高速列車齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)振動穩(wěn)定性

黃冠華， 張衛(wèi)華， 付永佩， 梁樹林， 王興宇

高速列車齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)振動穩(wěn)定性

黃冠華1， 張衛(wèi)華1， 付永佩1， 梁樹林2， 王興宇2

（1.西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；2.中國北車集團長春軌道客車股份有限公司，吉林長春130024）

為了準(zhǔn)確表達(dá)參數(shù)激勵下高速列車齒輪系統(tǒng)振動的穩(wěn)定性，利用有限元方法得到高速列車齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度，并用傅里葉級數(shù)展開進(jìn)行擬合.考慮齒輪嚙合誤差，建立了高速列車齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型.結(jié)合多尺度近似解析方法，推導(dǎo)了參激振動下高速列車齒輪系統(tǒng)的近似解析解，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界曲線，并分析了影響齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)因素.研究結(jié)果表明：齒輪系統(tǒng)的不穩(wěn)定性區(qū)域隨著列車運行的速度降低總體呈減小趨勢，但是在發(fā)生參數(shù)共振速度處存在明顯不穩(wěn)定區(qū)域；增大阻尼有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)阻尼系數(shù)從0.01增加到0.05時，處于穩(wěn)定區(qū)域的剛度波動幅值從5%增加至20%；增加齒輪的重合度可以減小嚙合剛度的諧波特性，從而增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

穩(wěn)定性；參數(shù)振動；齒輪傳動系統(tǒng)；多尺度法；高速列車

高速列車傳動系統(tǒng)一般為齒輪傳動系統(tǒng)，從動輪直接壓裝在車軸上，主動輪采用聯(lián)軸節(jié)與牽引電機相連，通過齒輪箱懸吊在構(gòu)架橫梁上［1］.因此，齒輪系統(tǒng)的振動特性將直接影響著高速列車驅(qū)動傳動系統(tǒng)的運行性能.在齒輪傳動中，由于參與嚙合的輪齒對數(shù)的周期變化，使得齒輪輪齒的綜合嚙合剛度也是周期變化的，所以在動力學(xué)模型中體現(xiàn)為周期性時變的彈性剛度.考慮這種因素后，齒輪動力學(xué)問題在力學(xué)上是參數(shù)振動問題，其分析的模型是參數(shù)振動方程［2］.

齒輪系統(tǒng)是一種參數(shù)振動系統(tǒng)，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性以及影響穩(wěn)定性的因素是首要問題，眾多齒輪方面的學(xué)者在這方面做了大量工作.文獻(xiàn)［3-5］中利用數(shù)值方法分析了單自由度齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，模型將齒輪嚙合剛度假設(shè)為矩形波和正弦波，揭示了齒輪系統(tǒng)的諧波共振、概周期響應(yīng)和混沌響應(yīng).文獻(xiàn)［6-7］中利用直接積分算法對多自由度齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并探討了通向混沌的雙周期分岔途徑.文獻(xiàn)［8-10］中運用Floquet理論對穩(wěn)定性尤其是參數(shù)穩(wěn)定性方面也有較多的研究［8-10］.

上述研究主要集中在一般機械領(lǐng)域，針對鐵路車輛，尤其是高速列車傳動系統(tǒng)的研究較少.

高速列車齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)較為復(fù)雜，在特定頻率激勵往往出現(xiàn)超諧共振、亞諧共振等多種參數(shù)共振形式，對齒輪傳動系統(tǒng)的服役將產(chǎn)生不利影響，嚴(yán)重的會導(dǎo)致系統(tǒng)的共振失效.為了準(zhǔn)確表達(dá)參數(shù)激勵下的高速列車齒輪系統(tǒng)振動穩(wěn)定性，本文針對某型高速動車組齒輪傳動系統(tǒng)，采用多尺度解析方法對齒輪系統(tǒng)方程作近似展開，得到系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)的近似解析解，給出動力穩(wěn)定性圖譜，并從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度提出了高速列車齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)選取建議.

1 齒輪嚙合動力學(xué)模型

1.1 動力學(xué)方程

當(dāng)忽略傳動軸和支撐系統(tǒng)的彈性變形時，可將高速列車齒輪傳動系統(tǒng)簡化處理為齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，如圖1所示，圖中：

θp、θg為主、被動齒輪的扭轉(zhuǎn)振動角位移；

Ip、Ig為主、被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；

Rp、Rg為主、被動齒輪的基圓半徑；

i為傳動比；

e（t）為輪齒嚙合傳遞誤差；

km為嚙合綜合剛度；

cm為嚙合阻尼；

Tp、Tg為作用在主、被動齒輪上的外載荷力矩.

動力學(xué)方程可表示為［11］

圖1 齒輪動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of a gear pair

為了消除系統(tǒng)剛性位移，定義系統(tǒng)動態(tài)傳遞誤差和靜態(tài)傳遞誤差的差值為

將式（1）、（2）相減，得到單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中：

me為當(dāng)量質(zhì)量，

1.2 齒輪嚙合剛度和傳遞誤差

齒輪嚙合剛度的獲取方法有很多種，通常先計算出嚙合剛度的峰值和平均值，然后按嚙合頻率將嚙合剛度簡化成矩形波周期函數(shù)，略去高階項后再將其展開成傅里葉級數(shù)［12］，即

式中：

Ks為平均剛度；

Kj為剛度波動幅值；

j為剛度有限諧波項數(shù)；

φj為相位角；

ωe為齒輪副的嚙合圓周頻率，

ωe＝2πZ1n1／60＝2πZ2n2／60，

其中，

Z1、Z2分別為主、被動輪的齒數(shù)，

n1、n2分別為主、被動輪的轉(zhuǎn)速.

上述方法簡單易用，但是對于輪齒剛度的時變表達(dá)不夠精確.事實上，輪齒綜合嚙合剛度定義為使一對或幾對同時嚙合的輪齒在1 mm齒寬上產(chǎn)生1 μm撓度所需的載荷［13］.根據(jù)這一定義，建立高速列車輪齒三維實體接觸有限元模型，本文建立的齒輪傳動的輪齒接觸有限元模型如圖2所示.

圖2 輪齒接觸的三維有限元模型Fig.2 3D finite element model of gear pair contact

在可能接觸區(qū)域部分進(jìn)行網(wǎng)格加密，得到的模型共有68 460個單元，86 750個節(jié)點.將主動輪和被動輪的齒面定義為接觸對，在齒輪軸線上建立參考點，并在參考點和大小齒輪內(nèi)圈和剖面間建立耦合約束，將轉(zhuǎn)矩載荷、約束施加在主動輪和被動輪的參考點上.計算隨時間變化的嚙合輪齒之間彈性變形和受力，得到齒輪嚙合剛度，并采用傅里葉級數(shù)對時變剛度進(jìn)行擬合.

圖3為小齒輪在4 200 r／min轉(zhuǎn)速下，采用有限元方法和傅里葉級數(shù)擬合的齒輪時變嚙合剛度曲線.

輪齒嚙合誤差通常采用齒輪嚙合頻率的傅里葉級數(shù)表示［12］，即

式中：

e0、ej分別為齒輪誤差的常數(shù)和幅值；

θj為相位角.

1.3 運動方程的無量綱化

將式（4）、（5）代入式（3），令x＝bu（b為特征尺寸），對其進(jìn)行無量綱化，可得

式中：K1＝Kj／Ks；

圖3 時變嚙合剛度曲線Fig.3 Time-varying curve of mesh stiffness

2 穩(wěn)定性分析

引入小參數(shù)ε，則有：

ξ＝εμ； kj＝εK1.

式（6）的齊次形式可表示為¨u＋2εμ˙u＋

使用多尺度法［14］，討論式（7）的一次近似解.設(shè)零次近似方程的解為

式中：

T0、T1、Ti為多尺度法的時間變量；

A為待定的復(fù)函數(shù).

一次近似方程表示為

式中：

cc為前面各項的共軛復(fù)數(shù).

將式（10）代入到式（9）中，消除久期項，得

設(shè)

分離實部和虛部，得

式中：

其中，

b1、b2為常數(shù)，

λ為特征值.

特征方程為

由式（13）可知，當(dāng)λ具有正實部時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，由此可得系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界的臨界曲線方程為

3 實例分析

根據(jù)上述結(jié)果，對某型高速列車齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.齒輪副的相關(guān)參數(shù)如表1所示.

表1 齒輪副參數(shù)Tab.1 Parameters of gear couples

圖4（a）為不考慮嚙合阻尼，展開項數(shù)j取1～6項時，系統(tǒng)在kj-ˉω平面上的穩(wěn)定性圖譜，V形區(qū)域內(nèi)為不穩(wěn)定區(qū)域（以下同）.

從圖4（a）可以看出，隨著項數(shù)j的增大，嚙合剛度的諧波特性會降低，系統(tǒng)的不穩(wěn)定性區(qū)逐漸減??；在嚙合剛度不變時，隨著參數(shù)激勵ˉω的減小，不穩(wěn)定區(qū)域也會減小，出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域的重疊.

圖4（b）為相應(yīng)的速度穩(wěn)定性圖譜.

從圖4（b）可以看出，齒輪嚙合頻率隨著列車運行速度的降低而減小，不穩(wěn)定的區(qū)域總體呈減小趨勢，但在發(fā)生參激振動的轉(zhuǎn)速時，不穩(wěn)定的區(qū)域明顯更大，在實際運行中應(yīng)引起注意.

圖4 齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性Fig.4 Stability of gear system

圖5 為阻尼系數(shù)對穩(wěn)定性的影響.從圖5中可以看出，系統(tǒng)阻尼對穩(wěn)定性有較大的影響，阻尼可以減小系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性.當(dāng)阻尼系數(shù)從0.01增加到0.05時，處于穩(wěn)定區(qū)域的剛度波動幅值從5%增加至20%.

從以上分析可以看出，可以通過以下途徑增加高速列車齒輪傳動系統(tǒng)穩(wěn)定性：降低嚙合諧波剛度比值、合理選取系統(tǒng)的參激頻率（嚙合頻率與固有頻率的匹配）以及增大輪齒的嚙合阻尼.在實際的設(shè)計過程中，首先應(yīng)該保證列車常用的運行速度避開固有頻率與嚙合頻率容易發(fā)生參激共振時的轉(zhuǎn)速（從圖4（b）看應(yīng)盡量避免240 km／h的常速行駛），增大嚙合阻尼主要依靠材料的選取或采用附加阻尼的方式，降低嚙合諧波剛度比值可以通過增大齒輪的嚙合重合度.

式（15）是端面重合度與嚙合剛度均值的表達(dá)式［15］，

式中：

εα為端面重合度；

c′為單對齒剛度.

圖6為端面重合度分別取1.2和1.9時，采用數(shù)值直接積分對式（6）進(jìn)行求解得到的位移隨時間變化圖，從圖中可以看出，當(dāng)端面重合度分別取1.2和1.9時，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定和穩(wěn)定，這也是高速列車齒輪系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計中普遍采用高重合度的原因.

圖5 不同阻尼下齒輪系統(tǒng)參數(shù)振動穩(wěn)定性Fig.5 Parametric vibration stability of gear system with different dampings

圖6 不同端面重合度系統(tǒng)時間歷程圖Fig.6 Dynamic response time history of gear system with different transverse contact ratios

4 結(jié) 論

本文從理論上分析了高速列車齒輪系統(tǒng)在參數(shù)時變嚙合剛度下的穩(wěn)定性問題，通過對時變嚙合剛度的傅里葉展開，運用非線性多尺度近似解析方法得到了齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖譜，從系統(tǒng)穩(wěn)定性的角度得到了齒輪設(shè)計時應(yīng)考慮參激頻率、剛度的諧波特性以及嚙合阻尼三方面因素，主要結(jié)論如下：

（1）齒輪系統(tǒng)的不穩(wěn)定性區(qū)域隨著列車運行的速度降低總體呈減小趨勢，但是在參激頻率處存在明顯不穩(wěn)定區(qū)域，應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的固有頻率合理地制定運營速度.

（2）系統(tǒng)的阻尼比和嚙合剛度的諧波分量對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大.增大阻尼有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過增加齒輪嚙合的重合度可以減小嚙合剛度的諧波特性，從而減小系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域，當(dāng)端面重合度從1.2增加到1.9，對系統(tǒng)直接數(shù)值積分也驗證了這一結(jié)果.

（3）文中從穩(wěn)定性的角度分析了齒輪嚙合引起的參數(shù)振動，分析模型可為高速列車驅(qū)動傳動系統(tǒng)動力學(xué)等研究提供借鑒.

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（中文編輯：秦 瑜 英文編輯：蘭俊思）

Stability Analysis of Parametric Vibration for Gear Transmission System in High-Speed Train

HUANG Guanhua1， ZHANG Weihua1， FU Yongpei1， LIANG Shulin2， WANG Xingyu2
（1.State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.CNR，Changchun Railway Passenger Vehicle Company，Changchun 130024，China）

In order to study the stability of the gear transmission system in high-speed trains，a dynamic model describing the torsional vibration behaviors of the gear system was developed.In this model，the time-varying mesh stiffness of meshing teeth pairs was calculated through finite element analysis，and the mesh stiffness and transmission error were expanded using the technique of Fourier series.Based on this model，the multiple scales method was used to solve the nonlinear differential equations of gear systems，and the approximate analytical solution and transition curves that separate stable from unstable regions were obtained.In addition，the main factors that influence the stability were discussed.The results show that the unstable regions decrease with the decrease of the train＇s running speed，but an unstable region always exists at the speed where parametric resonance occurs；increasing the damping is effective to reduce the unstable regions：as the damping increases from 0.01 to 0.05，the amplitude of mesh stiffness fluctuation in stable regions increases from 5%to 20%；and，an increase in the contact ratio can help suppress the harmonic characteristics of mesh stiffness so as to improve the stability of system.

stability；parametric vibration；gear transmission system；method of multiple scales；high-speed train

U270.1

：A

0258-2724（2014）06-1010-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.012

2013-09-18

國家自然科學(xué)基金和鐵道部高速鐵路基礎(chǔ)研究基金聯(lián)合資助項目（U1234208）

黃冠華（1987－），男，博士研究生，研究方向為高速列車傳動系統(tǒng)動力學(xué)，E-mail：hgh7735＠126.com

黃冠華，張衛(wèi)華，付永佩，等.高速列車齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)振動穩(wěn)定性［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2014，49（6）：1010-1015.