矩形加肋板線性彎曲的無網(wǎng)格模擬與實(shí)驗(yàn)分析

梁 寧，彭林欣

(廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧530004)

式中，k 為剪切校正系數(shù)，通常取

且 有

0 引 言

加肋板制作簡便且有著很高的剛度-重量比，目前在航空、船體以及巖體邊坡工程等重要領(lǐng)域當(dāng)中得到廣泛的應(yīng)用。肋條的存在使板承受變形的能力得以加強(qiáng)，而整體消耗的材料卻不會很多，在很大程度上提高了結(jié)構(gòu)的效率。因此，國內(nèi)外的諸多學(xué)者也非常重視對加肋板各方面力學(xué)性能的研究。國外學(xué)者Lars 與Jostein［1］通過不同強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)研究了加肋板的局部與全局彎曲問題，從而給出了加肋板的極限強(qiáng)度彎曲的半解析法。Dow 和Smith［2］建立起加肋板屈曲以及達(dá)到屈服破壞時(shí)的連續(xù)失效模型。Shahed 等［3］通過有限元法，根據(jù)彈性力學(xué)問題作了加肋板的屈曲分析，從而確定了屈曲階段的應(yīng)力分布。國內(nèi)對加肋板的研究較少，王震鳴等［4-5］研究了加肋板在出現(xiàn)金屬缺陷以及為復(fù)合材料時(shí)，面板在局部發(fā)生屈曲時(shí)有效剛度的問題，得出了加肋板的面板發(fā)生局部屈曲時(shí)的載荷大小。在實(shí)驗(yàn)研究上，張濤、劉土光等［6］對有裂紋加肋板的裂紋穩(wěn)態(tài)做了有限元模擬與實(shí)驗(yàn)研究，說明了肋條的合理布置在很大程度上可以減小裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。駱寒冰等［7］進(jìn)行了加肋板楔形體入水砰擊實(shí)驗(yàn)，研究砰擊壓力與加肋板動力響應(yīng)的規(guī)律。謝富原等［8］針對T 形的加肋板在成型中的壓力分布以及樹脂流動情況做了實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了肋條的不同分布對壓力存在極為明顯的影響。

本文利用無網(wǎng)格法［9-10］，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)對加肋板的線性彎曲進(jìn)行分析。先通過移動最小二乘法［11-13］建立板與肋板的勢能泛函，然后位移協(xié)調(diào)條件把兩者的勢能泛函進(jìn)行疊加，最終得出了整個加肋板線性彎曲的控制方程［14-16］。并做了加肋板三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分為不同肋條數(shù)以及不同邊界條件，把無網(wǎng)格法計(jì)算得出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及ANSYS 有限元解進(jìn)行對比。

1 加肋板的無網(wǎng)格離散方案

如圖1 為加肋板整體結(jié)構(gòu)模型，在板的一側(cè)布置有平行于x 方向與y 方向的肋條。該加肋板經(jīng)節(jié)點(diǎn)離散后，所形成的無網(wǎng)格模型如圖2 所示。所有節(jié)點(diǎn)均相互獨(dú)立，板上節(jié)點(diǎn)的自由度有:u0p，v0p，w0p，φpx，φpy，其中u0p、v0p與w0p分別為板上節(jié)點(diǎn)沿x，y，z 方向的位移，φpx、φpy分別為板上節(jié)點(diǎn)繞y 方向與x方向的轉(zhuǎn)角。對于x 向肋條與y 向肋條上節(jié)點(diǎn)的自由度分別是:u0sx，wsx，φsx與u0sy，wsy，φsy。

圖1 加肋板Fig.1 Stiffened plate

圖2 加肋板無網(wǎng)格模型Fig.2 The mesh-less model of stiffened plate

2 加肋板位移場近似

由一階剪切變形理論與移動最小二乘近似，得出板的位移場近似為:

x 與y 肋條的位移場分別為:

3 勢能泛函

式中，k 為剪切校正系數(shù)，通常取

且 有

加肋板的總勢能泛函表示為:

4 位移協(xié)調(diào)條件

以y 向肋條為例來說明板與肋條之間位移協(xié)調(diào)關(guān)系，如圖3 所示。

圖3 板與y 向肋條截面Fig.3 Section of plate and y-stiffener

在y 向肋條上的一個節(jié)點(diǎn)s，其平板上與s 有著相同x 與y 坐標(biāo)必定存在一點(diǎn)p，這兩點(diǎn)的位移有著如下的關(guān)系:

在板與肋條相接觸的公共點(diǎn)c 處，有:

這里p 點(diǎn)不一定是板上節(jié)點(diǎn)，在y 向肋條上的每個節(jié)點(diǎn)，都能找到板上的一點(diǎn)與肋條上的節(jié)點(diǎn)相對應(yīng)，根據(jù)式(8)，由移動最小二乘近似，于是有:

由式(11)可得:

同理將式(9)、(10)進(jìn)行推導(dǎo)，有:

綜合式(12)、(13)以及式(14)，可將y 向肋條上節(jié)點(diǎn)的參數(shù)轉(zhuǎn)換到板上節(jié)點(diǎn)參數(shù)的方程為:

同理，將x 向肋條節(jié)點(diǎn)參數(shù)轉(zhuǎn)換到板上節(jié)點(diǎn)參數(shù)的方程為:

5 控制方程與本質(zhì)邊界條件處理

將式(15)、(16)代入式(17)，則加肋板總勢能泛函的表示式為:

將式(1)、(2)、(3)代入式(7)，得:

式(18)根據(jù)最小勢能原理δΠ=0，可得出加肋板最終的控制方程為:

以上理論推導(dǎo)中的一些未知量與矩陣所表示的含義尚未給出，參照文獻(xiàn)［14］即可。式(19)得出的控制方程中，δp為節(jié)點(diǎn)的參數(shù)，并非節(jié)點(diǎn)的真實(shí)位移，其邊界條件不能直接施加，本文采用文獻(xiàn)［17］提出的完全轉(zhuǎn)換法來施加本質(zhì)邊界條件。

6 加肋板三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)

經(jīng)過以上的推導(dǎo)，我們得出了加肋板線性彎曲的控制方程，從中有了理論基礎(chǔ)，本小節(jié)將通過實(shí)驗(yàn)的方法加以論述和分析說明。實(shí)驗(yàn)材料選用工業(yè)生產(chǎn)的Q235 鋼，整塊鋼板經(jīng)線切割加工后形成了加肋板。板的尺寸均為115 mm×100 mm×3 mm，其中，板的兩端分別多出的10 mm 是為了實(shí)驗(yàn)中施加邊界條件，肋條尺寸均為95 mm×7 mm×3 mm，試樣彈性模量為E=200 GPa，泊松比μ=0.3。根據(jù)肋條數(shù)不同，試樣分為FP、SP1、SP2、SP3 以及SP4 這五種類型，其中FP 為平板，其余四種試樣形狀與幾何尺寸如圖4 ～圖7 所示。

圖4 SP1 實(shí)驗(yàn)試樣Fig.4 The experimental sample of SP1

圖5 SP2 實(shí)驗(yàn)試樣Fig.5 The experimental sample of SP2

圖6 SP3 實(shí)驗(yàn)試樣Fig.6 The experimental sample of SP3

圖7 SP4 實(shí)驗(yàn)試樣Fig.7 The experimental sample of SP4

實(shí)驗(yàn)在最大能加載10 kN 的島津試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，通過加載壓頭，將試驗(yàn)機(jī)上點(diǎn)的集中荷載轉(zhuǎn)換為實(shí)際的線均布荷載，在試件x=0 m 處加載。邊界條件分別為:①兩邊簡支，另兩邊自由;②兩邊固支，另兩邊自由。實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖8 所示。

整個實(shí)驗(yàn)設(shè)定為每隔0.05 s 進(jìn)行一次加載，并記錄每一時(shí)刻加載處荷載的大小以及撓度，在加載過程中，可以通過電腦屏幕看出加載的荷載—撓度的變化曲線。實(shí)驗(yàn)過程發(fā)現(xiàn)，在所有的試樣進(jìn)行加載中，當(dāng)電腦上顯示的荷載值達(dá)到2 kN 時(shí)，試樣均未能進(jìn)入塑性變形階段，屬于線性彎曲的范圍內(nèi)。因此，可從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中提取出荷載在0 ～2 kN 之間，每隔0.1 kN 對應(yīng)的撓度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。

表1 加肋板三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)1Tab.1 The experimental data of three point bending for stiffened plates

在表1 結(jié)果中，我們對比相同邊界條件、不同試樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖9 所示。

圖9 各試樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 The experimental result of all samples

結(jié)合表1 與圖9 可以看出，由于肋條的存在，從而加強(qiáng)了結(jié)構(gòu)整體的抗彎剛度，結(jié)構(gòu)自身的重量增加得卻很少，且肋條數(shù)越多，抗彎能力越強(qiáng)，這正好體現(xiàn)了加肋板的優(yōu)勢。對比SP3 與SP4 這兩種類型試樣，在作用相同荷載，例如簡支邊界條件下同樣是作用2 kN 時(shí)，SP3 試樣O 點(diǎn)的撓度為0.297 mm，SP4 試樣O 點(diǎn)的撓度為0.296 mm，兩者的撓度基本一樣，因?yàn)镾P4 試樣比SP3 試樣多出的肋條中，肋條是平行于y 方向的，該肋條的兩端沒有施加約束條件，其受力與約束情況與SP3 基本一樣，從而造成了這兩者實(shí)驗(yàn)結(jié)果極為相似。

7 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)對比

采用C++無網(wǎng)格程序與ANSYS 有限元軟件進(jìn)行以上實(shí)驗(yàn)的數(shù)值模擬，所有試樣的有限元模型采用SOLID45 實(shí)體單元，無網(wǎng)格模型采用15×15 均布節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散。各試樣類型的無網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布圖與實(shí)體三維有限元模型如圖10 ～14 所示。

圖10 FP 試樣無網(wǎng)格與有限元模型Fig.10 Meshless and finite element model of FP sample

圖11 SP1 試樣無網(wǎng)格與有限元模型Fig.11 Meshless and finite element model of SP1 sample

圖12 SP2 試樣無網(wǎng)格與有限元模型Fig.12 Meshless and finite element model of SP2 sample

圖13 SP3 試樣無網(wǎng)格與有限元模型Fig.13 Meshless and finite element model of SP3 sample

圖14 SP4 試樣無網(wǎng)格與有限元模型Fig.14 Meshless and finite element model of SP4 sample

無網(wǎng)格法采用正方形影響域，邊長為:l=dnode×c，其中dnode為節(jié)點(diǎn)間距，對于板，c=4;對于肋條，c=2。權(quán)函數(shù)為三次樣條權(quán)函數(shù)，基函數(shù)為二次基函數(shù)。在ANSYS 有限元實(shí)體建模中，F(xiàn)P、SP1、SP2、SP3、SP4 試樣的離散單元總數(shù)分別為5 000、5 500、5 900、6 300、6 786。經(jīng)數(shù)值模擬計(jì)算后得出的數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較，如圖15 ～19 所示。

圖15 不同邊界下FP 試樣數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.15 The results of numerical simulation and test for FP sample by different boundary

圖16 不同邊界下SP1 試樣數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.16 The results of numerical simulation and test for SP1 sample by different boundary

圖18 不同邊界下SP3 試樣數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.18 The results of numerical simulation and test for SP3 sample by different boundary

圖19 不同邊界下SP4 試樣數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.19 The results of numerical simulation and test for SP4 sample by different boundary

由圖15 和圖17 可看出，F(xiàn)P 試樣與SP2 試樣的數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常接近，誤差較小。如圖20 所示為對應(yīng)的荷載作用下，無網(wǎng)格解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差的絕對值。當(dāng)荷載作用0.4 kN 且邊界條件為固支時(shí)，相對于SP2 試樣，兩者的誤差為21.2%，此時(shí)為這兩種試樣在兩種邊界下，相對于不同荷載時(shí)產(chǎn)生的最大誤差。其余情況的誤差更小，甚至出現(xiàn)只有7%的誤差，且誤差均小于20%。對于平板試樣，由于無肋條，加工簡單，只需按尺寸做一次切割即可，而且對整塊板厚度的加工能很好的控制，厚度均勻。此外，對于兩根肋條的試樣，由于肋條分部在平行于自由端邊界的兩邊，制作時(shí)只需一次線切割就可完成，從而誤差也較小。

由圖16、圖18 和圖19 可以看出，對于SP1、SP3 以及SP4 試樣，數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差卻很大。如圖21 所示為對應(yīng)的荷載作用下，無網(wǎng)格解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差的絕對值。當(dāng)荷載作用0.7 kN 且邊界條件為簡支時(shí)，相對于SP1 試樣，兩者的誤差為30%，此時(shí)為這三種試樣在兩種邊界下，相對于不同荷載時(shí)產(chǎn)生的最小誤差。其余情況的誤差更大，最大會出現(xiàn)54.5%的誤差，對于該情況并不太樂觀。主要原因是在加工這三種類型的試樣時(shí)，需要二次或者更多次的裝載才可以完成，這樣會造成加工工序的增多，而工序的增多難免會對試樣帶來不同程度的影響。同時(shí)，關(guān)于整個實(shí)驗(yàn)所有類型試樣產(chǎn)生的誤差，還應(yīng)歸因?yàn)椋孩偌庸こ叽绮豢赡芡耆凑账枰某叽缒菢拥贸?；②?shí)驗(yàn)加載開始前無法確保整個加載壓頭與板恰好平齊，造成線荷載的不均勻分布;③實(shí)驗(yàn)的邊界條件難以做到像數(shù)值模擬那樣理想化，甚至?xí)钔Υ?，因?yàn)殡S著荷載的加大，邊界會發(fā)生少許的移動。實(shí)驗(yàn)與數(shù)值解的對比可看出，在同一試樣的情況下，固支邊界結(jié)果的誤差比簡支邊界結(jié)果的誤差稍大，原因就在于此，隨著荷載加大，試樣兩邊會被拉伸，造成邊界的不完全固定。而在數(shù)值解自身對比上，從圖15 至圖20 可見，無網(wǎng)格解與有限元解非常接近，誤差均小于5%。

圖20 不同邊界下FP 與SP2 試樣無網(wǎng)格與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差Fig.20 Error between mesh-less solution and test of FP and SP2 samples by different boundary

圖21 不同邊界下SP1、SP3、SP4 試樣無網(wǎng)格與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差Fig.21 Error between mesh－less solution and test of SP1、SP3 and SP4 samples by different boundary

8 討論與結(jié)論

目前對加肋板線性彎曲性能的研究絕大多數(shù)集中于數(shù)值模擬的分析，而有限元法在其中的應(yīng)用極為廣泛。作為現(xiàn)如今新興起的無網(wǎng)格法正受到眾多學(xué)者越來越多的關(guān)注，無網(wǎng)格法對加肋板的研究給我們帶來很大的參考價(jià)值［14，16］，這不僅說明了該結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)與實(shí)用性，也從中驗(yàn)證了無網(wǎng)格法的準(zhǔn)確性。然而許多學(xué)者在進(jìn)行數(shù)值分析當(dāng)中卻很少結(jié)合實(shí)驗(yàn)的方法做出進(jìn)一步的研究，因此本文將理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合起來對加肋板的線性彎曲行為進(jìn)行分析，其中發(fā)現(xiàn)肋條數(shù)、肋條分布位置的不同均能影響結(jié)構(gòu)的剛度，研究中所得出的結(jié)論具有實(shí)際意義。

①本文以移動最小二乘法與一階剪切變形理論推導(dǎo)出加肋板線性彎曲的控制方程，通過ANSYS有限元與無網(wǎng)格法做了數(shù)值模擬分析。從數(shù)值計(jì)算可知兩種數(shù)值解得出的結(jié)果非常相近，經(jīng)過進(jìn)一步的驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)了兩者在誤差的對比當(dāng)中均小于5%。無網(wǎng)格法完全擺脫了網(wǎng)格的束縛，只需要節(jié)點(diǎn)之間的信息就可以完成，而且計(jì)算速率快，有著較高的精度，這也正是無網(wǎng)格法的優(yōu)勢所在。

②通過不同肋條數(shù)的加肋板彎曲實(shí)驗(yàn)，表明肋條數(shù)的增多，加肋板的抗彎能力隨之加強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)簡支邊界下的平板與單肋板上作用2 kN 荷載時(shí)，平板中點(diǎn)撓度為0.791 mm，明顯大于單肋板中點(diǎn)的撓度0.496 mm，充分體現(xiàn)了肋條增強(qiáng)板剛度的作用。

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