對(duì)薄膜干涉實(shí)驗(yàn)中若干疑難問(wèn)題的分析

孫國(guó)標(biāo)　楊麗芬

摘 要：文章引入了半波損失、反射系數(shù)、透射系數(shù)、光強(qiáng)、反襯度等概念，從理論上對(duì)薄膜干涉實(shí)驗(yàn)中的若干疑難問(wèn)題作了分析說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：薄膜干涉；半波損失；反射系數(shù)；透射系數(shù)；光強(qiáng)；反襯度

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）10（S）-0056-3

薄膜干涉現(xiàn)象是光具有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，在人類(lèi)對(duì)光的本性認(rèn)識(shí)中占有很重要的地位，但限于中學(xué)階段的物理知識(shí)水平，教材中沒(méi)有詳細(xì)闡述其機(jī)理，只是從實(shí)驗(yàn)出發(fā)對(duì)其作定性的分析。筆者在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)此實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提出了不少疑問(wèn)，盡管可能有些知識(shí)已超出中學(xué)范疇，但作為教師，有必要向?qū)W生澄清疑問(wèn)，這樣并沒(méi)有增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，因?yàn)檫\(yùn)用科學(xué)知識(shí)疏通了學(xué)生心中的疑惑。

1 薄膜干涉的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)一：用鐵環(huán)蘸上肥皂液，形成肥皂薄膜。用自然光照射，從反射光的方向去看，呈現(xiàn)出如圖1所示的干涉圖樣，最上部是黑色條紋（隨時(shí)間的推移黑色面積增加，直至膜破裂），其下是彩色條紋，而且從上往下條紋間距逐漸變窄（圖2也是如此）。

圖1 薄膜干涉實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)二：改用酒精燈照射（燈芯上撒一些食鹽，酒精燈發(fā)出黃光），從反射光的方向去看，呈現(xiàn)出如圖2所示的清晰的干涉圖樣（黃黑相間的條紋）。若從透射光的方向去看，則呈現(xiàn)如圖3所示的較暗的干涉圖樣（黃黑相間的條紋），但相對(duì)反射光的干涉條紋要模糊一些。

圖2 實(shí)驗(yàn)圖示1 圖3 實(shí)驗(yàn)圖示2

2 中學(xué)階段對(duì)薄膜干涉的理解

2.1 薄膜干涉的成因

由于重力作用，肥皂液逐漸向下流動(dòng)，形成上薄下厚的形狀，如圖4所示。光射到薄膜表面時(shí)（考慮垂直入射的情形），經(jīng)前后兩表面反射后疊加而成。

圖4 實(shí)驗(yàn)原理圖

2.2 亮紋與暗紋的位置

當(dāng)某一單色光（在真空中的波長(zhǎng)為λ）入射到薄膜厚度為d的位置，兩反射光的光程差為2nd，其中n為薄膜對(duì)這一單色光的折射率，若2nd=kλ，k=0，1，2……，此處為亮條紋； （1）

若2nd=（2k+1）λ/2，k=0，1，2…… ，此處為暗條紋（2）

2.3 條紋間距

若設(shè)A處為k級(jí)亮條紋，則dk= ，

B處為k+1級(jí)亮條，則

dk+1= ，

且設(shè)劈尖的頂角為2θ，則條紋間距為

Δx= = （3）

3 對(duì)薄膜干涉實(shí)驗(yàn)中若干疑難問(wèn)題的分析

疑問(wèn)1：由于重力作用，肥皂膜的頂端的厚度很小（當(dāng)d→0時(shí)），前后表面反射光的光程差可忽略不計(jì)，那根據(jù)（1）式，此處應(yīng)為亮條紋，但事實(shí)上觀察到的是暗條紋，而且隨時(shí)間的推移，暗條紋的面積不斷增大，這是為什么？薄膜下方為干涉條紋，從上往下條紋間距逐漸變窄，這又是為什么？

筆者的分析：當(dāng)光在界面上反射時(shí)，若從光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)時(shí)，反射光的相位會(huì)發(fā)生突變，即發(fā)生“半波損失”，因此會(huì)造成一附加光程差λ/2，結(jié)合本實(shí)驗(yàn)，前表面反射時(shí)會(huì)出現(xiàn)半波損失，而后表面反射時(shí)沒(méi)有半波損失，因此厚度為d處的兩反射光的光程差為2nd+ ，則（1）式應(yīng)修正為：2nd+ =kλ，k=0，1，2，……。如果當(dāng)厚度小于所有可見(jiàn)光在薄膜的波長(zhǎng)的1/4時(shí)，即d< （λ'為可見(jiàn)光在薄膜中的最長(zhǎng)波長(zhǎng)），則d< （λ為可見(jiàn)光在空氣中的最長(zhǎng)波長(zhǎng)），于是從膜的前后表面反射回來(lái)的光的光程差總小于一個(gè)波長(zhǎng)，疊加的結(jié)果都不會(huì)達(dá)到加強(qiáng)，回來(lái)的光的能量與透射光的能量相比都很小，所以看起來(lái)是黑色。隨著時(shí)間的推移，薄膜上部的厚度都將逐漸變薄直至破裂，因此黑色部分將越來(lái)越大。

至于為什么彩色條紋從上往下間距逐漸變窄，原因是薄膜并非圖4所示的平面，而是如圖5所示的曲面，膜的厚度的變化呈非線性，也可以理解成θ越來(lái)越大，因此根據(jù)（3）式可知，條紋間距越來(lái)越小，故干涉條紋變得越來(lái)越窄。

疑問(wèn)2：當(dāng)光從空氣入射到肥皂薄膜上時(shí)，它將在薄膜前后兩表面處發(fā)生多次反射和折射，從而形成多束反射光和折射光，如圖7所示，從實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)反射光和透射光均可發(fā)生干涉現(xiàn)象，但究竟是哪兩束反射光（或折射光）疊加形成干涉條紋？

筆者的分析：理論上講所有反射光（或折射光）都可以發(fā)生疊加，但是由于多次反射、折射后能量相差懸殊，因此一般我們只考慮前兩束反射光（或折射光）的疊加，下面我們不妨通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

設(shè)r和t表示由空氣射向薄膜時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù)，r'和t'表示由薄膜射向空氣時(shí)的反射系數(shù)和透射系數(shù)。

圖6 薄膜多次反射示意圖

當(dāng)研究正入射的情況下，即θ≈0°，且不考慮介質(zhì)吸收，則有

r=r'= ，t= ，t'= （4）

若設(shè)入射光的振幅為A0，則各反射光的振幅依次為

A1=rA0，A2=tr't'A0，A3=t（r'）3t'A0……（5）

各透射光的振幅依次為

A'1=tt'A0，A'2=t（r'）2t'A0，A'3=t（r'）4t'A0……（6）

考慮到光的強(qiáng)度與振幅的平方成正比，

即I=A2，

則入射光的光強(qiáng)為I =A ，各反射光的光強(qiáng)依次為

I反1=r2I0，I反2=t2r'2t'2I0，I反3=t2r'6t'2I0 （7）

各透射光的光強(qiáng)依次為

I透1'=t2t'2I0，I透2'=t2（r'）4t'2I0，I透3'=t2（r'）8t'2I0 （8）

若記入射光的光強(qiáng)為I0=1，且肥皂薄膜的折射率取n膜=1.33，空氣的折射率取n空=1，根據(jù)（4）-（8）式，則各反射光和折射光的相對(duì)光強(qiáng)見(jiàn)表1：

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉時(shí)，可以只考慮前兩束反射光，其余光束對(duì)干涉圖樣的貢獻(xiàn)很小，可以忽略不計(jì)；而研究透射光的干涉時(shí)，也可以只考慮前兩束透射光，其它光束對(duì)干涉圖樣的影響亦可以忽略不計(jì)。

疑問(wèn)3：反射光的干涉條紋與透射光的干涉條紋之間又有怎樣的聯(lián)系？

筆者的分析：如圖7所示，肥皂薄膜處于空氣中（空氣的折射率約等于1），薄膜對(duì)光的折射率為n膜，當(dāng)入射光以θ角入射，折射角為r，則反射光1和2的光程差為

圖7 薄膜反射示意圖

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 為反射時(shí)由于半波損失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差為

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

當(dāng)研究正入射的情況，即θ≈0°，則r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮條紋 （2k+1）暗條紋，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮條紋 （2k'+1）暗條紋，k'=0，1，2，3…（12）

可見(jiàn)反射光和透射光均能產(chǎn)生穩(wěn)定的干涉圖樣，而且值得注意的是d1和d2相差 ，這就意味著當(dāng)反射光1，2疊加后產(chǎn)生亮條紋時(shí)，透射光1'，2'疊加后產(chǎn)生的是暗條紋，反之亦然。也就是說(shuō)，反射光的干涉圖樣和透射光的干涉圖樣是互補(bǔ)的，這也符合能量守恒的規(guī)律。

疑問(wèn)4：那為什么反射光的干涉圖樣非常清晰，便于觀察，而透射光的干涉圖樣會(huì)很模糊，不易觀察呢？

筆者的分析：要回答這個(gè)問(wèn)題，需要引入一個(gè)概念——反襯度V，V= （13），其中Imax為亮條紋的光強(qiáng)，而Imin為暗條紋的光強(qiáng)，反襯度越大，干涉條紋越清晰，當(dāng)V=1干涉條紋最清晰，而V=0干涉條紋最模糊，而一般情形下在0到1之間。

設(shè)兩束光的光強(qiáng)分別為I1和I2，其合成后的光強(qiáng)為

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ為合成后兩列波的相位差。

對(duì)于亮條紋的光強(qiáng)為

Imax=（ + ）2

暗條紋的光強(qiáng)為

Imin=（ - ）2

則反襯度V可表示為

V= （15）

根據(jù)表1計(jì)算得到反射光和透射光產(chǎn)生的干涉條紋的反襯度分別為

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉條紋的反襯度接近于1，表明反射光的干涉圖樣比較清晰，而透射光的干涉條紋的反襯度比較小，表明透射光的干涉圖樣相對(duì)比較模糊，在光線較暗的環(huán)境下才可以看得比較清楚。

參考文獻(xiàn)：

[1]程守洙，江之永.普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]趙凱華，鐘錫華.光學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，1982.

[3]馮遵棟，高強(qiáng).薄膜干涉實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[J].物理教學(xué)探討，2003，（11）：44.

（欄目編輯 王柏廬）

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉時(shí)，可以只考慮前兩束反射光，其余光束對(duì)干涉圖樣的貢獻(xiàn)很小，可以忽略不計(jì)；而研究透射光的干涉時(shí)，也可以只考慮前兩束透射光，其它光束對(duì)干涉圖樣的影響亦可以忽略不計(jì)。

疑問(wèn)3：反射光的干涉條紋與透射光的干涉條紋之間又有怎樣的聯(lián)系？

筆者的分析：如圖7所示，肥皂薄膜處于空氣中（空氣的折射率約等于1），薄膜對(duì)光的折射率為n膜，當(dāng)入射光以θ角入射，折射角為r，則反射光1和2的光程差為

圖7 薄膜反射示意圖

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 為反射時(shí)由于半波損失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差為

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

當(dāng)研究正入射的情況，即θ≈0°，則r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮條紋 （2k+1）暗條紋，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮條紋 （2k'+1）暗條紋，k'=0，1，2，3…（12）

可見(jiàn)反射光和透射光均能產(chǎn)生穩(wěn)定的干涉圖樣，而且值得注意的是d1和d2相差 ，這就意味著當(dāng)反射光1，2疊加后產(chǎn)生亮條紋時(shí)，透射光1'，2'疊加后產(chǎn)生的是暗條紋，反之亦然。也就是說(shuō)，反射光的干涉圖樣和透射光的干涉圖樣是互補(bǔ)的，這也符合能量守恒的規(guī)律。

疑問(wèn)4：那為什么反射光的干涉圖樣非常清晰，便于觀察，而透射光的干涉圖樣會(huì)很模糊，不易觀察呢？

筆者的分析：要回答這個(gè)問(wèn)題，需要引入一個(gè)概念——反襯度V，V= （13），其中Imax為亮條紋的光強(qiáng)，而Imin為暗條紋的光強(qiáng)，反襯度越大，干涉條紋越清晰，當(dāng)V=1干涉條紋最清晰，而V=0干涉條紋最模糊，而一般情形下在0到1之間。

設(shè)兩束光的光強(qiáng)分別為I1和I2，其合成后的光強(qiáng)為

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ為合成后兩列波的相位差。

對(duì)于亮條紋的光強(qiáng)為

Imax=（ + ）2

暗條紋的光強(qiáng)為

Imin=（ - ）2

則反襯度V可表示為

V= （15）

根據(jù)表1計(jì)算得到反射光和透射光產(chǎn)生的干涉條紋的反襯度分別為

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉條紋的反襯度接近于1，表明反射光的干涉圖樣比較清晰，而透射光的干涉條紋的反襯度比較小，表明透射光的干涉圖樣相對(duì)比較模糊，在光線較暗的環(huán)境下才可以看得比較清楚。

參考文獻(xiàn)：

[1]程守洙，江之永.普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]趙凱華，鐘錫華.光學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，1982.

[3]馮遵棟，高強(qiáng).薄膜干涉實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[J].物理教學(xué)探討，2003，（11）：44.

（欄目編輯 王柏廬）

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉時(shí)，可以只考慮前兩束反射光，其余光束對(duì)干涉圖樣的貢獻(xiàn)很小，可以忽略不計(jì)；而研究透射光的干涉時(shí)，也可以只考慮前兩束透射光，其它光束對(duì)干涉圖樣的影響亦可以忽略不計(jì)。

疑問(wèn)3：反射光的干涉條紋與透射光的干涉條紋之間又有怎樣的聯(lián)系？

筆者的分析：如圖7所示，肥皂薄膜處于空氣中（空氣的折射率約等于1），薄膜對(duì)光的折射率為n膜，當(dāng)入射光以θ角入射，折射角為r，則反射光1和2的光程差為

圖7 薄膜反射示意圖

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 為反射時(shí)由于半波損失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差為

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

當(dāng)研究正入射的情況，即θ≈0°，則r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮條紋 （2k+1）暗條紋，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮條紋 （2k'+1）暗條紋，k'=0，1，2，3…（12）

可見(jiàn)反射光和透射光均能產(chǎn)生穩(wěn)定的干涉圖樣，而且值得注意的是d1和d2相差 ，這就意味著當(dāng)反射光1，2疊加后產(chǎn)生亮條紋時(shí)，透射光1'，2'疊加后產(chǎn)生的是暗條紋，反之亦然。也就是說(shuō)，反射光的干涉圖樣和透射光的干涉圖樣是互補(bǔ)的，這也符合能量守恒的規(guī)律。

疑問(wèn)4：那為什么反射光的干涉圖樣非常清晰，便于觀察，而透射光的干涉圖樣會(huì)很模糊，不易觀察呢？

筆者的分析：要回答這個(gè)問(wèn)題，需要引入一個(gè)概念——反襯度V，V= （13），其中Imax為亮條紋的光強(qiáng)，而Imin為暗條紋的光強(qiáng)，反襯度越大，干涉條紋越清晰，當(dāng)V=1干涉條紋最清晰，而V=0干涉條紋最模糊，而一般情形下在0到1之間。

設(shè)兩束光的光強(qiáng)分別為I1和I2，其合成后的光強(qiáng)為

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ為合成后兩列波的相位差。

對(duì)于亮條紋的光強(qiáng)為

Imax=（ + ）2

暗條紋的光強(qiáng)為

Imin=（ - ）2

則反襯度V可表示為

V= （15）

根據(jù)表1計(jì)算得到反射光和透射光產(chǎn)生的干涉條紋的反襯度分別為

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉條紋的反襯度接近于1，表明反射光的干涉圖樣比較清晰，而透射光的干涉條紋的反襯度比較小，表明透射光的干涉圖樣相對(duì)比較模糊，在光線較暗的環(huán)境下才可以看得比較清楚。

參考文獻(xiàn)：

[1]程守洙，江之永.普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]趙凱華，鐘錫華.光學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，1982.

[3]馮遵棟，高強(qiáng).薄膜干涉實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[J].物理教學(xué)探討，2003，（11）：44.

（欄目編輯 王柏廬）