基于奇異值分解的侵徹過載信號降噪方法*

趙海峰，張 亞，李世中，郭 燕，2（.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 太原，03005）（2.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電學(xué)院 南京，20023）（3.渥太華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 渥太華，KN 6N5）

基于奇異值分解的侵徹過載信號降噪方法*

趙海峰1，2，3，張 亞1，李世中1，郭 燕1，2
（1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 太原，030051）（2.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電學(xué)院 南京，210023）（3.渥太華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 渥太華，K1N 6N5）

為解決硬目標(biāo)侵徹過載信號的降噪問題，提出侵徹加速度信號的奇異值分解技術(shù)。首先，通過主體奇異值分量穩(wěn)定原則確定信號的重構(gòu)子矩陣；然后，利用前K次奇異值能量占優(yōu)法則提取奇異值的有效階次，在此基礎(chǔ)上對實(shí)測信號進(jìn)行奇異值分解；最后，利用分解出的有效奇異值完成信號的重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)證明，經(jīng)此方法處理的侵徹過載信號可以有效剔除隱含在彈體加速度信號中的振動和噪聲，重構(gòu)后的加速度曲線具有比小波降噪效果更好的信噪比，積分得到的位移曲線能較好反映實(shí)際侵徹深度，是侵徹過載信號處理的一種新的可行方法。

侵徹過載信號；奇異值分解；信號重構(gòu)；信噪比

引 言

侵徹過載信號的消噪一直是侵徹測試過程中一個重要步驟。通過對實(shí)測信號的分析和處理，可以得出彈體在侵徹過程中的重要參數(shù)，為設(shè)計(jì)彈體的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、裝藥穩(wěn)定性和引信可靠性提供重要參考［1］。在侵徹過程中，彈載測試裝置測得的過載加速度信號一般包含兩種主要成分［2］：a.彈體的剛體加速度由侵徹時彈體所承受的結(jié)構(gòu)阻力形成，是侵徹過程中需要了解的主要成分；b.彈體在侵徹過程中產(chǎn)生的振動信號，包括彈丸橫向和縱向的振動信號，在測試過程中是不可避免、需要濾除的成分。侵徹過載信號的處理關(guān)鍵在于找到合適的濾波方法，將侵徹過程中產(chǎn)生的彈體振動信號以及外部噪聲剔除，僅保留反應(yīng)彈體侵徹阻力形成的減加速度信號。

目前，有關(guān)侵徹信號的降噪方法國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了諸多研究。根據(jù)其濾波原理的不同主要分為兩類。

第1類濾波方法屬于測試過程中的機(jī)械濾波。其原理是通過在彈內(nèi)測試裝置的前后端或內(nèi)部加裝濾波墊的方法來濾除侵徹過程中彈體的振動信號以及測試環(huán)境引起的噪聲。張兵等［3］在研究中通過加裝3種不同材料（天然橡膠、丁晴橡膠和聚碳銨脂），發(fā)現(xiàn)加裝濾波墊后測得的加速度信號頻率范圍有了明顯減小，可以分別濾除頻率大于4 k Hz，7 k Hz和10 k Hz的信號。文獻(xiàn)［4］研制了多種型號的加速度存儲測試裝置，并較早地采用泡沫鋁的方法對測試電路進(jìn)行緩沖保護(hù)，同時對測試所得信號起到機(jī)械濾波的功能。上述兩種方法在測試中都能夠?yàn)V除一定頻率的噪聲，屬于機(jī)械濾波的范疇，但不具備侵徹信號消噪的普遍性。由于在不同的測試環(huán)境下信號存在很大差異，疊加的外部噪聲頻率也不相同，測試中加裝濾波墊的材質(zhì)、形狀和厚度不同，濾波效果也不相同，所以在測試中需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行分析，按測試環(huán)境規(guī)律選擇合理濾波材質(zhì)。

第2類濾波方法屬于測試信號后的數(shù)字濾波法，其核心在于通過對信號的頻譜和波形分析，找出彈體侵徹過程中阻力形成的減加速度信號的固有頻率，濾除高于此頻率的彈體振動信號和環(huán)境噪聲［5］。此類方法的研究較為廣泛，美國Sandia實(shí)驗(yàn)室最早在20世紀(jì)90年代對所測數(shù)據(jù)進(jìn)行3k Hz的頻域?yàn)V波［6］。Rothacher等［7］計(jì)算相鄰15點(diǎn)測試數(shù)據(jù)平均化處理的濾波。文獻(xiàn)［8］進(jìn)行了3k Hz和10k Hz濾波比較。文獻(xiàn)［9］提出了彈丸一階模態(tài)臨界截止頻率濾波。Donoho［10］提出了小波閾值消噪以及基于復(fù)雜環(huán)境下異常噪聲信號的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，簡稱EMD），都屬于測試后的數(shù)字濾波方法［11］。這些方法在侵徹信號的處理方面相對機(jī)械濾波有著較為廣泛的實(shí)用性，在濾波降噪的效果上各有短長。

奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD）是接近于EMD的一種數(shù)字信號處理方法，可以將信號表示為一系列正交分量信號的疊加，分解后的分量具有零相位偏移特性。理想的去相關(guān)特性可以從復(fù)雜的噪聲環(huán)境中分離出有用信號的特征分量。近年來常用于圖像壓縮、數(shù)據(jù)降維［12-14］、信號故障特征的提取［15］、診斷［16］以及盲信號的分離［17］；但在信號降噪方面的應(yīng)用很少，尤其缺乏在侵徹過載信號的數(shù)據(jù)處理方面。筆者在此基礎(chǔ)上提出了一種基于奇異值分解的侵徹信號降噪處理方法。首先，通過對實(shí)驗(yàn)測得的侵徹過載信號進(jìn)行奇異值分解，提取侵徹過程中阻力引起的彈體加速度主體信號，剔除伴隨的彈體振動信號及外部微弱噪聲；然后，進(jìn)行信號的重構(gòu)；最后，對重構(gòu)后的加速度曲線進(jìn)行去噪效果評定以及侵徹深度的計(jì)算和比較。

1 奇異值分解、重構(gòu)原理

奇異值分解［18］是指：對于實(shí)矩陣A∈Rm×n，必定存在m階正交矩陣U=［u1u2…um］∈Rm×n和n階正交矩陣V=［v1v2…vn］∈Rn×n，使得式（1）成立。

其中：Σ=dig（δ1，δ2，…，δi）（i=1，2，…，（）

r= min（m，n）），為矩陣A的全部非零奇異值，且滿足δ1≥δ2≥…≥δr≥0，Σ中前幾個值較大，包含了矩陣A的大部分信息；U和V分別為矩陣的左右奇異陣。

奇異值分解的核心在于通過矩陣運(yùn)算將一實(shí)矩陣分解為正交矩陣U、對角矩陣Σ和正交矩陣V的乘積。其在侵徹過載信號處理過程中的關(guān)鍵在于如何將實(shí)驗(yàn)測得的信號序列構(gòu)造出合適的實(shí)矩陣A。

目前，信號奇異值處理中構(gòu)造矩陣的方法大致可以分為兩種。

一種方法是將所測一維時間信號序列S= ［s（1）s（2）… s（ n）］采用連續(xù)截取的方式構(gòu)造矩陣。具體過程可以表示為：取正整數(shù)m，n，對所測信號序列按每n個點(diǎn)截取m段，這樣可以構(gòu)造一個

m行n列的包含測試信息的新矩陣A

其中：m≥2；n≥2，且n=int（N/m）。

另一種方法是利用延遲法對測得的時間序列S（N）進(jìn)行重采樣，假設(shè)采樣間隔為τ（一般取τ= 1），構(gòu)造所得新的子矩陣B為

其中：N=L+（M-1）τ；B為L×M維矩陣，秩為r（r≤min（ L，M））。

r= min（l，m），δr=0）。

基于奇異值分解的信號子矩陣構(gòu)造方法原理基本相同，筆者針對侵徹加速度信號時域連續(xù)的特點(diǎn)，采用第2種方法進(jìn)行信號的子矩陣構(gòu)造。對構(gòu)造后的子矩陣按式（1）分解，得到r個非零奇異值δi以及l(fā)-r個值為0的奇異值。若實(shí)驗(yàn)測得的過載信號由侵徹阻力信號和彈體振動及外部噪聲構(gòu)成，則分解后的奇異值δi可以分辨出主體阻力信號和振動及噪聲信號的能量集中情況。分解所得的前k個較大的奇異值反映了侵徹過程中彈體承受阻力形成的加速度信號，稱為奇異值的有效秩階次，其余的r-k個奇異值反應(yīng)彈體的橫向和縱向振動信號以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境外部噪聲。對重構(gòu)后的子矩陣奇異值分解后，將反應(yīng)彈體的橫向和縱向振動信號及噪聲的r-k個奇異值置零，帶入式（1），得到消噪后重構(gòu)的侵徹過載阻力信號。

2 奇異值分解子矩陣的確定

利用奇異值分解信號降噪的關(guān)鍵在于如何確定測試信號序列的子矩陣行數(shù)L，以及找出子矩陣奇異值分解后的前K個有效值。筆者針對侵徹過程中彈體承受的侵徹阻力加速度信號為測試主體成份，彈體振動及外部環(huán)境噪聲為伴隨信號的特點(diǎn)，提出以主體奇異值分量穩(wěn)定的方法確定子矩陣行數(shù)L，以前K次奇異值能量占優(yōu)原則確定子矩陣的有效階次K。

2.1 子矩陣行數(shù)L的確定

當(dāng)信號序列取不同行數(shù)L進(jìn)行子矩陣奇異值分解時，定義子矩陣前i次奇異值之和在總體奇異值中所占比例為λi，如式（4）所示，λi代表了奇異值分解前i個奇異值所攜帶分量信號在總體信號中的比例，且λi呈逐步增大趨勢。

當(dāng)L取某一定值m時，λi為一接近1的數(shù)值，表明此次分解的前i次奇異值信息量已經(jīng)占優(yōu)。若繼續(xù)取L=m+1，m+2，…，進(jìn)行子矩陣重構(gòu)，λi會因分解后的奇異值接近而變化緩慢，此時可以認(rèn)為子矩陣的行數(shù)m即為重構(gòu)子矩陣的最佳行數(shù)。如果繼續(xù)增大子矩陣行數(shù)取值，對于提取主體信息已經(jīng)沒有任何意義，還會增加奇異值分解的計(jì)算量。

2.2 子矩陣有效階次K的確定

子矩陣有效階次K的確定可以根據(jù)奇異值能量占優(yōu)原則來確定，即當(dāng)任一子矩陣進(jìn)行為奇異值分解時，對應(yīng)分解后的奇異值為Σ=dig（δ1，δ2，…，δp），此時定義單一奇異值對應(yīng)信號分量的能量為E，前K次奇異值能量所占總體能量比為P。

若前K次奇異值對應(yīng)信號分量能量和與總奇異值能量比值P占據(jù)很大優(yōu)勢，表明了此次分解前K個奇異值已經(jīng)代表了信號的主要成分。此時，取K為當(dāng)前子矩陣的有效奇異值分解階次即可。

3 仿真信號的奇異值分解

為驗(yàn)證筆者提出的奇異值分解方法的有效性，取與侵徹信號相似的一維電壓信號leleccum作為仿真信號，1 350個采樣點(diǎn)作為信號的長度進(jìn)行分析。取L=2，3，4，5，6時進(jìn)行奇異值分解，信號及對應(yīng)特征值如圖1所示。

圖1 Leleccum信號及特征值Fig.1 Lelecuum signal and eigenvalues

采用筆者提出的子矩陣主體奇異值分量穩(wěn)定原則對信號進(jìn)行處理。當(dāng)L=2，3，4，5，6時，其前i次奇異值之和在總體奇異值中所占信息量比例λi變化曲線如圖2所示。其中：橫坐標(biāo)為奇異值分量個數(shù)；縱坐標(biāo)為前i個奇異值和在總體奇異值中所占比例。結(jié)合圖1和圖2可知，隨著行數(shù)L的增加，分解所得的奇異值個數(shù)越來越多，分解的奇異值也越來越接近，使得前i個奇異值分量和在總體奇異值中比例λi越來越接近于1。當(dāng)L繼續(xù)增大，λi的變化越來越緩慢，表明此時構(gòu)造的子矩陣經(jīng)過奇異值分解已近能有效分解出信號所攜帶的大部分信息，繼續(xù)增大L沒有意義，只會增加計(jì)算量。

圖2 L取不同值時leleccum信號前i次奇異值信息量變化趨勢Fig.2 The tendency of change of leleccum signal former i times singular value information when L take different values

此時，如果設(shè)定信號奇異值分解后前i個信號分量占總體信號比為99.7％，由表1可以得出leleccum一維電壓信號的子矩陣構(gòu)造取L=4即可。

表1 L取2，3，4，5，6時leleccum信號λi的數(shù)值Tab.1 Theλivalues of leleccum signal when L=2，3，4，5，6

在確定子矩陣行數(shù)后，對構(gòu)造的子矩陣奇異值分解。利用能量比公式計(jì)算發(fā)現(xiàn)，分解后第1個奇異值分量能量占總體能量比值P為99.6％。這說明第1個奇異值分量攜帶了信號的主要信息，其余3個奇異值分量攜帶的為信號微小噪聲分量，在信號重構(gòu)時將其置零即可。

leleccum一維電壓信號在L=4，K=1的情況下，奇異值分解結(jié)果及分解后誤差如圖3所示?？梢钥闯?，信號經(jīng)過奇異值分解取得較好的降噪效果，降噪后信噪比為94.84。

圖3 leleccum信號特征值、濾波后信號及誤差Fig.3 The eigenvalues，reconstructed signal of leleccum and error

4 侵徹實(shí)驗(yàn)及信號的奇異值分解

4.1 侵徹實(shí)驗(yàn)

為獲得侵徹實(shí)驗(yàn)信號，采用小型隨彈測試系統(tǒng)記錄彈體侵徹時的加速度時程曲線。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的測試裝置和數(shù)據(jù)記錄系統(tǒng)架構(gòu)框圖如圖4，5所示。實(shí)驗(yàn)時將小型測試裝置裝入實(shí)驗(yàn)彈彈體底部，用于無限混凝土板靶的侵徹實(shí)驗(yàn)。在侵徹過程中，通過加速度計(jì)測得彈體侵徹振動信號，經(jīng)圖5中信號適配器的放大、調(diào)理，數(shù)據(jù)記錄儀的采樣、模數(shù)轉(zhuǎn)換后存儲在測試裝置中的存儲器中。在彈體侵徹過程結(jié)束后，回收測試裝置，通過預(yù)留的數(shù)據(jù)接口讀出測得的侵徹加速度數(shù)據(jù)。某次實(shí)驗(yàn)測得的侵徹加速度曲線如圖6所示。4.2 侵徹信號的奇異值分解

圖4 測試裝置Fig.4 The testing device

圖5 數(shù)據(jù)記錄系統(tǒng)架構(gòu)框圖Fig.5 Block diagram of data recording system

圖6 侵徹加速度曲線Fig.6 The curve of penetration acceleration

1）確定重構(gòu)子矩陣的行數(shù)L。取L=2，3，4，5，8，20時，其分解后的奇異值分量如圖7所示?？梢钥闯觯?dāng)L≥5時，前5個奇異值分量呈下降趨勢，之后繼續(xù)增大L取值奇異值相對變化很小，且基本呈穩(wěn)定變化態(tài)勢。此時前i個奇異值之和與整體奇異值比例λi的變化趨勢如圖8所示?？梢钥闯?，λi隨奇異值的增加其變化越來越慢，當(dāng)L=5時，前4個奇異值分量和已經(jīng)占據(jù)總體分量的95％以上，此時取L=5為侵徹過載信號重構(gòu)子矩陣的行數(shù)。

圖7 L=2，3，4，5，8，20時侵徹信號奇異值Fig.7 The singular values of penetration signals when L=2，3，4，5，8，20

圖8 L取不同值時侵徹信號前i次奇異值信息量變化趨勢Fig.8 The tendency of change of penetration signals former i times singular value information when L takes different values

2）在確定子矩陣行數(shù)L后，遵循前K次奇異值能量占優(yōu)原則確定子矩陣的有效階次K。從表2可以看出，當(dāng)L=5時，前兩個奇異值分別為0.716 和0.112，此后其值都低于0.1，前2次奇異值能量所占總體能量比P為98％，占據(jù)了總體能量的大部，說明前2次能量攜帶了信號的主體，所以取K= 2為奇異值分解的有效階次。

表2 L取2，3，4，5，8時侵徹信號奇異值數(shù)值Tab.2 The singular values of penetration signals when L= 2，3，4，5，8

按上述分析，當(dāng)L=5，K=2的情況下，侵徹過載信號的奇異值分解結(jié)果及分解后誤差如圖9所示?？梢钥闯觯盘柦?jīng)過奇異值分解重構(gòu)后取得較好的降噪效果。

圖9 侵徹過載信號奇異值分解后重構(gòu)信號及誤差Fig.9 The reconstructed signal and error of penetration signals after singular value decomposition

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的侵徹過載信號處理方法的正確性，筆者一方面通過與侵徹過載信號的小波分解方法（圖10小波去噪后的侵徹過載信號）比較，發(fā)現(xiàn)經(jīng)提出的奇異值分解后重構(gòu)所得信號的信噪比（signal to noise ratio，簡稱SNR）要優(yōu)于小波分解重構(gòu)后信號的信噪比（見表3）；另一方面，對去噪后的加速度信號在時域進(jìn)行二次積分，求得彈體侵徹過程的位移時程曲線（見圖11）。由圖11可知，彈體經(jīng)降噪后所得侵徹深度為1.003m，與實(shí)驗(yàn)測得的實(shí)際侵徹深度1.005m（見圖12）非常接近。

圖10 小波去噪后的侵徹過載信號Fig.10 The penetration acceleration signal after Wavelet filtering

表3 兩種不同分析方法信噪比Tab.3 The SNR of two different methods

圖11 彈體侵徹的位移積分曲線Fig.11 Displacement-time curve of projectile penetration process

圖12 實(shí)驗(yàn)侵徹深度Fig.12 Experimental penetration depth

5 結(jié) 論

1）通過奇異值分解可以將彈體侵徹過程中的主分量信號和伴隨的振動及噪聲信號分離，從而提取出侵徹阻力形成的主體信號。

2）分解重構(gòu)后的信號具有較高的信噪比。

3）降噪后的加速度曲線經(jīng)二次積分所得侵徹深度具有較好的準(zhǔn)確度。

4）該方法對于研究侵徹過載信號濾波提供了一種較好的分析思路，對侵徹加速度信號濾波處理具有一定的實(shí)際意義。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.028

TN911.6；TJ430.6

趙海峰，男，1981年12月生，講師、博士研究生。主要研究方向?yàn)榍謴匾判盘柼幚?。曾發(fā)表《基于RFID的校園智能路障系統(tǒng)設(shè)計(jì)》（《中北大學(xué)學(xué)報(bào)》2013年第34卷第4期）等論文。

E-mail：zhaohf@njcit.cn

簡介：張亞，男，1964年10月生，教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)信息探測與識別技術(shù)、武器系統(tǒng)安全性與可靠性技術(shù)。

E-mail：zy@nuc.edu.cn

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51275488）；國防預(yù)研項(xiàng)目；江蘇省第2批中青年骨干教師和校長境外研修計(jì)劃資助項(xiàng)目

2014-10-30；

2014-12-23