高名旺,張憲民(.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 淄博,55049)(.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州,5064)
高速平面并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)態(tài)分析與實(shí)驗(yàn)*
高名旺1,張憲民2
(1.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 淄博,255049)
(2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州,510641)
基于彈性動(dòng)力學(xué)和實(shí)驗(yàn)對(duì)高速輕型平面并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究。首先,根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何和慣性非線性建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程組,對(duì)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析;其次,建立了由3-RRR輕型并聯(lián)機(jī)構(gòu)和控制系統(tǒng)組成的實(shí)驗(yàn)裝置,對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明,在位形2,理論分析和實(shí)驗(yàn)一致,即機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)很快衰減;在位形1,理論分析與實(shí)驗(yàn)兩者不同,實(shí)驗(yàn)測(cè)量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為自激振動(dòng),而數(shù)值仿真得到衰減的殘余振動(dòng)。同時(shí),結(jié)果也表明機(jī)構(gòu)在不同位形有不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。
平面并聯(lián)機(jī)器人;高速;彈性動(dòng)力學(xué);殘余振動(dòng)
和串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高定位精度、更高的加速度和負(fù)載能力等[1]優(yōu)點(diǎn),因而應(yīng)用廣泛;然而并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間的動(dòng)態(tài)特性非常復(fù)雜[2],這給機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和使用造成很大困難。輕量化的并聯(lián)機(jī)器人在高速、高加速工作時(shí),桿件的彈性變形容易導(dǎo)致系統(tǒng)整體彈性振動(dòng),從而影響機(jī)構(gòu)的應(yīng)用。彈性動(dòng)力學(xué)廣泛用于模擬串聯(lián)機(jī)器人和四桿機(jī)構(gòu)[3],也逐漸用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析。文獻(xiàn)[4]利用虛功原理對(duì)柔性五桿機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Zhou等[5]運(yùn)用有限元法建立柔性3-PRS機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)公式并分析其振動(dòng)特性。Wang等[6]和Zhang等[7]分別運(yùn)用有限元法和假定模態(tài)法對(duì)3-PRR機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)其進(jìn)行了主動(dòng)振動(dòng)控制研究。劉善增等[8]對(duì)3-RRC并聯(lián)機(jī)器人建模分析其動(dòng)態(tài)特性。Zhao等[9]運(yùn)用有限元方法模擬分析六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性。Rognant等[10]提出一種建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)模型的步驟。然而,以上研究在不同位形、高速運(yùn)動(dòng)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響的分析,尤其是實(shí)驗(yàn)研究相對(duì)較少[11]。
筆者基于有限元法建立3-RRR機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型,在工作空間內(nèi)對(duì)不同位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究。首先,利用彈性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析;然后,利用實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)兩個(gè)典型位形的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行測(cè)試。結(jié)果表明,在位形2位置,仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致,而位形1的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差異。該研究結(jié)果為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制提供參考。
如圖1所示,3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和鏈接兩者的支鏈組成。支鏈由鉸和連桿組成,其中:鉸包含主動(dòng)鉸Oi、被動(dòng)鉸Bi和Ci;連桿分別為主動(dòng)桿OiBi和被動(dòng)桿BiCi。假設(shè)連桿為柔性桿,其余元件為剛性體。慣性坐標(biāo)系O-xy建立在靜平臺(tái)上,坐標(biāo)系原點(diǎn)在三角形O1O2O3的形心,z軸按右手螺旋確定。
圖1 3-RRR機(jī)構(gòu)Fig.1 3-RRR mechanism
1.1 單元位移
柔性連桿的運(yùn)動(dòng)用等效剛體模型描述[12]。平面梁?jiǎn)卧鐖D2所示。實(shí)線部分為彈性變形單元,虛線部分為假設(shè)的剛體未變形單元。單元坐標(biāo)系為a-xy,x軸為剛體單元中性軸方向,原點(diǎn)在剛體單元的端點(diǎn)a。
彈性體的橫向變形采用三次Hermit多項(xiàng)式[13],軸向彈性位移采用線性插值函數(shù)。彈性體中任意一點(diǎn)的彈性位移在單元坐標(biāo)系中可表示為
其中:ue為梁?jiǎn)卧灰葡蛄?;Ne為梁?jiǎn)卧魏瘮?shù);r為彈性體中C點(diǎn)相對(duì)瞬態(tài)剛體運(yùn)動(dòng)的彈性位移向量,式中向量左上標(biāo)e表示在單元坐標(biāo)系中表示。
位置向量可寫成如下形式
其中:Ro為C點(diǎn)在剛性單元中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)向量;T2為慣性坐標(biāo)系到單元坐標(biāo)系的2×2矩陣。對(duì)式(2)兩邊求導(dǎo)可得C點(diǎn)速度
其中:T為慣性坐標(biāo)系聯(lián)系單元坐標(biāo)系的6×6常數(shù)矩陣;T~
表示公式求導(dǎo)。
圖2 歐拉-伯努利單元Fig.2 Euler-Bernoulli element
1.2 支鏈的動(dòng)能和勢(shì)能
支鏈中的連桿由3部分組成,即連桿兩端的集中質(zhì)量和中間的柔性桿。筆者把柔性桿作為一個(gè)柔性單元,連桿兩端集中質(zhì)量的動(dòng)能分別合并到動(dòng)平臺(tái)和被動(dòng)鉸Bi單元的動(dòng)能中。支鏈的動(dòng)能為
其中:Vij為第i支鏈第j連桿的勢(shì)能。
1.3 全局坐標(biāo)
系統(tǒng)的全局坐標(biāo)如圖3所示,總共取18個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。系統(tǒng)全局坐標(biāo)可表示為
其中:Tic為第i支鏈的動(dòng)能;Tij為第i支鏈第j連桿的動(dòng)能;TBi為第i支鏈被動(dòng)鉸Bi的動(dòng)能。
支鏈的勢(shì)能為
圖3 全局坐標(biāo)Fig.3 Global coordinate
單元位移向量和全局坐標(biāo)的映射由連接矩陣Si1,Si2,SBi和Sp實(shí)現(xiàn)。
單元i1的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為
單元i2的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為
單元Bi的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為
動(dòng)平臺(tái)的位移向量和全局坐標(biāo)的關(guān)系為
1.4 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型
1.4.1 動(dòng)力學(xué)模型
考慮剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)彈性振動(dòng)的影響,因而機(jī)構(gòu)的拉格朗日等式可用系統(tǒng)的柔性全局坐標(biāo)表示,則3-RRR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)等式為
1.4.2 增加比例阻尼的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型
通常在有限元分析中,使用比例阻尼模擬結(jié)構(gòu)阻尼,比例阻尼是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組
其中:Tp為動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能。
把式(4),(5),(7)~(10)分別代入式(11),整理并寫成矩陣形式為合[14],即增加比例阻尼后動(dòng)力學(xué)模型可表示為
為研究機(jī)構(gòu)在工作空間不同位形的動(dòng)態(tài)特性,以機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位形為例進(jìn)行運(yùn)動(dòng)響應(yīng)研究。利用彈性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)機(jī)構(gòu)在典型位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真分析。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿件采用鋁合金,材料彈性模量為0.7×105MPa,材料密度為2.7×103kg/m3,主要參數(shù)如表1所示。
表1 機(jī)構(gòu)連桿參數(shù)Tab.1 Parameters of mechanism link
2.1 位形1的殘余振動(dòng)仿真分析
位形1(0.15 m,0)如圖4所示。機(jī)構(gòu)以梯形速度規(guī)劃從原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(0.15 m,0),其加速度為20 m/s2,速度為1 m/s。此位移被稱為軌跡1,具體位移規(guī)律為
圖4 位形1Fig.4 Configuration one
其中:a為運(yùn)動(dòng)加速度;x,y分別表示x,y軸方向的位移規(guī)律;φ表示繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。
式(15)描述了機(jī)構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(0.15 m,0)。為更好地比較機(jī)構(gòu)在位形1的動(dòng)態(tài)特性,在Matlab/Simulink中編程并運(yùn)行0.5 s。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖5和圖6所示,分別表示機(jī)構(gòu)在x軸和y軸的振動(dòng)位移。
圖5 位形1的x軸振動(dòng)位移Fig.5 Vibration of x direction at configuration one
圖6 位形1的y軸振動(dòng)位移Fig.6 Vibration of y direction at configuration one
由圖5可看到,在加速階段,即0≤t≤0.05 s,機(jī)構(gòu)受到較大沖擊,x軸的振動(dòng)幅值為1.39 mm。在勻速階段,即0.05<t≤0.15 s,振動(dòng)幅值減少。在減速階段,即0.15<t≤0.2 s,振動(dòng)幅值又增加,達(dá)到2.85 mm,此時(shí)機(jī)構(gòu)的剛度變小,從而導(dǎo)致彈性變形增大。最后,當(dāng)t>0.20 s時(shí),運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為殘余振動(dòng),其幅值為1.18 mm,并且逐漸衰減。由圖6看到,在各個(gè)階段,機(jī)構(gòu)在y向的振動(dòng)幅值都較小,幅值為0.44 mm,尤其是殘余振動(dòng)振幅小,為0.15 mm,衰減快說明x向擾動(dòng)對(duì)y方向的影響較小。
2.2 位形2的殘余振動(dòng)仿真分析
位形2如圖7所示,即點(diǎn)(-0.15 m,0),是位形1的對(duì)稱位形。軌跡2為機(jī)構(gòu)從原點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(-0.15 m,0)。機(jī)構(gòu)位移規(guī)律如式(16)所示。
圖7 位形2Fig.7 Configuration two
式(16)描述了機(jī)構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點(diǎn)移動(dòng)到位形2,移動(dòng)速度和加速度與前面一致。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖8,9所示。圖8為x軸振動(dòng)位移。圖9為y軸振動(dòng)位移。
圖8 位形2的x軸振動(dòng)位移Fig.8 Vibration of x direction at configuration two
從圖8可知,在加速階段,x軸的振動(dòng)幅值較大,達(dá)到1.33 mm。在勻速運(yùn)動(dòng)階段,振動(dòng)幅值減少。在減速運(yùn)動(dòng)時(shí),幅值為0.81 mm,比加速階段的幅值小。最后,運(yùn)動(dòng)到達(dá)指定點(diǎn)后,即t>0.20 s時(shí),機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)幅值僅為0.19 mm且很快衰減。
在圖9中,y軸各階段的振動(dòng)幅值都較小,加速階段y向振動(dòng)幅值僅為0.09 mm,說明在此階段x軸的力擾動(dòng)對(duì)y軸的影響較小,同時(shí)也表明此時(shí)其y軸剛度大;在減速階段,y軸產(chǎn)生的振動(dòng)幅值為0.73 mm,比加速時(shí)大,意味著機(jī)構(gòu)在y軸的剛度變小了;最后,機(jī)構(gòu)殘余振動(dòng)的幅值為0.28 mm。
圖9 位形2的y軸振動(dòng)位移Fig.9 Vibration of y direction at configuration two
圖5與圖8比較可知,位形1的殘余振動(dòng)幅值比位形2的大,說明機(jī)構(gòu)在位形1的剛度小,振動(dòng)超調(diào)量大。圖6和圖9比較可知,不同的方向有不同幅值的殘余振動(dòng),說明機(jī)構(gòu)在某一位形的不同方向的剛度也不同。
3-RRR實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖10所示,設(shè)備包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)、伺服電動(dòng)機(jī)和dSPACE控制器。3-RRR機(jī)構(gòu)由鋁合金制成的輕型連桿、動(dòng)平臺(tái)和基座組成,連桿之間用滾動(dòng)軸承連接。3個(gè)交流伺服電動(dòng)機(jī)被固定在基座上,其額定轉(zhuǎn)速為3 kr/min。在Matlab/Simulink中編好程序,然后下傳到dSPACE中,通過伺服電動(dòng)機(jī)控制機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。
機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度為1 m/s,加速度為20 m/s2。機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)用動(dòng)平臺(tái)的位移表示,動(dòng)平臺(tái)的位移由激光干涉儀XL-80測(cè)量得到。軌跡1的實(shí)測(cè)位移如圖11所示??梢钥吹?,機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)振幅由1.63 mm逐漸增大至3.57 mm,最后形成幅值固定的有規(guī)律的振動(dòng),這種振動(dòng)為自激振動(dòng)。這種現(xiàn)象和圖5的仿真結(jié)果有所不同,因?yàn)闄C(jī)器人發(fā)生機(jī)電耦合作用。機(jī)構(gòu)在此位形的殘余振動(dòng)誘發(fā)了伺服系統(tǒng),伺服系統(tǒng)成為機(jī)構(gòu)的激勵(lì)源,從而形成了自激振動(dòng)。圖12為位移1的速度變化規(guī)律,該圖清楚地表明自激振動(dòng)的發(fā)生和發(fā)展。
圖10 3-RRR機(jī)構(gòu)照片F(xiàn)ig.10 Photo of the 3-RRR manipulator
圖11 軌跡1的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.11 Dynamic response of trajectory one
圖12 軌跡1的速度Fig.12 Velocity of trajectory one
軌跡2的實(shí)測(cè)位移如圖13所示,機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)的幅值為0.14 mm且很快衰減。與圖10相比,振動(dòng)非常小,因而機(jī)構(gòu)在位形2的動(dòng)態(tài)性能更好。與圖8相比,兩者的殘余振動(dòng)幅值相近,相差0.05 mm。實(shí)驗(yàn)證明理論模型能模擬機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。
圖13 軌跡2的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.13 Dynamical response of trajectory two
圖14 軌跡2的速度Fig.14 Velocity of trajectory two
由圖14的速度變化可以清楚地看到機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)變化規(guī)律。圖12和圖14比較發(fā)現(xiàn),機(jī)構(gòu)在位形1的殘余振動(dòng)較大且不斷增大,形成自激振動(dòng),在位形2的殘余振動(dòng)幅值小且衰減很快。
動(dòng)力學(xué)模型能較好地模擬機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng),但不能正確地模擬實(shí)際機(jī)器人的自激振動(dòng)。模擬和實(shí)驗(yàn)表明并聯(lián)機(jī)器人在不同位形的殘余振動(dòng)有很大不同。有的位形超調(diào)量大,而且會(huì)形成自激振動(dòng),有的位形超調(diào)量小,因而在應(yīng)用并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)要考慮在不同位形的動(dòng)態(tài)響應(yīng),避免較大的位置誤差。仿真可以看出,機(jī)構(gòu)在同一位形時(shí),不同方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)也不同,因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)要考慮機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方向。
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TP242;TH113
10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.023
高名旺,男,1973年1月生,博士、講師。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制。曾發(fā)表《3-RRR高速并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)》(《機(jī)器人》2013年第35卷第6期)等論文。E-mail:gmw-2001@163.com
*國家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(91223201);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(2012ZP0004)
2014-01-28;
2014-04-28