高速平面并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)態(tài)分析與實(shí)驗(yàn)*

高名旺，張憲民（.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 淄博，55049）（.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，5064）

高速平面并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)態(tài)分析與實(shí)驗(yàn)*

高名旺1，張憲民2
（1.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 淄博，255049）
（2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641）

基于彈性動(dòng)力學(xué)和實(shí)驗(yàn)對(duì)高速輕型平面并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究。首先，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何和慣性非線性建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程組，對(duì)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析；其次，建立了由3-RRR輕型并聯(lián)機(jī)構(gòu)和控制系統(tǒng)組成的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，在位形2，理論分析和實(shí)驗(yàn)一致，即機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)很快衰減；在位形1，理論分析與實(shí)驗(yàn)兩者不同，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為自激振動(dòng)，而數(shù)值仿真得到衰減的殘余振動(dòng)。同時(shí)，結(jié)果也表明機(jī)構(gòu)在不同位形有不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

平面并聯(lián)機(jī)器人；高速；彈性動(dòng)力學(xué)；殘余振動(dòng)

引 言

和串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高定位精度、更高的加速度和負(fù)載能力等［1］優(yōu)點(diǎn)，因而應(yīng)用廣泛；然而并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間的動(dòng)態(tài)特性非常復(fù)雜［2］，這給機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和使用造成很大困難。輕量化的并聯(lián)機(jī)器人在高速、高加速工作時(shí)，桿件的彈性變形容易導(dǎo)致系統(tǒng)整體彈性振動(dòng)，從而影響機(jī)構(gòu)的應(yīng)用。彈性動(dòng)力學(xué)廣泛用于模擬串聯(lián)機(jī)器人和四桿機(jī)構(gòu)［3］，也逐漸用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析。文獻(xiàn)［4］利用虛功原理對(duì)柔性五桿機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Zhou等［5］運(yùn)用有限元法建立柔性3-PRS機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)公式并分析其振動(dòng)特性。Wang等［6］和Zhang等［7］分別運(yùn)用有限元法和假定模態(tài)法對(duì)3-PRR機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了主動(dòng)振動(dòng)控制研究。劉善增等［8］對(duì)3-RRC并聯(lián)機(jī)器人建模分析其動(dòng)態(tài)特性。Zhao等［9］運(yùn)用有限元方法模擬分析六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性。Rognant等［10］提出一種建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)模型的步驟。然而，以上研究在不同位形、高速運(yùn)動(dòng)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響的分析，尤其是實(shí)驗(yàn)研究相對(duì)較少［11］。

筆者基于有限元法建立3-RRR機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型，在工作空間內(nèi)對(duì)不同位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究。首先，利用彈性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析；然后，利用實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行測(cè)試。結(jié)果表明，在位形2位置，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而位形1的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差異。該研究結(jié)果為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制提供參考。

1 3-RRR機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和鏈接兩者的支鏈組成。支鏈由鉸和連桿組成，其中：鉸包含主動(dòng)鉸Oi、被動(dòng)鉸Bi和Ci；連桿分別為主動(dòng)桿OiBi和被動(dòng)桿BiCi。假設(shè)連桿為柔性桿，其余元件為剛性體。慣性坐標(biāo)系O-xy建立在靜平臺(tái)上，坐標(biāo)系原點(diǎn)在三角形O1O2O3的形心，z軸按右手螺旋確定。

圖1 3-RRR機(jī)構(gòu)Fig.1 3-RRR mechanism

1.1 單元位移

柔性連桿的運(yùn)動(dòng)用等效剛體模型描述［12］。平面梁?jiǎn)卧鐖D2所示。實(shí)線部分為彈性變形單元，虛線部分為假設(shè)的剛體未變形單元。單元坐標(biāo)系為a-xy，x軸為剛體單元中性軸方向，原點(diǎn)在剛體單元的端點(diǎn)a。

彈性體的橫向變形采用三次Hermit多項(xiàng)式［13］，軸向彈性位移采用線性插值函數(shù)。彈性體中任意一點(diǎn)的彈性位移在單元坐標(biāo)系中可表示為

其中：ue為梁?jiǎn)卧灰葡蛄?；Ne為梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)；r為彈性體中C點(diǎn)相對(duì)瞬態(tài)剛體運(yùn)動(dòng)的彈性位移向量，式中向量左上標(biāo)e表示在單元坐標(biāo)系中表示。

位置向量可寫成如下形式

其中：Ro為C點(diǎn)在剛性單元中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)向量；T2為慣性坐標(biāo)系到單元坐標(biāo)系的2×2矩陣。對(duì)式（2）兩邊求導(dǎo)可得C點(diǎn)速度

其中：T為慣性坐標(biāo)系聯(lián)系單元坐標(biāo)系的6×6常數(shù)矩陣；T～

表示公式求導(dǎo)。

圖2 歐拉-伯努利單元Fig.2 Euler-Bernoulli element

1.2 支鏈的動(dòng)能和勢(shì)能

支鏈中的連桿由3部分組成，即連桿兩端的集中質(zhì)量和中間的柔性桿。筆者把柔性桿作為一個(gè)柔性單元，連桿兩端集中質(zhì)量的動(dòng)能分別合并到動(dòng)平臺(tái)和被動(dòng)鉸Bi單元的動(dòng)能中。支鏈的動(dòng)能為

其中：Vij為第i支鏈第j連桿的勢(shì)能。

1.3 全局坐標(biāo)

系統(tǒng)的全局坐標(biāo)如圖3所示，總共取18個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。系統(tǒng)全局坐標(biāo)可表示為

其中：Tic為第i支鏈的動(dòng)能；Tij為第i支鏈第j連桿的動(dòng)能；TBi為第i支鏈被動(dòng)鉸Bi的動(dòng)能。

支鏈的勢(shì)能為

圖3 全局坐標(biāo)Fig.3 Global coordinate

單元位移向量和全局坐標(biāo)的映射由連接矩陣Si1，Si2，SBi和Sp實(shí)現(xiàn)。

單元i1的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

單元i2的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

單元Bi的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

動(dòng)平臺(tái)的位移向量和全局坐標(biāo)的關(guān)系為

1.4 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.4.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)彈性振動(dòng)的影響，因而機(jī)構(gòu)的拉格朗日等式可用系統(tǒng)的柔性全局坐標(biāo)表示，則3-RRR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)等式為

1.4.2 增加比例阻尼的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

通常在有限元分析中，使用比例阻尼模擬結(jié)構(gòu)阻尼，比例阻尼是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組

其中：Tp為動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能。

把式（4），（5），（7）～（10）分別代入式（11），整理并寫成矩陣形式為合［14］，即增加比例阻尼后動(dòng)力學(xué)模型可表示為

2 數(shù)值仿真

為研究機(jī)構(gòu)在工作空間不同位形的動(dòng)態(tài)特性，以機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形為例進(jìn)行運(yùn)動(dòng)響應(yīng)研究。利用彈性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)機(jī)構(gòu)在典型位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真分析。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿件采用鋁合金，材料彈性模量為0.7×105MPa，材料密度為2.7×103kg/m3，主要參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)連桿參數(shù)Tab.1 Parameters of mechanism link

2.1 位形1的殘余振動(dòng)仿真分析

位形1（0.15 m，0）如圖4所示。機(jī)構(gòu)以梯形速度規(guī)劃從原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（0.15 m，0），其加速度為20 m/s2，速度為1 m/s。此位移被稱為軌跡1，具體位移規(guī)律為

圖4 位形1Fig.4 Configuration one

其中：a為運(yùn)動(dòng)加速度；x，y分別表示x，y軸方向的位移規(guī)律；φ表示繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。

式（15）描述了機(jī)構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（0.15 m，0）。為更好地比較機(jī)構(gòu)在位形1的動(dòng)態(tài)特性，在Matlab/Simulink中編程并運(yùn)行0.5 s。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖5和圖6所示，分別表示機(jī)構(gòu)在x軸和y軸的振動(dòng)位移。

圖5 位形1的x軸振動(dòng)位移Fig.5 Vibration of x direction at configuration one

圖6 位形1的y軸振動(dòng)位移Fig.6 Vibration of y direction at configuration one

由圖5可看到，在加速階段，即0≤t≤0.05 s，機(jī)構(gòu)受到較大沖擊，x軸的振動(dòng)幅值為1.39 mm。在勻速階段，即0.05＜t≤0.15 s，振動(dòng)幅值減少。在減速階段，即0.15＜t≤0.2 s，振動(dòng)幅值又增加，達(dá)到2.85 mm，此時(shí)機(jī)構(gòu)的剛度變小，從而導(dǎo)致彈性變形增大。最后，當(dāng)t＞0.20 s時(shí)，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為殘余振動(dòng)，其幅值為1.18 mm，并且逐漸衰減。由圖6看到，在各個(gè)階段，機(jī)構(gòu)在y向的振動(dòng)幅值都較小，幅值為0.44 mm，尤其是殘余振動(dòng)振幅小，為0.15 mm，衰減快說明x向擾動(dòng)對(duì)y方向的影響較小。

2.2 位形2的殘余振動(dòng)仿真分析

位形2如圖7所示，即點(diǎn)（-0.15 m，0），是位形1的對(duì)稱位形。軌跡2為機(jī)構(gòu)從原點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（-0.15 m，0）。機(jī)構(gòu)位移規(guī)律如式（16）所示。

圖7 位形2Fig.7 Configuration two

式（16）描述了機(jī)構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點(diǎn)移動(dòng)到位形2，移動(dòng)速度和加速度與前面一致。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖8，9所示。圖8為x軸振動(dòng)位移。圖9為y軸振動(dòng)位移。

圖8 位形2的x軸振動(dòng)位移Fig.8 Vibration of x direction at configuration two

從圖8可知，在加速階段，x軸的振動(dòng)幅值較大，達(dá)到1.33 mm。在勻速運(yùn)動(dòng)階段，振動(dòng)幅值減少。在減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，幅值為0.81 mm，比加速階段的幅值小。最后，運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定點(diǎn)后，即t＞0.20 s時(shí)，機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)幅值僅為0.19 mm且很快衰減。

在圖9中，y軸各階段的振動(dòng)幅值都較小，加速階段y向振動(dòng)幅值僅為0.09 mm，說明在此階段x軸的力擾動(dòng)對(duì)y軸的影響較小，同時(shí)也表明此時(shí)其y軸剛度大；在減速階段，y軸產(chǎn)生的振動(dòng)幅值為0.73 mm，比加速時(shí)大，意味著機(jī)構(gòu)在y軸的剛度變小了；最后，機(jī)構(gòu)殘余振動(dòng)的幅值為0.28 mm。

圖9 位形2的y軸振動(dòng)位移Fig.9 Vibration of y direction at configuration two

圖5與圖8比較可知，位形1的殘余振動(dòng)幅值比位形2的大，說明機(jī)構(gòu)在位形1的剛度小，振動(dòng)超調(diào)量大。圖6和圖9比較可知，不同的方向有不同幅值的殘余振動(dòng)，說明機(jī)構(gòu)在某一位形的不同方向的剛度也不同。

3 實(shí) 驗(yàn)

3-RRR實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖10所示，設(shè)備包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)、伺服電動(dòng)機(jī)和dSPACE控制器。3-RRR機(jī)構(gòu)由鋁合金制成的輕型連桿、動(dòng)平臺(tái)和基座組成，連桿之間用滾動(dòng)軸承連接。3個(gè)交流伺服電動(dòng)機(jī)被固定在基座上，其額定轉(zhuǎn)速為3 kr/min。在Matlab/Simulink中編好程序，然后下傳到dSPACE中，通過伺服電動(dòng)機(jī)控制機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度為1 m/s，加速度為20 m/s2。機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)用動(dòng)平臺(tái)的位移表示，動(dòng)平臺(tái)的位移由激光干涉儀XL-80測(cè)量得到。軌跡1的實(shí)測(cè)位移如圖11所示?？梢钥吹?，機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)振幅由1.63 mm逐漸增大至3.57 mm，最后形成幅值固定的有規(guī)律的振動(dòng)，這種振動(dòng)為自激振動(dòng)。這種現(xiàn)象和圖5的仿真結(jié)果有所不同，因?yàn)闄C(jī)器人發(fā)生機(jī)電耦合作用。機(jī)構(gòu)在此位形的殘余振動(dòng)誘發(fā)了伺服系統(tǒng)，伺服系統(tǒng)成為機(jī)構(gòu)的激勵(lì)源，從而形成了自激振動(dòng)。圖12為位移1的速度變化規(guī)律，該圖清楚地表明自激振動(dòng)的發(fā)生和發(fā)展。

圖10 3-RRR機(jī)構(gòu)照片F(xiàn)ig.10 Photo of the 3-RRR manipulator

圖11 軌跡1的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.11 Dynamic response of trajectory one

圖12 軌跡1的速度Fig.12 Velocity of trajectory one

軌跡2的實(shí)測(cè)位移如圖13所示，機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)的幅值為0.14 mm且很快衰減。與圖10相比，振動(dòng)非常小，因而機(jī)構(gòu)在位形2的動(dòng)態(tài)性能更好。與圖8相比，兩者的殘余振動(dòng)幅值相近，相差0.05 mm。實(shí)驗(yàn)證明理論模型能模擬機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖13 軌跡2的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.13 Dynamical response of trajectory two

圖14 軌跡2的速度Fig.14 Velocity of trajectory two

由圖14的速度變化可以清楚地看到機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)變化規(guī)律。圖12和圖14比較發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)在位形1的殘余振動(dòng)較大且不斷增大，形成自激振動(dòng)，在位形2的殘余振動(dòng)幅值小且衰減很快。

4 結(jié)束語

動(dòng)力學(xué)模型能較好地模擬機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)，但不能正確地模擬實(shí)際機(jī)器人的自激振動(dòng)。模擬和實(shí)驗(yàn)表明并聯(lián)機(jī)器人在不同位形的殘余振動(dòng)有很大不同。有的位形超調(diào)量大，而且會(huì)形成自激振動(dòng)，有的位形超調(diào)量小，因而在應(yīng)用并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)要考慮在不同位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，避免較大的位置誤差。仿真可以看出，機(jī)構(gòu)在同一位形時(shí)，不同方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)也不同，因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)要考慮機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方向。

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TP242；TH113

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.023

高名旺，男，1973年1月生，博士、講師。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制。曾發(fā)表《3-RRR高速并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)》（《機(jī)器人》2013年第35卷第6期）等論文。E-mail：gmw-2001@163.com

*國家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（91223201）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（2012ZP0004）

2014-01-28；

2014-04-28