tǒng)計性.特別高能時統(tǒng)計性還可以進(jìn)一步統(tǒng)一[16].量子化場對應(yīng)砂子，是物質(zhì)存在的基本形態(tài).其激發(fā)時就是自由粒子.而基態(tài)場就是物理真空.真空有效應(yīng)，有起伏，可自發(fā)破缺.對非Abel規(guī)范場是瞬子，其對應(yīng)非線性效應(yīng).

對稱性決定方程(規(guī)范場)，方程聯(lián)系于統(tǒng)計性；特別非線性方程具有隨機(jī)性.高能時砂子、超弦、部分子等更類似布朗運(yùn)動，所以具有統(tǒng)計性.此時部分子間關(guān)聯(lián)更強(qiáng)，所以非線性更強(qiáng)，或者統(tǒng)計性更顯著.從統(tǒng)計性過渡到對稱性方程、量子力學(xué)，數(shù)學(xué)上可用早期的各種量子理論，并結(jié)合液態(tài)發(fā)展到晶體的方法.

以新的二重性及其結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)(MSSM)為根本，俯視粒子全局.粒子的質(zhì)量、壽命及衰變等低能時是對稱性，動力學(xué)性質(zhì)；較高能量的共振態(tài)等偏離對稱性.高能時的碰撞、橫動量等是統(tǒng)計性及其方程、模型等，或較大的對稱性；反之，低能時是動力學(xué)性質(zhì)，對稱性等，如孤子碰撞.這樣碰撞時對稱性(對應(yīng)方程)產(chǎn)生(解，如孤子)峰、谷.統(tǒng)計性產(chǎn)生平滑曲線，導(dǎo)致截面上升.由高能統(tǒng)計性已可以導(dǎo)出這個結(jié)果.

MSSM中對稱性及其破缺與大爆炸后對稱性及其破缺是一致的，都是由高能(溫)到低能(溫).這也是行星對應(yīng)原子，星團(tuán)對應(yīng)原子核的發(fā)展，宇宙演化對應(yīng)MSSM.而且粒子結(jié)構(gòu)，原子核也類似星團(tuán)，存在螺旋狀(對應(yīng)自旋)，棒狀，不規(guī)則等等形狀.這是宇觀-微觀大小的對稱性，是由Titius-Bode定則推廣得到的泛量子理論[29-33]的發(fā)展.

砂子形成夸克具有對稱性可以是：1)砂子分別形成費(fèi)米子和玻色子，夸克和膠子.2)這些粒子具有對稱性，并且相互作用和對稱性破缺.形象地可以是(1)正反砂子形成玻色子，相同砂子形成費(fèi)米子.砂子有正反，類似夸克形成強(qiáng)子.(2)砂子是Langevin-Dirac方程，結(jié)合Heisenberg統(tǒng)一方程[11]，所以砂子應(yīng)是類費(fèi)米子.如此則偶(奇)數(shù)個砂子形成玻色子(費(fèi)米子).(3)各個砂子的運(yùn)動方向相反是費(fèi)米子(夸克)，相同是玻色子(膠子)；類似磁學(xué)，則有吸引力.這些砂子處于不同的運(yùn)動狀態(tài)(如OR態(tài))就是不同的夸克或膠子.

高能統(tǒng)一的基礎(chǔ)也許是此時粒子中的亞粒子數(shù)目增大，且有起伏，多一個或少一個無關(guān)大局，但如此就分別是費(fèi)米子或玻色子，但統(tǒng)一為任意子.砂子可能類似核，還有殼層結(jié)構(gòu).其最外層或許與P=±1有關(guān).高能時統(tǒng)計性加高能等時非線性.平均時它們可能為0.高能時混沌解對應(yīng)多層結(jié)構(gòu)的亞夸克、砂子不斷解放.

首先是場粒二象性及其量子化，關(guān)鍵是強(qiáng)弱相互作用的場方程.其次是MSSM，場對應(yīng)波動具有幾率性、統(tǒng)計性，而粒子是對稱性.幾率場、統(tǒng)計場的對稱性奇點就是粒子.

低溫晶體是對稱性，高溫液體、氣體是統(tǒng)計性.結(jié)晶類似對稱化，費(fèi)得洛夫群類似SU(3)群.一般的演變過程是，對稱性→對稱破缺→統(tǒng)計性.粒子的很多模型都是類比于核模型及理論，如夸克類似殼層模型，統(tǒng)計、液滴模型類似核液滴模型等.核的許多模型結(jié)合為綜合模型.粒子也可以結(jié)合多種模型形成綜合模型.MSSM就是一種綜合模型.

低能時微粒子運(yùn)動有序，所以呈現(xiàn)幻夸克.高能時微粒子運(yùn)動無序，對應(yīng)于統(tǒng)計性.可以結(jié)合非平衡態(tài)統(tǒng)計.如果有序出現(xiàn)周期性，則夸克一代代出現(xiàn).相應(yīng)的統(tǒng)計性等方程應(yīng)該有周期解.這有些類似λ→λ1,λ2,λ3等時不斷出現(xiàn)分岔(對應(yīng)有序)、混亂(對應(yīng)無序)等各種周期性.

粒子是孤子波，大量孤子以幾率波的形式出現(xiàn).這類似de Broglie的雙重解理論[34]，可能是量子力學(xué)的統(tǒng)計基礎(chǔ)，聯(lián)系于二象性的本質(zhì).在大時空時，非線性項可以忽略就化為線性方程.t→±∞時的矩陣S就是線性理論，如此由孤子性質(zhì)應(yīng)可以導(dǎo)出二象性.量子的本質(zhì)就是每個粒子(孤波)的能量是hv.非線性項統(tǒng)計平均時互相抵消，或由統(tǒng)計力學(xué)導(dǎo)出熱力學(xué).線性疊加原理成立→干涉→線性算符；大時空，平面波.廣義線性疊加原理，Backlund變換→N體碰撞解→非線性算符；小時空，孤波.兩種波，粒子疊加原理，相應(yīng)于粒子算符、方程.統(tǒng)計解釋必須推廣.如果波函數(shù)不是抽象的，就是具體的Schrodinger方程中的各種場的場量.非線性波、孤波平方也是幾率.量子場論中幾率波已經(jīng)不成立.單個粒子是孤子解，而N-孤子解當(dāng)N→∞或極大時就是一個統(tǒng)計問題.

目前主要是相應(yīng)于規(guī)范理論的群、對稱性統(tǒng)一.而非線性理論是動力學(xué)及方程的統(tǒng)一.二者結(jié)合，則非線性量子理論中[8,35]的因子F、Γμ由對稱性、群決定；非Abell群非線性項不為零，對應(yīng)于Γμ≠0.非線性方程略去非線性時是量子力學(xué)，可以具有對稱性，能過渡到混沌解、統(tǒng)計性.

結(jié)合多層模型，則非線性、統(tǒng)計性源于下一層次，是夸克或砂子相互作用或其本性，相應(yīng)于小時空區(qū)域、高能、短程強(qiáng)弱相互作用.砂子是非線性方程和拉氏量.Γμ、F與對稱群G有關(guān)，在一定條件下化為各種方程.低能等時具有SU(3)、SU(N)等對稱性，拉氏量、方程化為QCD等，表現(xiàn)為幻夸克；OR態(tài)時是DM；孤子解聯(lián)系于袋、火球等成團(tuán)模型；特定條件時有混沌解，對應(yīng)于統(tǒng)計性及模型.分岔理論對應(yīng)衰變、多重產(chǎn)生.如果靴帶方程是非線性方程，則上述結(jié)論仍然適用于靴帶.

非線性方程經(jīng)混沌解得到統(tǒng)計性，結(jié)合隨機(jī)微分方程，漲落穩(wěn)定開放系統(tǒng)時導(dǎo)致有序的耗散結(jié)構(gòu)，對稱性的幻夸克.這對應(yīng)于QCD，其及相應(yīng)的Heisenberg方程類比于非平衡態(tài)和隨機(jī)過程的Liouville方程等.非線性場方程聯(lián)系于QCD等的方程和對稱性；非線性Heisenberg方程聯(lián)系于非平衡態(tài)等和統(tǒng)計性.二者都可能出現(xiàn)耗散結(jié)構(gòu)；可以有混沌解；可以統(tǒng)一為Liouville方程.

對稱性及其方程具有隨機(jī)性、統(tǒng)計性；如粒子數(shù)n>2時，SU(N)的Yang-Mills方程等引入隨機(jī)項時.反之，隨機(jī)性及其方程具有對稱性；如當(dāng)隨機(jī)項取統(tǒng)計平均等時.粒子性發(fā)展為對稱性，數(shù)學(xué)方法是群.波動性發(fā)展為統(tǒng)計性、隨機(jī)性；由此導(dǎo)致不可逆性，聯(lián)系于復(fù)雜性.波粒二象性是微觀粒子的本質(zhì)屬性.新的二重性是微觀動力學(xué)的性質(zhì)，同時又是粒子結(jié)構(gòu)的特性.

4 新的二重性和相互作用

分?jǐn)?shù)維已用于懸浮液中某粒子的布朗運(yùn)動軌跡.如果對應(yīng)于砂子，則自相似可以是生成新的相同粒子，更可能是產(chǎn)生新的關(guān)聯(lián).

粒子高能時與真空相互作用，真空的漲落、起伏使粒子被Brown運(yùn)動激發(fā)，具有統(tǒng)計性.這與de Broglie的觀點是相同的.這是粒子的統(tǒng)計基礎(chǔ).統(tǒng)計性的基礎(chǔ)還可能是：1)基于根本的統(tǒng)計性、隨機(jī)性方程，可以由非線性方程導(dǎo)致；這是數(shù)學(xué)方程.2)假設(shè)砂子、部分子、粒子等各層次的統(tǒng)計性，由砂子和多層模型導(dǎo)致統(tǒng)計模型；這是結(jié)構(gòu)模型.二者結(jié)合，則非線性方程中的非線性項對應(yīng)統(tǒng)計性，當(dāng)其化為規(guī)范理論、對稱性時就是幻夸克.

由少量幾個微粒構(gòu)成的系統(tǒng)不可能是有序的.而且有序即使能夠形成也會被統(tǒng)計性漲落破壞.所以起碼在統(tǒng)計模型中粒子、夸克必須由大量微粒組成.砂子組成粒子可以類似原子組成大分子，分子組成物質(zhì).可以有晶體、液晶、玻璃體、液體、氣體、等離子體等.如果八重態(tài)基態(tài)粒子相當(dāng)于晶體，則共振態(tài)相當(dāng)于液晶、玻璃體，具有某種近似的穩(wěn)定性、對稱性.

可能有序時是強(qiáng)相互作用，無序時是弱相互作用(對應(yīng)無相互作用的統(tǒng)計性).二者的時間可逆和不可逆.粒子孤立時趨于無序，所以會自發(fā)衰變，弱相互作用.在一切情況下都可以是無序，所以普遍存在弱相互作用、平衡態(tài).可能因為無序，所以P、CP、T不守恒.粒子產(chǎn)生時能量輸入，對應(yīng)于有序、強(qiáng)相互作用；只有在一定條件下才可以有序、非平衡態(tài).但共振態(tài)自發(fā)衰變?nèi)匀皇菑?qiáng)相互作用.這又說明是從一種有序態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種有序態(tài).夸克模型中就是夸克轉(zhuǎn)化，或共振態(tài)是多夸克轉(zhuǎn)化為三或二夸克的粒子.無序時對應(yīng)于夸克解體、粒子衰變.這已經(jīng)結(jié)合相互作用及其統(tǒng)一和亞夸克模型等.在夸克，特別砂子層次，統(tǒng)計性自然統(tǒng)一.如果夸克、強(qiáng)相互作用都?xì)w為有序排列運(yùn)動，則自然不必要膠子；而夸克只對應(yīng)于強(qiáng)相互作用(色)，所以只需要3種.這樣仍回到Gell-Mann的簡單夸克模型.如此砂子的拉氏量、方程結(jié)合非平衡態(tài)、平衡態(tài)統(tǒng)計方程應(yīng)該導(dǎo)致強(qiáng)、弱相互作用及QCD、DM的拉氏量、方程.砂子特定的統(tǒng)計性方程在有序時化為夸克的Dirac方程，對應(yīng)QCD、DM.

超高能時是大統(tǒng)一，統(tǒng)一的統(tǒng)計性[16]，具有更大的對稱性，對應(yīng)于無序.對稱性在高能時數(shù)學(xué)方程具有統(tǒng)計性質(zhì).而有相互作用、非平衡態(tài)時，無序化為有序，原來統(tǒng)一的對稱性破缺，出現(xiàn)幻夸克.結(jié)構(gòu)相變，參數(shù)是能量、量子數(shù)或無量綱的標(biāo)度變量.

非平衡統(tǒng)計模型已聯(lián)系于Higgs場、非線性方程和理論.它應(yīng)該結(jié)合分形模型及應(yīng)用，聯(lián)系于弦、袋及各種新現(xiàn)象和假設(shè).對夸克的產(chǎn)生、三分岔最好如同u,d穩(wěn)定而s不穩(wěn)定.假設(shè)密度、波函數(shù)或其平方正比于質(zhì)量m，則

(6)

這是演化方程，對應(yīng)粒子或宇宙演化.應(yīng)該由此導(dǎo)出間歇公式和分維等，特別是結(jié)合推廣的混沌模型，因為二者都描述多重產(chǎn)生.宇稱、PC等守恒、不守恒可能各是兩種不同的相.此時相應(yīng)于不同的相互作用.因此不同的相互作用，或各種相互作用的統(tǒng)一和破缺對應(yīng)各種或兩種相.

5 新的二重性相應(yīng)的方程

我們提出粒子具有新的對稱性和統(tǒng)計性二重性[8,28].其中對稱性包含SU(3)等，說明物理結(jié)構(gòu)上具有對稱性，例如夸克等，及動力學(xué)及方程的對稱性；而且還包括GMO質(zhì)量公式、場和粒子的對稱、波粒二象性等；靴帶也是各種已知粒子平等、等價，可以互相置換的對稱性.統(tǒng)計性表現(xiàn)在大量粒子出現(xiàn)于各種層次的組成中都可以用統(tǒng)計隨機(jī)方法，并且統(tǒng)計性導(dǎo)致量子力學(xué)的幾率波；而波動性可發(fā)展為幾率性、統(tǒng)計性、隨機(jī)性等.大量的、小質(zhì)量的粒子呈現(xiàn)出波動性、統(tǒng)計性；少數(shù)的、大質(zhì)量的粒子呈現(xiàn)出對稱性.前者集聚化為后者，后者分解化為前者.低能、時空相對較大時呈現(xiàn)波動性，高能、時空相對較小時呈現(xiàn)統(tǒng)計性.統(tǒng)計性方程為Fokker-Planck(FP)方程[36]，即Kolmogorov方程.

Regge理論對應(yīng)于量子分布，特別附加補(bǔ)償力學(xué)時.它導(dǎo)出的多邊緣模型及與之相關(guān)的火球模型、液滴模型及碎裂極限假設(shè)和量子液滴模型、激發(fā)態(tài)模型、統(tǒng)計熱力學(xué)模型等都導(dǎo)致統(tǒng)一的Gamma分布.電荷分布e-r/R，re-r/R及r-2e-2μr都是Gamma分布[37].球面散射波也是Gamma分布.粒子的主要特性都是對稱性或統(tǒng)計性，二者互補(bǔ)，各是低、高能情況.對應(yīng)于夸克、靴帶二重性.低能對稱性應(yīng)包括、導(dǎo)致波粒二象性；高能統(tǒng)計性應(yīng)導(dǎo)致粒子的互相轉(zhuǎn)化，散射等.二者統(tǒng)一應(yīng)該就是統(tǒng)計性與各種對稱性及超對稱性統(tǒng)一.

對稱性對應(yīng)規(guī)范場及其方程，聯(lián)系于群，規(guī)范場是對稱性場的數(shù)學(xué)表示.這類似晶體，對應(yīng)結(jié)構(gòu)，例如夸克.而且由對稱性破缺也許可以聯(lián)系于統(tǒng)計性.Regge理論發(fā)展為Veneziano模型又聯(lián)系于B分布，而模型具有的交叉性、雙關(guān)性都是對稱性.

新的二重性可能是對稱性代入統(tǒng)計性或反之.即對稱的統(tǒng)計性或統(tǒng)計的對稱性.具體可能是夸克與靴帶等互相結(jié)合.也可以是多種特性結(jié)合為多象性，如包括場論、非線性理論等.進(jìn)一步發(fā)展新的二重性，則對稱性發(fā)展為超對稱性，統(tǒng)計性發(fā)展為新統(tǒng)計性.二者都是統(tǒng)一，統(tǒng)一相互作用、粒子和統(tǒng)計性.袋具有夸克-部分子的動力學(xué)和對稱性的性質(zhì)，又有統(tǒng)計性的特征.新二重性的交點之一就是袋及其推廣，二維以上的弦就是膜、袋.Regge軌跡(s-Rea(3)的Chew-Frautschi圖)聯(lián)系低能共振態(tài)(對稱性)與高能散射(統(tǒng)計性).

對于統(tǒng)計性，一方面是統(tǒng)計力學(xué)導(dǎo)致量子力學(xué)、量子場論；另一方面是統(tǒng)計模型建立在量子場論的基礎(chǔ)上.統(tǒng)計性還有兩個方面：理論上應(yīng)該探討統(tǒng)計性、量子力學(xué)與對稱性等的各種關(guān)系；同時實驗上各種符合的統(tǒng)計模型.統(tǒng)計性不同就可以化為多種不同的模型，如Fermi模型、火球模型、激發(fā)態(tài)模型、極限碎裂模型及各種衰變、反應(yīng)時的分布.其中極限碎裂模型符合較好，研究統(tǒng)一時可以此為基礎(chǔ).但低能時可能不符合統(tǒng)計性.由動力學(xué)模型、統(tǒng)計性等應(yīng)該導(dǎo)出各種粒子和夸克的量子數(shù).

新的二重性基于Langevin方程，F(xiàn)okker-Planck(FP)方程

(7)

右邊二項分別是漂移項和擴(kuò)散項.這是Schrodinger方程的推廣，即Schrodinger方程的一種發(fā)展方法是FP方程.當(dāng)存在非線性項K時，分布函數(shù)f(q,t)是時刻t發(fā)現(xiàn)變量q在q→q+dq區(qū)間的概率.進(jìn)一步統(tǒng)一發(fā)展的方程應(yīng)是FP相對論化方程，和KG，Dirac方程相應(yīng)的推廣.這又聯(lián)系于費(fèi)米子、玻色子統(tǒng)一的方程[8].

(8)

即

(9)

(10)

(11)

統(tǒng)計性對應(yīng)Kolmogorov方程，聯(lián)系于半群，對應(yīng)P、C、T不守恒，類似氣體.各種統(tǒng)計模型也許可以統(tǒng)一為Markov隨機(jī)過程，起碼其導(dǎo)致多重性分布.漸近自由時相互作用微弱，所以可用統(tǒng)計性.

重整化群方程等價于統(tǒng)計性方程(如Kolmogorov方程)，應(yīng)可以導(dǎo)致Gamma、B分布的Pearson方程.1975年S.W.MacDowell推廣的Callan-Symanzik方程

(12)

類似Dirac方程

(γμ?μ+μ)ψ=j.

(13)

基于統(tǒng)計性方程，在一定條件、領(lǐng)域中(原子尺度，QED)導(dǎo)出量子力學(xué)、量子場論.

6 確定粒子質(zhì)量和粒子數(shù)學(xué)的發(fā)展

如果設(shè)砂子質(zhì)量m=0或極小，夸克質(zhì)量為M，用重整化及標(biāo)度性聯(lián)系M=Ldm.當(dāng)砂子互相關(guān)聯(lián)時對應(yīng)于海綿，有無限多個空隙，有無限長線度L=∞，1/L→0(砂子間距離趨于0)，所以M=Ldm=∞d·0=有限；此時d可以是分?jǐn)?shù)維.當(dāng)然這是極限情況，m→0，L→∞.這與量子場論重整化

(14)

相同.μ2=L2da，無窮大的μ2對應(yīng)于砂子的本底，海綿的線度為無限長時的極限.

a[1-(δμ2/μ2)]=m2=0,

(15)

是質(zhì)量平方的量綱，所以

δμ2/μ2=1-(m2/a).

(16)

μ0=Ldμ=∞·0是有限值.

所謂量子化條件，幾率軌道，又對應(yīng)于Lyapunov函數(shù).中微子v，電子e和質(zhì)子p是3個穩(wěn)定點，都是費(fèi)米子.設(shè)函數(shù)為

(17)

所以

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN)...(m-mΞ).

(18)

如此穩(wěn)定粒子和不穩(wěn)定粒子交叉出現(xiàn).如有2n+1個因子時，me,mN,mΣ等穩(wěn)定，而mμ,mΛ,mΞ等不穩(wěn)定.結(jié)合實驗，令最簡單的函數(shù)為

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN),

(19)

則

f=A[m4-am3+bm2-cm+C],

(20)

其中系數(shù)a=2m(K±)+3m(π0)=1392.22 MeV，b=3m(K±)m(π0)=199665 MeV和c=3m(K±)[m(π0)+m(π±)]/2=202623 MeV完全由介子質(zhì)量決定.

非線性相應(yīng)的數(shù)學(xué)特性(如新的統(tǒng)計性，非結(jié)合代數(shù)，李代數(shù)及其推廣等)可能是夸克、亞夸克、砂子的性質(zhì).粒子，特別弦、超弦中引入分維、復(fù)維、四元數(shù).并且在各種矩陣、包括三維矩陣、矩陣力學(xué)、四維時空等中引入分維、復(fù)維、四元數(shù)等.進(jìn)一步發(fā)展就是超對稱性(這又聯(lián)系于統(tǒng)一)及其各種理論、模型(包括超引力，超弦等)與統(tǒng)計性、隨機(jī)性相結(jié)合.

量子力學(xué)是能量、動量聯(lián)系于頻率、波長，pi=?ki.相對論是能量、動量聯(lián)系于時間、空間及其時空間隔、四矢，pi=Fdli.新的二重性是能量E、動量p聯(lián)系于統(tǒng)計性、隨機(jī)性.因此,1)能量E，動量p本身具有統(tǒng)計性、隨機(jī)性.2)引入溫度、熵等.3)E，p與某些統(tǒng)計量、隨機(jī)量成正比，目前尚未知.而且研究各種統(tǒng)計模型、理論的主要特征量，這些量可能又應(yīng)該分為動力學(xué)和粒子特性兩方面.

總之，量子力學(xué)方程是對稱性的，但其解釋是統(tǒng)計性的；非線性方程是確定性的，而其解可以是隨機(jī)性的，這就是混沌.

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

Many-Shell model of particles and new symmetry-statistics duality

CHANG Yifang

(Department of Physics, Yunnan University, Kunming 650091,China)

Based on the many shell structures of quark-particles and the new symmetry-statistics duality for different shells or energies proposed by me, the statistics of particles, the unified equations and various corresponding equations, etc., are researched. Final, a quantitative method determined masses of particles and the developments on mathematics of particles are discussed.

particle physics； symmetry； statistics； structure of particle； equation.

2015-03-09

國家自然科學(xué)基金資助項目(11164033)

張一方(1947-)，男，云南昆明人，云南大學(xué)教授，主要從事理論物理的研究.

O320

A

1672-3600(2015)09-0022-09