模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法*

潘 茜，張育平，陳海燕

(南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016)

模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法*

潘 茜，張育平，陳海燕

(南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016)

針對(duì)模糊非確定現(xiàn)象的評(píng)價(jià)問題，提出了模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法。模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的方法都是從量的角度研究和處理模糊現(xiàn)象。但是，模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法注重應(yīng)用而缺乏系統(tǒng)理論的支持，其模糊合成算子在多因素情況下很難確定，且度量值域局限于[0,1]；中介真值理論的評(píng)價(jià)方法在處理因素較多且權(quán)重難以細(xì)分的情況時(shí)，也具有一定的局限性。因此，將模糊數(shù)學(xué)與中介真值相結(jié)合，將模糊數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)方法運(yùn)用到二級(jí)指標(biāo)的評(píng)定，將中介真值理論的評(píng)價(jià)方法運(yùn)用到一級(jí)指標(biāo)的綜合評(píng)定，由此確定最佳選擇方案。最后，將該方法運(yùn)用于軟件質(zhì)量評(píng)估，并分別與模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的評(píng)價(jià)方法相比較，結(jié)果表明該方法是可行的、合理的，并具有一定優(yōu)勢(shì)。

模糊數(shù)學(xué);中介真值理論;度量值域;指標(biāo)體系;質(zhì)量度量

1 引言

所謂評(píng)價(jià)，即價(jià)值的確定，是通過對(duì)照某些標(biāo)準(zhǔn)來判斷測(cè)量結(jié)果，并賦予一定價(jià)值。早期的評(píng)價(jià)方法有總分評(píng)定法、排隊(duì)計(jì)分法、綜合指數(shù)法等。這些方法簡(jiǎn)單，但原始數(shù)據(jù)遺失較大，評(píng)價(jià)結(jié)果也不夠全面,因此涌現(xiàn)出很多評(píng)價(jià)方法，例如：層次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)[1]、逼近理想解排序法[2]、模糊評(píng)價(jià)法[3]、多元統(tǒng)計(jì)分析法[4]、灰色關(guān)聯(lián)分析法[5]、遺傳算法[6]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7]等，以及這些方法的改進(jìn)算法。但實(shí)際生活中，很多客觀事物都呈現(xiàn)出“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象，模糊現(xiàn)象是普遍而客觀存在的，因此需要一種基于邏輯的、相對(duì)合理的、有效解決模糊現(xiàn)象的方法。

1965年美國(guó)自動(dòng)控制專家查德(Zadeh L A)教授提出了模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法，它是在模糊環(huán)境下，考慮多種因素的影響，為了某種目的對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象做出綜合決策的方法[8]。它根據(jù)隸屬度理論將定量與定性相結(jié)合，能較好地解決模糊的、難以量化的問題。模糊數(shù)學(xué)已在水質(zhì)勘測(cè)、環(huán)境度量、軟件度量等領(lǐng)域得到應(yīng)用[9～11]，但它完全是從應(yīng)用的角度出發(fā)，缺乏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論的支持，仍存在一些不足：(1)在因素較多，既要突出某個(gè)主要因素，又要兼顧其他因素時(shí)，模糊合成因子很難確定；(2)度量值域局限于[0,1]。

20世紀(jì)80年代，朱梧檟教授和肖奚安教授[12]提出了中介原則，中介真值理論由此誕生。中介真值理論的方法是以中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)[13]為背景，通過描述數(shù)值區(qū)域與其對(duì)應(yīng)謂詞的關(guān)系進(jìn)行數(shù)值度量的方法[14]。它的誕生，從理論上對(duì)模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法進(jìn)行了擴(kuò)充。它不僅提出了介于好與壞之間的“中介”狀態(tài)，而且提出了“更好”與“更壞”的超態(tài)概念。超態(tài)概念的引入，理論上使度量值域從模糊數(shù)學(xué)的[0,1]擴(kuò)展為(-∞,+∞)。這將促使人們更加方便地與計(jì)算機(jī)進(jìn)行對(duì)話，現(xiàn)已在很多領(lǐng)域得到運(yùn)用[15～17]。但是，在因素較多的情況下，如果將其分層，那么二級(jí)指標(biāo)采用中介真值理論的計(jì)算結(jié)果不僅偏小，甚至含有大量0、1和負(fù)值的情況，不利于一級(jí)指標(biāo)的評(píng)定，而層次越多結(jié)果也越不準(zhǔn)確。

因此，本文從理論與應(yīng)用的雙層角度出發(fā)，將模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的評(píng)價(jià)方法相結(jié)合，根據(jù)因素集中各指標(biāo)的關(guān)系進(jìn)行分層，利用模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法在單因素評(píng)價(jià)上的優(yōu)勢(shì)，將其運(yùn)用于二級(jí)指標(biāo)的評(píng)定，并將中介真值理論的評(píng)價(jià)方法運(yùn)用于最終的一級(jí)指標(biāo)評(píng)定。本文旨在為模糊非確定現(xiàn)象的處理提供一種基于邏輯的、能夠被計(jì)算機(jī)理解的評(píng)價(jià)方法，為今后更深層次的研究打下基礎(chǔ)。

2 模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法

利用模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法對(duì)指標(biāo)體系進(jìn)行評(píng)價(jià)，首先需要根據(jù)指標(biāo)集中各因素的關(guān)系進(jìn)行分類，用以解決因素過多、權(quán)重難以劃分的問題。再將模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)方法用于二級(jí)指標(biāo)的評(píng)定，中介真值理論的評(píng)價(jià)方法用于一級(jí)指標(biāo)的綜合評(píng)定。最終確定最佳選擇方案。

2.1 中介真值理論相關(guān)定義

中介真值理論的評(píng)價(jià)法最突出的一點(diǎn)，就是比模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法具有更系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論的支持，以下是中介真值理論的部分定義：

在中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，記P為一個(gè)謂詞，x為一變量，P(x)表示x完全具有性質(zhì)P。符號(hào)“╕”表示 “對(duì)立于”，則╕P表示P的反對(duì)對(duì)立面。符號(hào)“～”稱為模糊否定詞，解釋為“部分”。符號(hào)“+”表示“更”，因此+P表示比P更P。文獻(xiàn)[14]給出了如下定義：

定義1若給定非空對(duì)象集合x，稱映射F:X→Rn是對(duì)象集合X的數(shù)值化映射。

定義2對(duì)于x∈X,子集T?Rn和F?Rn分別滿足:f(x)∈T?P(x)及f(x)∈F?╕P(x),就稱T和F分別是謂詞P的“真數(shù)值區(qū)域”和“假數(shù)值區(qū)域”。

定義3f是非空對(duì)象集合X的一維數(shù)值化映射，即f:X→R。與謂詞P的真值對(duì)應(yīng)的數(shù)值區(qū)域是閉區(qū)間[α-ε,α+ε]，則稱α為P的ε標(biāo)準(zhǔn)度。數(shù)值區(qū)域與謂詞的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

Figure 1 Corresponding relationship between numerical area and predicate

從圖1中可以直觀地看出，度量域從 [0,1]擴(kuò)展為(-∞,+∞)。

定義4相對(duì)于P的距離比值函數(shù)hT:f(X)→R，當(dāng)取y=f(x)∈f(X)時(shí)，

(1)

hT(y)越大，y相對(duì)于P的真值程度越大，y相對(duì)于╕P的真值程度就越小。

定義5f:X→Rn是對(duì)象集合X的n維數(shù)值化映射。當(dāng)取yi=(f1(xi),f2(xi),…,fn(xi))=(yi1,yi2,…,yin)∈f(X)時(shí)，有：

對(duì)應(yīng)P的距離比例和函數(shù)：

hnT-S(yi)=∑(hT(yik))

(2)

對(duì)應(yīng)P的距離比例平均函數(shù)：

(3)

2.2 單因素模糊評(píng)價(jià)步驟

對(duì)單因素進(jìn)行評(píng)價(jià)，主要利用模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法，其步驟如下：

(1)對(duì)于任一對(duì)象，將其待評(píng)價(jià)的因素記為u1,u2,…,um，即評(píng)價(jià)集為U={u1,u2,…,um}，如軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)U={功能性，可靠性，易用性}；

(2)給出評(píng)價(jià)等級(jí)集合V={v1,v2,…,vn}，如V={優(yōu)，中等，差}；

(3)確定評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重W=(w1,w2,…,wm)，且∑wi=1；

(4)通過專家打分或問卷調(diào)查等形式確定m*n的評(píng)價(jià)矩陣R，即:

(5)通過評(píng)價(jià)矩陣R和權(quán)重系數(shù)矩陣W得到模糊評(píng)判集S，即:

而°即為模糊合成算子。

模糊合成算子有四種形式：

①M(fèi)(∧,∨)算子：

Sk=∨(wj∧rjk)=max{min(wj,rjk)}

(4)

②M(·,∨)算子：

Sk=∨(wj·rjk)=max{wj,rjk}

(5)

③M(∧,⊕)算子：

Sk=min{1,∑ min(wj,rjk)}

(6)

④M(·,⊕)算子：

Sk=min{1,∑wj,rjk}

(7)

其中,M(∧,∨)算子和M(·,∨)算子比較能突出評(píng)價(jià)中起主要作用的因素，在確定W時(shí)其分量之和不一定為1；M(∧,⊕)算子和M(·,⊕)算子能夠兼顧各因素的作用，W分量之和一定為1。

2.3 多因素的評(píng)定步驟

根據(jù)因素集中各指標(biāo)的關(guān)系進(jìn)行分類，每類有k個(gè)指標(biāo)，則第二級(jí)評(píng)價(jià)因素集為Ui={ui1,ui2,…,uik}，相應(yīng)權(quán)重矩陣為wi=(wi1,wi2,…,wik)，相應(yīng)單因素評(píng)判矩陣為:

(1)根據(jù)2.2節(jié)的單因素評(píng)定步驟得到模糊評(píng)判矩陣A，即：

(8)

(2)采用中介真值理論的評(píng)價(jià)方法，記謂詞P(x)表示對(duì)應(yīng)程度，即對(duì)象質(zhì)量為優(yōu)，則╕P(x)表示對(duì)象質(zhì)量差，～P(x)表示對(duì)象質(zhì)量中等，+P(x)表示對(duì)象質(zhì)量特優(yōu)，╕+P(x)表示對(duì)象質(zhì)量特差；

(3)建立P與╕P之間的標(biāo)準(zhǔn)度αF和αT，其中αF為每列最小值，αT為每列最大值，εF=εT為每列的最小距離值，并計(jì)算出αF-εF,αF+εF,αT-εT,αT+εT；

(4)根據(jù)定義4中的公式，計(jì)算出距離比例函數(shù)h(aij)，得到另一個(gè)m*n階矩陣B，即：

(5)根據(jù)定義5中的公式，分別計(jì)算出距離比例和函數(shù)和距離比例平均函數(shù)hnT-S(yi)和hnT-M(yi)，并比較大小，確定最佳選擇方案。

3 實(shí)驗(yàn)證明及分析

將模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法用于軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)中，并分別與模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的評(píng)價(jià)方法相比較，以證明該方法的可行性和有效性。本文所用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)皆來自文獻(xiàn)[18]。

本文以文獻(xiàn)[18]中的遞階層次分析結(jié)構(gòu)模型為例，包含6個(gè)一級(jí)指標(biāo)和24個(gè)二級(jí)指標(biāo)，如圖2所示。

Figure 2 Hierarchic analysis structure model of the software quality metric

采用文獻(xiàn)[12]中給出的權(quán)重值，其主要采用了專家排序法，所得過程我們不做過多贅述，引用目的在于驗(yàn)證本文所提方法的可行性。

一級(jí)指標(biāo)權(quán)重為：

W=(w1,w2,w3,w4,w5,w6)=(0.27，0.22，0.15，0.13，0.17，0.06)

二級(jí)指標(biāo)權(quán)重為：

w1=(0.27,0.35,0.16,0.22)；w2=(0.40,0.27,0.19,0.14)；w3=(0.28,0.31,0.23,0.18)；w4=(0.31,0.33,0.12,0.24)；w5=(0.22,0.26,0.43,0.09)；w6=(0.29,0.45,0.07,0.19)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：引用文獻(xiàn)[12]中實(shí)例分析中的數(shù)據(jù)可知，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種軟件質(zhì)量的解決方案，需對(duì)這四種方案進(jìn)行綜合度量，并為企業(yè)推薦一種最優(yōu)的解決方案。該企業(yè)聘請(qǐng)了領(lǐng)域?qū)＜覍?duì)各項(xiàng)二級(jí)指標(biāo)進(jìn)行打分，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行規(guī)范化處理，所得結(jié)果如表1所示。

(1)采用2.2節(jié)中單因素模糊評(píng)價(jià)步驟分別對(duì)二級(jí)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)定：由于需要兼顧每個(gè)因素的作用，所以選擇M(·，⊕)算子，根據(jù)式(7)和式(8)計(jì)算得一級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果，如表2所示。

(2)利用2.3節(jié)中中介真值理論的評(píng)價(jià)方法對(duì)表2中的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)定義5中式(1)～式(3)，分別計(jì)算得到距離比例函數(shù)h(aij)、距離比例和函數(shù)hnT-S(yi)、距離比例平均函數(shù)hnT-M(yi)，如表3所示。從距離比例和函數(shù)和距離比例平均函數(shù)值可以看出，就優(yōu)越性而言，丙方案優(yōu)于其他三種方案，乙方案為備選方案。

(3)用模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的評(píng)價(jià)方法分別對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，并比較結(jié)果。

①采用模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法，對(duì)二級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果不變，但是模糊合成算子的選擇會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很大影響，分別采用四個(gè)算子，根據(jù)式(4)～式(7)對(duì)一

Table 1 Software quality evaluation results of the second level index表1 軟件質(zhì)量二級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果

Table 2 Software quality evaluation results of the first level index表2 軟件質(zhì)量一級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果

Table 3 Distance ratio function value,sum distance ratio function value and average distance ratio function value表3 距離比例函數(shù)值、距離比例和函數(shù)值和距離比例平均函數(shù)值

級(jí)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，所得結(jié)果如表4所示。

Table 4 Evaluation results of the four fuzzy synthesis operators表4 四個(gè)模糊合成算子評(píng)價(jià)結(jié)果

由表4可以看出，M(∧,∨)和M(∧,⊕)所得結(jié)果根本無法起到評(píng)價(jià)作用，那是因?yàn)闄?quán)重值的大小和各指標(biāo)的分值大小之間存在很大差距；M(·,∨)和M(·,⊕)中，如果只根據(jù)最大隸屬度原則進(jìn)行選擇，只考慮了隸屬度最大的點(diǎn)，其他點(diǎn)都沒有考慮，信息損失大。由此可見，模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法在模糊合成算子和評(píng)價(jià)原則選擇上都存在一定問題，一旦選擇不當(dāng)，就會(huì)對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果產(chǎn)生重大影響。

②采用中介真值理論的評(píng)價(jià)方法，對(duì)二級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)過程過于繁瑣，所得結(jié)果也非常小，含有很多0、1值，甚至在一些情況下會(huì)含有負(fù)值，如功能性U1的二級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果：

Bi中含有大量的0和1，對(duì)其進(jìn)行一級(jí)指標(biāo)評(píng)定所得結(jié)果具有很大爭(zhēng)議性，尤其是結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)值的時(shí)候，評(píng)價(jià)結(jié)果無法使人信服。一旦我們采用三級(jí)、四級(jí)的分層方式時(shí)，這樣的現(xiàn)象將更為明顯，例如我們將上式B1采用中介真值理論的評(píng)價(jià)方法進(jìn)行若干次計(jì)算，結(jié)果如下：

B12=…=B1n

從以上結(jié)果可以看出，以后的計(jì)算結(jié)果與第一次所得結(jié)果完全相同，失去了分層的意義。

從以上三者的比較中可以看出，模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法是最為合理有效的，既排除了模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)方法中模糊合成算子的影響，又使得在使用中介真值理論的評(píng)價(jià)方法時(shí)，不受0、1及負(fù)數(shù)的制約，所以最終評(píng)定丙方案為最佳方案，乙方案為備選方案。

4 結(jié)束語

本文通過對(duì)以往各種評(píng)價(jià)方法的學(xué)習(xí)和比較，從理論和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)出了一種新的、基于邏輯的評(píng)價(jià)方法。該方法將模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法與中介真值理論的評(píng)價(jià)方法相結(jié)合，利用模糊數(shù)學(xué)在處理單因素問題上的優(yōu)勢(shì)，將其用于二級(jí)指標(biāo)的評(píng)定；利用中介真值理論評(píng)價(jià)法在度量域上的優(yōu)勢(shì)，以及其強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)理論支持，將其運(yùn)用于一級(jí)指標(biāo)的綜合評(píng)定。最后將該方法用于軟件質(zhì)量評(píng)價(jià)中，以綜合考慮多方因素為實(shí)質(zhì)，分別與模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)法和中介真值理論的評(píng)價(jià)方法相比較，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算過程簡(jiǎn)單，便于計(jì)算機(jī)理解，更利于實(shí)際項(xiàng)目中指標(biāo)的評(píng)價(jià)。

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潘茜(1990-),女,江蘇南京人，碩士生，研究方向?yàn)檐浖こ獭-mail:420617478@qq.com

PAN Qian,born in 1990,MS candidate,her research interest includes software engineering.

A new valuation method based on fuzzy mathematics and medium truth theory

PAN Qian,ZHANG Yu-ping,CHEN Hai-yan

(School of Computer Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

Aiming at the evaluation of fuzzy and non-deterministic phenomenon, we propose an evaluation method based on fuzzy mathematics and the medium truth theory. Both the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method study and deal with the fuzzy phenomenon from the angle of quantity. But fuzzy synthetic operator of the fuzzy mathematics method is difficult to determine when there are multiple factors, and the measurement range limit in [0,1]. The medium truth theory method also has some limitations in dealing with the situation of multiple factors when evaluate the secondary indicators. Therefore, we combine the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method: using the former to evaluate the secondary indicators, and the latter for the first indicators, thus the best option is obtained. Finally, we apply the proposed method to software quality evaluation and compare its results with those of the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method, Test results show that our method is feasible and reasonable, and has certain advantages.

fuzzy mathematics;medium truth theory;measurement range;indicator system;quality measures

1007-130X(2015)09-1676-06

2014-09-16;

2015-01-16基金項(xiàng)目：國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014CB744900);南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地開放基金資助項(xiàng)目(kfjj201460)

TP311.5

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.09.013

通信地址：210016 江蘇省南京市秦淮區(qū)御道街29號(hào)南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

Address:School of Computer Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics & Astronautics,29 Yudao St,Qinhuai District,Nanjing 210016,Jiangsu,P.R.China