一類立方非線性吸振器的能量傳遞和耗散研究及參數(shù)設計

熊 懷，孔憲仁，劉 源

（哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱150080）

一類立方非線性吸振器的能量傳遞和耗散研究及參數(shù)設計

熊 懷，孔憲仁，劉 源

（哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱150080）

應用立方非線性能量阱對結(jié)構(gòu)振動抑制時，合理的選擇和設計立方非線性剛度能大幅度提升振動抑制效果。論文從能量傳遞和耗散的角度，基于非保守系統(tǒng)的能量傳遞和耗散近似關(guān)系，提出一種理想立方非線性吸振器的剛度設計方法，使得吸振器在此類非線性中能夠達到最高的振動抑制效率。針對一類具有線性和立方剛度組合形式的非線性吸振器振動效果問題，基于復變量平均法分析保守系統(tǒng)能量完全傳遞時相軌跡特性，得到此時初始能量、質(zhì)量比需滿足的條件；分析了耦合非線性振子的非保守系統(tǒng)剛度系數(shù)對線性振子的振動抑制效果，基于提出的立方剛度設計方法，確定最大能量耗散率時組合剛度參數(shù)設計范圍。最后通過數(shù)值仿真驗證了結(jié)論的正確性。

非線性能量阱；吸振器；定向能量傳遞；能量耗散；振動抑制

引 言

非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）能夠有效地增加吸振帶寬，并大幅度提升減振效率。與傳統(tǒng)動力減振器不同，NES的振動抑制機理為定向能量傳遞（Targeted Energy Transfer，TET），這使得應用非線性進行振動抑制成為可能。經(jīng)過10余年發(fā)展，NES的研究從最初單自由度、保守系統(tǒng)逐步發(fā)展到非保守、受復雜載荷的減振器，并開始應用到工程結(jié)構(gòu)中去。借助其高效的減振效率和優(yōu)異振動抑制性能，NES正朝著航天器部、組件的減振結(jié)構(gòu)設計方向發(fā)展。

合理選擇和設計NES參數(shù)是減振器設計的重要步驟之一［1-2］。耦合單 自由度立 方非 線性 振 子的保守系統(tǒng)在文獻［3-4］討論了系統(tǒng)實現(xiàn)TET的可能性，在文獻［5-6］中的試驗也證明這個結(jié)論。對于耦合具有理想立方剛度形式的振子，在文獻［7-9］借助復變量替換的方法研究了受外加激勵系統(tǒng)時剛度對TET的影響。更進一步的研究是當保守系統(tǒng)的線性振子受到一個初始能量或沖擊載荷時，借助復變量平均法［10］確定振子間能量完全傳遞時非線性剛度與初始能量關(guān)系［11］，其中還提出一種非保守系統(tǒng)的理想立方剛度設計方法以及 阻尼設 計方法［12］。但其前提是系統(tǒng)小阻尼、及某個已知剛度對應最優(yōu)能量值等，限制條件較多，影響其工程應用。

不難發(fā)現(xiàn)，在文獻［2-5］中對立方非線性剛度的設計都在理想的Hamilton系統(tǒng)前提下，而文獻［2-11］討論的均是理想的立方剛度的非線性形式。本文主要提出一種非保守系統(tǒng)NES立方非線性剛度的設計方法，根據(jù)線性振子的初始條件和必要的系統(tǒng)參數(shù)設計非線性剛度，使在該初始能量時吸振器的減振效率達到最高?；谠摲ǎ瑢ES的剛度形式推廣至一類同時具有線性和立方非線性剛度的形式，討論該類非線性吸振器剛度系數(shù)對TET的影響。為了使NES的減振效果最佳，文中最后還對非保守系統(tǒng)中組合剛度系數(shù)影響進行了討論。

1 立方剛度設計方法

1.1 能量近似關(guān)系

研究一個線性振子耦合一個NES系統(tǒng)，其動力學方程如下

式中參數(shù)均已歸一化，NES與線性振子質(zhì)量比滿足關(guān)系ε?1，ω20對應線性系統(tǒng)固有頻率。λ1，λ2為線性振子和NES對應的線性阻尼，kn為非線性剛度。引 入 變量 替 換［10］

對方程進行復變量替換［10］

消去久期項，那么式（1）可以寫成

對式（4）多尺度展開（取前二階）

消去系統(tǒng)的快變部分即t0，得到系統(tǒng)的關(guān)于時間尺度為t1的慢變方程

式中δ=1/ε。對慢變方程（6）中兩個式子分別乘以對應的復變量，同時取對應的共軛方程做同樣變換，最后四式相加可得

當系統(tǒng)的阻尼均為零時，上式恰好為對應保守系統(tǒng)的首次積分，即

式中H為與慢變時間尺度無關(guān)的常量，即對應保守系統(tǒng)能量守恒。當系統(tǒng)阻尼不為0時，不妨將方程（7）看成是關(guān)于φ202的微分方程，那么可以對其進行Laplace變換

再對式（9）進行Laplace反變換，可以得到對應保守系統(tǒng)能量的隨慢變時間變化近似關(guān)系

式中H（0）表示系統(tǒng)初始能量。對式（10）中的積分項在0時刻Taylor展開，有

式中 IHO（Integral Higher Order）表示Taylor展開的高階項。那么在給定的初始條件下，可以根據(jù)式（10）和（11）可求出任意時刻系統(tǒng)的能量值。借助式（7）和（10）還可以得到如下關(guān)系

圖1 數(shù)值解與近似解對比Fig.1 The comparison of numerical solution and approximate solution

圖1為平均法求得近似關(guān)系式和數(shù)值解的對比圖，近似解Taylor展開只取了前三階，此時能量響應的近似解（10）和數(shù)值解（由四階Rung-Kutta求得）很好地吻合，誤差最大處僅為7.5%，而誤差主要來源有兩點，一是多尺度展開時舍去的高階項；二是Taylor展開只取了前面三階。因此可以利用這個近似方法進一步研究NES的力學特性。

1.2 理想的立方剛度設計

能量耗散率是衡量NES的減振效果標準之一，能 量 耗散 率 可以 表 示為［13］

那么能量耗散率對應的時間變化率為

結(jié)合式（12）和（14）有關(guān)系

為了設計NES的立方剛度使得NES的能量耗散率達到最大值，式（13）達到極值時耗散率最高，那么式（15）取值為0。

式中m表示2對m階導數(shù)，有第m個函數(shù)關(guān)系，這些關(guān)系式可以由初始條件求得。那么式（15）可以成與有關(guān)的函數(shù)關(guān)系

轉(zhuǎn)換為求解一個kn值，使得式（17）為零，獲得的值即為最佳非線性剛度值，此時能量耗散率（11）達到最大值。利用該方法可以求解具有立方非線性NES的最優(yōu)剛度值。

2 具有線性和立方非線性NES分析

2.1 保守系統(tǒng)能量傳遞分析

為了增加NES的適用性，將非線性減振器中的剛度表示為更加一般的形式，即此類NES具有線性和立方非線性的剛度組合形式，此時系統(tǒng)的微分方程表示為

此時恢復力由線性kn1和立方剛度kn3兩部分組成，借助上一節(jié)提到的復變量平均法可以求得此時式（18）對應的慢變方程

在此類剛度組合形式的NES經(jīng)過復共軛變換，同樣具有式（7）的形式。這個不難理解，系統(tǒng)能量的耗散只與阻尼有關(guān)，剛度不管如何變化只影響系統(tǒng)的TET，因此系統(tǒng)能量耗散模型的形式和上一節(jié)是一樣的。對于保守系統(tǒng)時，可以將式（7）寫成關(guān)系

式中C為與時間尺度無關(guān)的常量，該式也表示系統(tǒng)（18）的一個首次積分，可以引入極坐標變換

從文獻［7］中可以得到啟發(fā)，不難得出系統(tǒng)的另一個首次積分可以寫成

其中，H表示系統(tǒng)的一個首次積分。將極坐標變換代入上式，可以得到

當初始能量全部集中于線性振子時，即θ=0時，此時有關(guān)系：H0=ω0C20/2（即初始能量下，首次積分對應的能量），保守系統(tǒng)能量守恒，關(guān)系H0=C恒成立。注意到復變量的相位差應該滿足：Δ=δ2-δ1，Δ∈［0，π］，那么就可以通過式（23）的相軌跡特性來研究原系統(tǒng)的一些力學特性。將式（21）代入式（19）中，并令方程中的實部與虛部分別為零，可以得到

為了達到快速衰減線性振子能量的目的，關(guān)注線性振子的能量變化

線性振子能量一直處于周期變化，周期為π，初始能量全部集中于線性振子時，經(jīng)過半個周期后能量全部集中于非線性振子中。而線性振子能量變化率

在一個周期的始末變化率必然為0，但是上式表明在dθ/dt=0時，也存在在能量變化率為0的時刻，對應于式（24）的第1式，此時相位差Δ=0，π，即在該種情況下NES也能實現(xiàn)能量的完全傳遞。式（24）對應的相軌跡如圖2所示，圖中不難發(fā)現(xiàn)，部分曲線（即初始能量滿足一定的條件時）能夠在一個周期內(nèi)連續(xù)變化實現(xiàn)能量完全傳遞（虛線所示），而其他一些曲線卻不能，此時系統(tǒng)能量會有部分滯留在線性振子（實線所示）。

圖2 不同初始能量對應相軌跡Fig.2 The phase trajectories of the different initial energy

那么在Δ≠0，π時，能量完全傳遞有θ→π/2，代入到式（23）可得

不難得出，初始能量

利用該式并結(jié)合式（21）還可以預測對應的初始條件，使得系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)能量的完全傳遞，不難得出有兩種情況：

1）初始能量全部集中于線性主振子，并只有勢能

2）初始能量全部集中于線性振子，并只有動能

不僅如此，注意到式（28）還應滿足

在式（29）中給出了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)TET所需的必要條件，即組合剛度形式的NES中的線性剛度具有一定的范圍，該范圍與線性振子的固有頻率有關(guān)。結(jié)合式（28）不難發(fā)現(xiàn)，線性剛度的存在影響了NES對初始能量的選擇性，使得NES一定程度上降低了初始能量值，也就是說當初始能量較低的情況下，引入線性剛度同樣可以使NES實現(xiàn)TET。

結(jié)合式（28）和（23）容易得到關(guān)系

那么此時能量完全傳遞，質(zhì)量比有一個臨界值，為

在圖2（b）中，質(zhì)量比ε=0.01≤εcr，此時不論系統(tǒng)初始能量如何變化，曲線都不在一個周期內(nèi)連續(xù)變化，即系統(tǒng)不能實現(xiàn)能量的完全傳遞。對于式（31）還有結(jié)論，較之理想立方剛度相比，具有線性剛度的NES不僅能夠降低對初始能量的要求，還能減小發(fā)生TET時NES質(zhì)量比的臨界值。此類剛度形式的組合在一定程度上又優(yōu)于理想立方剛度形式的NES。在工程中可以根據(jù)實際情形來選擇NES的剛度形式，以達到NES最佳的減振效果。

2.2 非保守系統(tǒng)分析

耦合NES的非保守系統(tǒng)分析只能用定性的分析近似分析非線性剛度對系統(tǒng)TET的影響。在系統(tǒng)阻尼不為0的時候，引入新的復變量替換

同 時 注意 到 關(guān)系［12］

將式（32）和（33）代入式（21）中，并令實部虛部分別相等，有

不難發(fā)現(xiàn)，第1式表示線性振子的能量耗散，而第2式表示振子間的能量傳遞，而第2式中存在阻尼，可見阻尼在一定程度上也影響著振子的能量傳遞。圖3中給出了kn1時R1和R2的關(guān)系曲線。此時圖中呈現(xiàn)具有明顯的非線性特性，即幅值出現(xiàn)跳躍（圖中沿虛線，箭頭方向所示）。

圖3 R1和R2的關(guān)系曲線Fig.3 The relationship R1with R2

不難求出曲線的兩個極值點坐標為

當NES在對線性振子進行減振時，減振器的阻尼必須滿足條件

當阻尼為0時，由于式中的質(zhì)量比滿足ε?1時，式（35）和（29）是一致的，這也佐證了上一節(jié)的保守系統(tǒng)分析的結(jié)論。此類非線性形式的NES設計同樣可以利用上一節(jié)提出的方法，因為不論非線性剛度形式如何，系統(tǒng)的能量耗散都只與阻尼有關(guān)，而與系統(tǒng)的剛度無直接相關(guān)，那么式（7）始終成立。出現(xiàn)變化的是式（16），此時初始條件可以寫成

此時初始條件變成是組合剛度各系數(shù)的函數(shù)，結(jié)合式（17），可以確定NES能夠耗散最大能量時，線性剛度與立方剛度的關(guān)系。不妨設有關(guān)系

式（37）和（35）可以求得能量耗散率最大時立方剛度范圍。

3 數(shù)值算例及驗證

3.1 立方剛度設計

本節(jié)通過兩個算例來說明第2節(jié)提出的立方剛度設計方法。

例1：設耦合有非線性能量阱的線性振子參數(shù)為：ελ1，ελ2分別為0.02，質(zhì)量比ε=0.1，并設初始能量全部集中于線性振子（只有勢能），初始條件為：x10=x20=0.2，振子速度均為0，求能量耗散率最大時立方剛度值。

首先將初始條件轉(zhuǎn)換為初始能量H（0）= 0.25，容易求出式（16）的m個關(guān)系式，可以求得的kn=1.24，即在該初始條件下能量耗散率最大時的立方剛度。在圖4中為立方剛度與NES耗散率關(guān)系曲線（數(shù)值解），此時kn=1.24時，能量耗散率達到最高。為了進一步驗證本文的方法，圖5為初始能量值與NES耗散率關(guān)系曲線，立方剛度為kn= 1.13，此時最大耗散率對應的初始能量為0.248與H（0）相近，誤差來源主要數(shù)值計算產(chǎn)生。

圖4 kn與Ediss的關(guān)系Fig.4 The relationship knwith Ediss

兩振子的位移響應如圖6。盡管初始能量全部作用于主振子上（圖6（a）），但能量很快傳遞給NES振子（圖6（b）），所以圖6（a）的振幅比圖6（b）的大。

主振子能量響應如圖7，其中圖7（a）為圖7（b）的初始時間放大圖，圖中的實線為耦合NES振子系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)能量響應，虛線為無耦合NES振子系統(tǒng)。圖7（a）中不難發(fā)現(xiàn)，耦合NES系統(tǒng)的主振子能量迅速下降，而在非耦合NES的系統(tǒng)能量耗散緩慢。在局部放大圖7（b））可以看出，耦合NES系統(tǒng)主振子能量在振子間往復傳遞，這個傳遞效率很高，而且轉(zhuǎn)移迅速，雖然轉(zhuǎn)移一次過程中能量損耗較低，但是由于轉(zhuǎn)移頻率很大，致使效率很高，即實現(xiàn)了TET。

圖5 H0與Ediss的關(guān)系Fig.5 The relationship H0with Ediss

圖6 兩振子響應Fig.6 The response of two oscillators

圖7 主振子能量響應Fig.7 The energy response of the primary oscillator

例2：設耦合有非線性能量阱的線性振子參數(shù)為：ελ1和ελ2分別為0.02，質(zhì)量比ε=0.1，并設初始能量全部集中于線性振子（沒有動能但有勢能），初始條件為：˙x10=0.45，其他初始條件均不為0，求能量耗散率最大時立方剛度值。

盡管此時主振子既有動能又有勢能，但仍可用本文的方法，按例1的操作步驟不難求出kn=1.65。圖8，9為立方剛度與能量耗散率曲線、初始能量與能量耗散率曲線。同樣也驗證了初始能量全部集中于主振子時，該方法同樣適用?？梢姳疚奶岢龅牧⒎絼偠仍O計方法具有更好地普適性。

圖8 kn與Ediss的關(guān)系Fig.8 The relationship knwith Ediss

圖9 H0與Ediss的關(guān)系Fig.9 The relationship H0with Ediss

此時，兩振子的位移響應如圖10所示，主振子能量響應如圖11。兩圖出現(xiàn)了和例1類似響應曲線，即系統(tǒng)此時出現(xiàn)了TET。這兩個算例都很好地驗證了前面的結(jié)論。

圖10 兩振子響應Fig.10 The response of two oscillators

3.2 保守系統(tǒng)能量傳遞

設系統(tǒng)參數(shù)為：ω0=1，kn1=0.5，kn3=1。利用關(guān)系（28）可以預測系統(tǒng)能量完全傳遞時的初始條件為：x10=x20=0.103或者˙x10=0.103，其他參數(shù)為0。此時能量傳遞如圖12所示。在圖12（a）中能量能在兩振子間完全傳遞（實線為線性振子，虛線為非線性振子），而圖12（b）中，質(zhì)量比不在范圍內(nèi)，此時不論初始條件如何變化，能量都只能在振子間部分傳遞。

圖11 主振子能量響應Fig.11 The energy response of the primary oscillator

圖12 兩振子能量響應Fig.12 Energy response of two oscillators

圖13主振子位移響應中，圖13（a）中主振子振幅出現(xiàn)周期性變化，出現(xiàn)小振幅時說明此時的振子能量出現(xiàn)了大量轉(zhuǎn)移，使得能量出現(xiàn)圖12（a）的周期性變化，而在圖12（a）出現(xiàn)幅值非常小的時刻，說明此時的能量能夠完成傳遞給NES；在圖13（b）則不然，這是個近似的正弦響應，幅值基本保持不變，即主振子能量沒有發(fā)生明顯的傳遞，顯然在該質(zhì)量比條件下，系統(tǒng)是不能實現(xiàn)完全傳遞的?？梢?，不同質(zhì)量比條件下系統(tǒng)能量傳遞特性是不一樣的，這樣印證了上一節(jié)對保守系統(tǒng)能量傳遞得出的結(jié)論，即質(zhì)量比大于某一定值，系統(tǒng)才能實現(xiàn)能量的完全傳遞。

圖13 主振子響應Fig.13 The primary oscillator response

3.3 非保守系統(tǒng)能量耗散

同時具有線性剛度和立方非線性剛度形式NES的能量耗散率同樣可以通過式（13）來驗證。此時NES的能量耗散率與線性振子初始能量關(guān)系如圖14所示（全初始能量為動能或全為勢能）。從圖中不難發(fā)現(xiàn)耗散率最大對應初始能量是一個分界點，在初始能量值高于這個值時，kn1（圖中虛線所示）時的耗散率比kn3（圖中實現(xiàn)所示）要低，小于該臨界值時，kn1對應的能量耗散率比kn3對應的能量耗散率要高。可見在此類剛度形式組合的NES能在一個較寬的初始能量范圍內(nèi)具有更好的減振效果。

同樣對比圖14（a）和（b）兩圖，剛度系數(shù)一定時，在合理的阻尼范圍內(nèi)，阻尼越大，對應的耗散率越高。可見該類組合剛度形式的NES有其自身固有的振動抑制優(yōu)勢。

圖14 初始能量與耗散率關(guān)系Fig.14 Relation between initial energy and energy dissipation

4 結(jié) 論

本文通過已有的耦合非線性振子的慢變近似模型，研究了理想立方剛度形式的非保守系統(tǒng)能量耗散與其對應保守系統(tǒng)能量之間關(guān)系。基于該關(guān)系提出一種立方剛度設計方法，并在兩個算例中進行了驗證，仿真結(jié)果驗證了該方法的正確性。該方法可以直接應用于初始能量全部集中于線性振子的系統(tǒng)中去，實際應用較為方便。

本文還研究了一類具有線性和立方非線性的組合剛度形式的NES振動抑制效果，得出了保守系統(tǒng)要實現(xiàn)能量完全傳遞時初始能量、質(zhì)量比需要滿足的條件；非保守系統(tǒng)分析時，確定了各組合剛度系數(shù)范圍，并研究了組合剛度較之理想立方剛度的NES的優(yōu)勢。這些結(jié)論在文中后面的數(shù)值仿真都得到了驗證。

［1］ Al-Shudeifat M A.Highly efficient nonlinear energy sink［J］.Nonlinear Dynamics，2014，76：1 905—1 920.

［2］ 龔憲生，謝志江，駱振黃，等.非線性隔振器阻尼特性研究［J］.振動工程學報，2001，03：90—94. GONG Xiansheng，XIE Zhijiang，LUO Zhenhuang，et al.The characteristics of a nonlinear damper for vibration isolation［J］.Journal of Vibration Engineering，2001，03：90—94.

［3］ Gendelman O V，Manevitch L I，Vakakis A F.Energy pumping in nonlinear mechanical oscillators，Part I：Dynamics of the underlying Hamiltonian systems［J］. Journal of Applied Mechanics，2001，68（1）：34—41.

［4］ Vakakis F，Gendelman O V.Energy pumping in coupled mechanical oscillators，Part II：resonance capture ［J］.Journal of Applied Mechanics，2001，68：42—48.

［5］ Gourdon E，Alexander N A，Taylor C A，et al.Nonlinear energy pumping under transient forcing with strongly nonlinear coupling：Theoretical and experimental results［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，300：522—551.

［6］ Awrejcewicz J，Petrov A G.Nonlinear oscillations of an elastic two-degrees-of-freedom pendulum［J］.Nonlinear Dynamics，2007，53：19—30.

［7］ Starosvetsky Y，Gendelman O V.Attractors of harmonically forced linear oscillator with attached nonlinear energy sink I：description of response regimes［J］. Nonlinear Dynamics，2008，51（1/2）：31—46.

［8］ Starosvetsky Y，Gendelman O V.Attractors of harmonically forced linear oscillator with attached nonlinear energy sink II：optimization of a nonlinear vibration absorber［J］.Nonlinear Dynamics，2008，51（1/ 2）：47—57.

［9］ Kerschen G，Lee Y S，Vakakis A F，et al.Irreversible passive energy transfer in coupled oscillators with essential nonlinearity［J］.SIAM Journal on Applied Mathematics，2005，66：648—679.

［10］Manevitch L I.The description of localized normal modes in a chain of nonlinear coupled oscillators using complex variables［J］.Nonlinear Dynamics，2001，25：95—109.

［11］張也弛，孔憲仁.非線性吸振器的靶能量傳遞及參數(shù)設計［J］.振動工程學報，2011，24（2）：111—117. ZHANG Yechi，KONG Xianren.Targeted energy transfer and parameter design of a nonlinear vibration absorber［J］.Journal of Vibration Engineering，2011，24（2）：111—117.

［12］Nguyen T A，Pernot.S.Design criteria for optimally tuned nonlinear energy sinks，Part I：transient regime ［J］.Nonlinear Dynamics，2012，69：1—19.

Energy transfer and dissipation of a class of nonlinear absorber and its parameter design

XIONG Huai，KONG Xian-ren，LIU Yuan
（Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

Applying the cubic nonlinear energy sink（NES）to vibration suppression of structure，the best performance of vibration suppression can be obtained through proper choice and design of nonlinear stiffness.Based on the relationship of energy transfer and dissipation of non-conservative system，a method of nonlinear stiffness design is proposed to get the best performance of vibration suppression.According to the linear and cubic nonlinear stiffness，the feature of phase trajectories of conservative system is analyzed using the complex averaging method，and get the necessary condition of initial energy and mass ratio. The suppression effect of the stiffness of non-conservative system on linear system also is investigated，and the range of composite stiffness at the maximum dissipation efficiency is obtained based on the method proposed.The above analysis is verified by numerical simulations at last.

nonlinear energy sink；absorber；targeted energy transfer；energy dissipation；vibration suppression

O322；O328

A

1004-4523（2015）05-0785-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.014

熊懷（1989—），男，博士研究生。電話：18745001184；E-mail：13B918048@hit.edu.cn

2014-05-25；

：2014-11-24