含齒面溫度的二級(jí)直齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)特性分析

茍向 鋒，祁常君，朱凌 云

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300387；2.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

含齒面溫度的二級(jí)直齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)特性分析

茍向 鋒1，2，祁常君2，朱凌 云2

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300387；2.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

基于Block閃溫理論，推導(dǎo)出齒面接觸溫度隨時(shí)間變化的表達(dá)式，計(jì)算主、從動(dòng)輪的齒面閃溫，計(jì)算由齒面接觸溫度變化導(dǎo)致的齒廓形變。根據(jù) Hertz接觸理論，推導(dǎo)出隨齒面接觸溫度變化的嚙合剛度的表達(dá)式。建立綜合考慮齒面接觸溫度、時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦、齒側(cè)間隙、綜合傳遞誤差等因素的二級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。分析參數(shù)平面中剛度、間隙、誤差及載荷等對(duì)齒面閃溫及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果顯示，齒面閃溫在齒根和齒頂嚙合時(shí)達(dá)到最大，在節(jié)點(diǎn)附近接近于零。表明所建立的考慮齒面接觸溫度的模型在一定程度上反映了齒輪嚙合時(shí)的溫度變化和滑動(dòng)情況，計(jì)算得到的齒面溫度變化的基本規(guī)律是正確的。

機(jī)械動(dòng)力學(xué)；二級(jí)齒輪；齒面溫度；動(dòng)態(tài)特性；參數(shù)耦合

引 言

齒輪是應(yīng)用廣泛的動(dòng)力與運(yùn)動(dòng)傳遞裝置之一。在齒輪系統(tǒng)的實(shí)際工況中，齒面摩擦不可避免，而摩擦將導(dǎo)致齒面接觸溫度升高。在高速重載時(shí)，摩擦產(chǎn)生的齒面接觸溫度易導(dǎo)致齒面膠合。國內(nèi)外已有的對(duì)齒面接觸溫度的研究主要采用有限元方法。Taburdagita等［1］建立了由摩擦引起齒面溫度變化的有限元模型。Mao［2］使用有限差分法研究了一種復(fù)合材料齒輪的齒面接觸溫度，提出了一種更接近實(shí)際的齒面閃溫計(jì)算方法。龍慧等［3］提出了一種齒面摩擦系數(shù)和熱流量的計(jì)算方法，建立了一種高速齒輪傳動(dòng)瞬時(shí)接觸溫度分析模型。研究表明，齒面接觸溫度變化將使輪齒齒廓發(fā)生形變，使輪齒嚙合剛度發(fā)生變化，對(duì)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能產(chǎn)生較大影響，這使得齒面接觸溫度成為不可忽視的非線性因素之一。

Vaishya等［4-5］研究了齒輪系統(tǒng)的摩擦力，建立了計(jì)及摩擦力的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。Kahraman［6-7］提出了一種典型的考慮非線性時(shí)變因素的多嚙合直齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力模型，這個(gè)模型包括耦合了兩對(duì)嚙合齒輪的3個(gè)剛性軸，未考慮軸承的非線性因素，并借助相對(duì)嚙合位移將系統(tǒng)簡化為兩自由度。Walha［8-9］為了研究制造和裝配誤差、間隙等對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響，建立了一個(gè)二級(jí)直齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。模型中考慮了時(shí)變嚙合剛度，軸及軸承則假設(shè)為剛性元件。Kamel［10］研究了用于風(fēng)力渦輪機(jī)的二級(jí)直齒輪系統(tǒng)，用集中質(zhì)量法建立了一個(gè)12自由度的動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮了由風(fēng)力變化而引起的激勵(lì)變化和時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)。楊富春［11］建立了包 含多間隙、時(shí)變嚙合剛 度、傳動(dòng)誤差等非線性因素的兩級(jí)直齒輪減速器的8自由度動(dòng)力學(xué)模型，并分析了齒輪副的工作狀態(tài)。

本文在考慮齒面摩擦、時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙等非線性因素的基礎(chǔ)上，根據(jù)Block齒面閃溫理論及Hertz接觸理論建立考慮齒面接觸溫度的二級(jí)直齒輪系統(tǒng)的離散動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算系統(tǒng)在參數(shù)平面上的最大幅值云圖，分析本體溫度與其他參數(shù)耦合變化時(shí)的系統(tǒng)幅值響應(yīng)；計(jì)算系統(tǒng)的位移-時(shí)間映像，以分析系統(tǒng)在參數(shù)平面中的動(dòng)態(tài)特性。

1 考慮齒面接觸溫度的二級(jí)齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)建模

1.1 齒面接觸溫度計(jì)算

齒面接觸溫度ΔB由本體溫度ΔM和齒面閃溫Δf等兩部分組成。ΔB可表示為

式中ΔM在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定工作狀態(tài)后不再發(fā)生變化，此時(shí)兩齒輪本體溫度相同。Δf為由兩齒面相對(duì)滑動(dòng)時(shí)摩擦力消耗的能量轉(zhuǎn)化的熱量，造成齒面局部瞬時(shí)溫度升高。根據(jù)Block閃溫理論［12］，可得Δf為

式中u為溫升系數(shù)，對(duì)于直齒圓柱齒輪，u=0.83；fm為摩擦系數(shù)；fe為單位齒寬上的齒面法向載荷（N/m）；νi（i=1，2）為兩齒面上的切向速度（m/s）；gi（i=1，2）為兩齒面的熱傳導(dǎo)系數(shù)（J/m·s·°C）；ρi（i=1，2）為兩齒面的密度（kg/m3）；ci（i=1，2）為比熱容；B為接觸帶半寬（m）。兩齒面上的切向速度νi（t）（i=1，2）是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)

式中ωi（i=1，2）為主、從動(dòng)輪的角速度；ri（i=1，2）為主、從動(dòng)輪分度圓半徑；α為分度圓壓力角；rci（t）（i=1，2）分別為嚙合點(diǎn)到主、從動(dòng)輪中心的距離。ωi（i=1，2）為

式中 轉(zhuǎn)速ni（i=1，2）為

式中ωe為齒輪副的嚙合圓周頻率，zi（i=1，2）為主、從動(dòng)輪齒數(shù)。rci（t）（i=1，2）可由下式計(jì)算得到：

式中rbi（i=1，2）為主、從動(dòng)輪基圓半徑，ra2為從動(dòng)輪齒頂圓半徑。

式（2）中的接觸帶半寬B也是隨時(shí)間t變化的時(shí)變參數(shù)，取主、從動(dòng)輪齒寬相等，由Hertz接觸理論［13］可得主、從動(dòng)輪的接觸帶半寬B（t）為

式中η為計(jì)算系數(shù)（η=1.128）；μ為泊松比；E為彈性模量（GPa）；F為齒面法向載荷（N）；b為主、從動(dòng)輪齒寬（m）；Ri（t）（i=1，2）為嚙合點(diǎn)處主、從動(dòng)輪齒廓曲率半徑（m）

式中αmi（t）（i=1，2）為主、從動(dòng)輪上嚙合點(diǎn)處的壓力角（°），其表達(dá)式為

將式（3）和（8）代入式（2）即可計(jì)算出嚙合時(shí)主、從動(dòng)輪齒面瞬時(shí)閃溫。

1.2 齒面接觸溫度引起的輪齒齒廓形變計(jì)算

當(dāng)齒面溫度變化時(shí)，齒輪實(shí)際齒廓曲線將與理論齒廓曲線不重合，出現(xiàn)齒廓形變。不考慮其他因素對(duì)齒輪的影響，僅考慮溫度變化，則由齒面接觸溫度ΔB（t）引起的主、從動(dòng)輪齒廓形變?chǔ)襥（t）（i=1，2）隨時(shí)間變化的表達(dá)式如下

式中Δ（t）為進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后的兩齒面的接觸溫度ΔB（t）與初始狀態(tài)的兩齒面溫度Δ0之差；li（i=1，2）為主、從動(dòng)齒輪齒厚（m）；λ為材料的線膨脹系數(shù)；αki（i=1，2）為主、從動(dòng)輪齒頂圓壓力角（°），表達(dá)式為

式中 invα為漸開線函數(shù)；ubi（i=1，2）為系統(tǒng)穩(wěn)定工作時(shí)主、從動(dòng)齒輪上的基圓熱變形量

式中Δ（r0i）（i=1，2）為穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)主、從動(dòng)齒輪的軸的溫度（°C）；Δ（rbi）（i=1，2）為穩(wěn)定時(shí)主、從動(dòng)齒輪基圓面上的溫度（°C）；r0i（i=1，2）為兩齒輪的軸的半徑。將式（12）和（13）代入式（11），即可得到由齒面接觸溫度變化引起的兩齒輪齒廓變形量σi（t）。

1.3 齒面接觸溫度引起的剛度變化

根據(jù)Hertz接觸理論，假設(shè)由齒面接觸溫度變化導(dǎo)致的齒廓形變?yōu)棣?，齒寬為b，則由齒面接觸溫度變化導(dǎo)致的剛度變化值kw為

將式（11）及主、從動(dòng)輪齒寬b分別代入式（14），即可得由齒面接觸溫度導(dǎo)致的主、被動(dòng)齒輪剛度變化kwi（t）（i=1，2）的計(jì)算式

嚙合時(shí)，兩齒面因接觸溫度變化而在嚙合點(diǎn)處產(chǎn)生的形變在一條直線上，由溫度引起的等效嚙合剛度kw（t）（溫度剛 度），可 由兩齒面的剛度變化kwi（t）（i=1，2）串聯(lián)而得，則kw（t）為

1.4 非線性動(dòng)力學(xué)建模

圖1為二級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的離散物理模型。假設(shè)齒輪是剛性的，輪齒嚙合部分簡化為剛度與阻尼元件；不考慮原動(dòng)機(jī)和負(fù)載的影響，輸入、輸出軸轉(zhuǎn)矩波動(dòng)忽略不計(jì)；不考慮系統(tǒng)橫向、縱向和軸向振動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)滿足幾何對(duì)稱；不考慮支撐的彈性變形，只研究嚙合齒輪間的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移。圖中，θi（i=1，2，3，4）為各齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移；Ii（i=1，2，3，4）為各齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rbi（i=1，2，3，4）為各齒輪的基圓半徑；c12和c34分別為兩對(duì)嚙合齒輪間的嚙合阻尼；e12（t）和e34（t）分別為兩對(duì)嚙合齒輪間的綜合傳遞誤差；k12（t）和k34（t）為兩對(duì)嚙合齒輪間的時(shí)變嚙合剛度，它們分別由兩部分組成，一部分為嚙合沖擊造成的時(shí)變剛度k12t（t）和k34t（t），另一部分為齒面接觸溫度變化造成的時(shí)變剛度k12w（t）和k34w（t）；mi（i=1，2，3，4）為各齒輪的質(zhì)量；Ti（i=1，2）為輸入和輸出軸上的轉(zhuǎn)矩。

圖1 二級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的離散物理模型Fig.1 Dynamic model of two-stage spur gear system

由牛頓第二定律可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

式中k12（t）=k12t（t）+k12w（t），k34（t）=k34t（t）+k34w（t），k12w（t）和k34w（t）可由式（16）計(jì)算得到；b12，b34為兩對(duì)嚙合齒輪的齒側(cè)間隙。第1對(duì)嚙合齒輪的固有頻率ωn1=，第2對(duì)嚙合齒輪的固有頻率ωn2=；m12=m1m2/（m1+m2），m34=m3m4/（m3+m4）為兩對(duì)嚙合齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，mi=Ii/rbi（i=1，2，3，4）為各齒輪的質(zhì)量，kaνi（i=1，2）為兩對(duì)齒輪的平均嚙合剛度。令τ=ωnt，則無量綱嚙合頻率ωi=ωei/ωni（i=1，2）。引入特征尺寸bc，得到無量綱間隙D12=b12/bc，D34=b34/bc。

兩對(duì)嚙合齒輪的無量綱間隙函數(shù)為：

2 齒面閃溫分析

選取齒輪材料為45鋼，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中其他相關(guān)參數(shù)的選取如表1所示。由表1可計(jì)算得到系統(tǒng)的無量綱參數(shù)，如表2所示。

表1 齒輪參數(shù)取值Tab.1 Parameters of the baseline example gear pair

二級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)存在兩對(duì)相嚙合的齒輪副，在嚙合過程中，兩對(duì)相嚙合的齒輪副間均存在齒面閃溫。圖2為在載荷與嚙合頻率耦合變化的情況下，兩對(duì)齒輪副嚙合時(shí)，出現(xiàn)的齒面最大閃現(xiàn)溫度。圖中橫軸為無量綱嚙合頻率，縱軸為載荷，不同顏色代表不同的最大齒面閃溫。由圖可見，嚙合過程中出現(xiàn)在兩對(duì)嚙合齒輪上的齒面閃溫與嚙合頻率和載荷的增大成正相關(guān)關(guān)系，嚙合頻率越大，載荷越大，出現(xiàn)的齒面閃溫越高。對(duì)比兩圖可以發(fā)現(xiàn)，在第1對(duì)嚙合齒輪的嚙合過程中，齒面閃溫較低的參數(shù)區(qū)域較小，齒面閃溫較高的參數(shù)區(qū)域較大，而第2對(duì)嚙合齒輪在嚙合過程中，齒面閃溫較高的參數(shù)區(qū)域較小。同時(shí)，出現(xiàn)在第2對(duì)嚙合齒輪上的齒面閃溫要遠(yuǎn)高于出現(xiàn)在第1對(duì)嚙合齒輪上的齒面閃溫。

圖3為隨嚙合點(diǎn)位置變化，無量綱嚙合頻率ω=1.5時(shí)，在F=10 k N的載荷條件下，兩對(duì)嚙合齒輪的主、被動(dòng)輪齒面閃溫的變化趨勢。橫軸為嚙合點(diǎn)距輪心的距離，縱軸為嚙合過程中出現(xiàn)的齒面閃溫。從圖中可以看出，當(dāng)嚙合點(diǎn)位于齒根和齒頂處，輪齒在嚙入和嚙出時(shí)的齒面閃溫會(huì)達(dá)到峰值，在齒輪的節(jié)點(diǎn)位置，齒面閃溫達(dá)到最小，接近于零。

圖2 系統(tǒng)載荷-頻率耦合變化時(shí)的齒面最大閃溫Fig.2 Maximum flash temperature of tooth surface in F-ω

圖4為隨嚙合點(diǎn)位置變化，無量綱嚙合頻率ω=1.5時(shí)，在F=100 k N的載荷條件下，兩對(duì)嚙合齒輪的主、被動(dòng)輪齒面閃溫的變化趨勢。當(dāng)載荷增至F=100 k N時(shí)，齒面閃溫的變化趨勢基本與F= 10 k N時(shí)相同，但載荷增大，齒面接觸溫度大幅度升高。過高的齒面閃溫將導(dǎo)致輪齒的齒根和齒頂處發(fā)生膠合。

由圖3和4可見，主動(dòng)輪從齒根部分嚙入時(shí)，出現(xiàn)較高的齒面閃溫，隨著嚙合過程的進(jìn)行，在接近節(jié)點(diǎn)處，閃溫降到最低，之后隨著輪齒繼續(xù)嚙合，在主動(dòng)輪齒頂附近即將嚙出時(shí)，閃溫又達(dá)到一個(gè)峰值，此時(shí)嚙合點(diǎn)處在從動(dòng)輪的齒根部分。這一結(jié)果印證了齒輪嚙合中關(guān)于滑動(dòng)率（表示齒面間相對(duì)滑動(dòng)的程度，即在輪齒間接觸點(diǎn)，兩齒面間的相對(duì)切向速度（即滑動(dòng)速度）與該點(diǎn)切向速度的比值）的以下結(jié)論：

（1）滑動(dòng)率是嚙合點(diǎn)位置的函數(shù)，其值在（0，∞）之間變化；

（2）輪齒在節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)，其滑動(dòng)率為0，在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的不同嚙合點(diǎn)時(shí)，由于滑動(dòng)速度方向的改變，使滑動(dòng)率符號(hào)改變；

（3）輪齒若在極限點(diǎn)嚙合（即齒根或齒頂進(jìn)入嚙合）時(shí)，其滑動(dòng)率達(dá)到∞，造成輪齒的嚴(yán)重磨損，故應(yīng)避免輪齒在極限點(diǎn)嚙合。

3 齒面接觸溫度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

3.1 本體溫度、頻率與剛度波動(dòng)幅值耦合變化的影響

圖5為系統(tǒng)在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時(shí)，第1對(duì)嚙合齒輪與第2對(duì)嚙合齒輪間的最大幅值響應(yīng)云圖。圖中橫軸為嚙合頻率，縱軸為本體溫度變化，不同顏色代表系統(tǒng)不同的最大幅值響應(yīng)。同時(shí)，為考察剛度波動(dòng)幅值與本體溫度和頻率的耦合關(guān)系，分別計(jì)算剛度波動(dòng)幅值在k=0.1，k=0.2 和k=0.3時(shí)，第1對(duì)嚙合齒輪間的扭轉(zhuǎn)位移和第2對(duì)嚙合齒輪間的扭轉(zhuǎn)位移的最大幅值云圖。對(duì)比圖5中各圖可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在多處的幅值跳躍現(xiàn)象，隨著頻率的增大，系統(tǒng)的幅值響應(yīng)呈現(xiàn)出多處的劇烈波動(dòng)。本體溫度增大造成的幅值跳躍只在頻率較低的區(qū)域比較明顯。隨著剛度波動(dòng)幅值的增加，系統(tǒng)發(fā)生振幅跳躍的區(qū)域減少。同時(shí)，對(duì)比第1對(duì)嚙合齒輪間和第2對(duì)嚙合齒輪間的幅值響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，第2對(duì)嚙合齒輪間的幅值跳躍更為明顯，說明第2對(duì)嚙合齒輪間的振動(dòng)更為劇烈。

圖3 F=10 k N齒面閃溫隨嚙合點(diǎn)變化趨勢圖Fig.3 Trend chart of flash temperature via mesh point （F=10 k N）

圖4 F=100 k N齒面閃溫隨嚙點(diǎn)變化趨勢圖Fig.4 Trend chart of flash temperature via mesh point （F=100 k N）

圖6為兩對(duì)嚙合齒輪齒側(cè)間隙均為D=1.0，剛度波動(dòng)幅值k=0.1，誤差波動(dòng)幅值e=0.1時(shí)，兩對(duì)嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移隨嚙合頻率變化時(shí)的時(shí)間位移映像。由圖可見，在系統(tǒng)嚙合頻率變化的過程中，系統(tǒng)也出現(xiàn)了多處的跳躍現(xiàn)象，與圖5結(jié)果相似。同時(shí)在嚙合過程中，第1對(duì)嚙合齒輪的位移出現(xiàn)了小于間隙值的情況，輪齒發(fā)生脫嚙，而第2對(duì)嚙合齒輪則出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)位移接近-1的情況，此時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生齒背碰撞。二級(jí)齒輪減速器中的兩對(duì)相嚙合齒輪通過中間軸互相耦合，使得整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)特性非常復(fù)雜。

圖5 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移最大幅值云圖Fig.5 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different stiffness

圖6 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移時(shí)間映像Fig.6 Time image of torsional displacement

3.2 本體溫度、頻率與間隙耦合變化的影響

圖7為選擇不同的齒側(cè)間隙值（D=0.5，1.5）時(shí)，系統(tǒng)第1對(duì)嚙合齒輪和第2對(duì)嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)位移在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時(shí)的最大幅值云圖。選取不同的間隙值說明在較小間隙、較大間隙的情況下，系統(tǒng)的頻率和本體溫度耦合變化對(duì)系統(tǒng)的影響。由圖可見，當(dāng)間隙值較小時(shí)，第1對(duì)嚙合齒輪的振幅在本體溫度較低的時(shí)較小，而在本體溫度較高的范圍內(nèi)，振幅明顯增大，頻率對(duì)振幅跳躍的影響不明顯。第2對(duì)嚙合齒輪則在頻率較低的范圍內(nèi)，隨著本體溫度的增加，振幅變化不明顯，而當(dāng)ω≥1后，振幅的跳躍主要取決于本體溫度的變化，本體溫度越高，幅值響應(yīng)越劇烈。增大齒側(cè)間隙后，系統(tǒng)的振幅跳躍現(xiàn)象再次變得劇烈。較大的間隙值或者較小的間隙值都不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定工作。

圖7 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移最大幅值云圖Fig.7 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different backlash

圖8為兩對(duì)嚙合齒輪齒側(cè)間隙均為D=1.5，剛度波動(dòng)幅值k=0.1，誤差波動(dòng)幅值e=0.1時(shí)，兩對(duì)嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移隨嚙合頻率變化時(shí)的時(shí)間位移映像。從圖中可以看出，在間隙值為D=1.5時(shí)，隨著嚙合時(shí)間和頻率的變化，兩對(duì)嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)位移變化極不規(guī)律，說明兩對(duì)齒輪耦合對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)造成了很大影響。同時(shí)，兩對(duì)嚙合齒輪均出現(xiàn)了多處的脫嚙現(xiàn)象。第2對(duì)嚙合齒輪在ω=1附近出現(xiàn)了連續(xù)的較強(qiáng)響應(yīng)，說明此處振動(dòng)劇烈。

圖8 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移時(shí)間映像Fig.8 Time image of torsional displacement

3.3 本體溫度、頻率與誤差波動(dòng)幅值耦合變化的影響

圖9為選擇不同的誤差波動(dòng)幅值時(shí)，兩對(duì)嚙合齒輪在嚙合頻率和本體溫度耦合變化時(shí)的最大幅值云圖。從圖中可以看出，在誤差波動(dòng)幅值較小的時(shí)候，第1對(duì)嚙合齒輪間出現(xiàn)的最大扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅要明顯高于第2對(duì)嚙合齒輪間的最大扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅。在頻率較低的時(shí)候，第1對(duì)嚙合齒輪間的振幅出現(xiàn)了較強(qiáng)的響應(yīng)，且隨著本體溫度的增大，最大幅值越來越大。但總體看來，在誤差波動(dòng)幅值較小的時(shí)候，系統(tǒng)振幅較小，出現(xiàn)跳躍的地方不多。當(dāng)誤差波動(dòng)幅值增大到e=0.2時(shí)，在低頻范圍內(nèi)，系統(tǒng)幅值較小，且基本不隨本體溫度增大而增大，但在ω≥1.2后，系統(tǒng)的幅值響應(yīng)在大范圍里出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，且幅值響應(yīng)隨著本體溫度升高而急劇增大。當(dāng)誤差波動(dòng)幅值繼續(xù)增大至e=0.3時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)更為劇烈，第1對(duì)嚙合齒輪間出現(xiàn)的較強(qiáng)幅值響應(yīng)的參數(shù)區(qū)域急劇增大，第2對(duì)嚙齒輪間的幅值響應(yīng)較強(qiáng)的區(qū)域雖然小，但可以發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的最大幅值明顯增大。對(duì)比圖中各圖可以看出，本體溫度、嚙合頻率和誤差波動(dòng)幅值體現(xiàn)出強(qiáng)耦合關(guān)系。

圖9 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移最大幅值云圖Fig.9 Maximum amplitude nephogram of torsional displacement with different error

圖10為兩對(duì)嚙合齒輪齒側(cè)間隙均為D=1.0，剛度波動(dòng)幅值k=0.2，誤差波動(dòng)幅值e=0.3時(shí)，兩對(duì)嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移隨嚙合頻率變化時(shí)的時(shí)間位移映像。從圖中可以看出，當(dāng)誤差波動(dòng)幅值為e=0.3時(shí)，系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)位移波動(dòng)極為劇烈。在0.7≤ω≤1.2的頻率區(qū)間里，第1對(duì)嚙合齒輪的齒面沖擊現(xiàn)象嚴(yán)重，齒面嚙合與齒背碰撞交替發(fā)生，而在其他地方也多處出現(xiàn)了脫嚙現(xiàn)象。在1.2≤ω≤1.8的頻率區(qū)間里，第2對(duì)嚙合齒輪也出現(xiàn)齒面嚙合與齒背碰撞交替發(fā)生的現(xiàn)象，并且扭轉(zhuǎn)位移較大，同時(shí)也多處出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象。由圖9與10可以看出，兩級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)對(duì)誤差變化極為敏感，增大誤差會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)劇烈，動(dòng)力學(xué)特性更加復(fù)雜，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定工作極為不利。

圖10 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)位移時(shí)間映像Fig.10 Time image of torsional displacement

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)Block齒面閃溫理論得到齒面接觸溫度及其引起的輪齒齒廓形變隨時(shí)間變化的表達(dá)式。由Hertz接觸理論，推導(dǎo)出了齒面接觸溫度變化時(shí)的剛度變化表達(dá)式。通過剛度等效原理，得到由齒面接觸溫度變化產(chǎn)生的嚙合剛度（溫度剛度）。將溫度剛度與輪齒沖擊導(dǎo)致的嚙合剛度作為整體的時(shí)變嚙合剛度，建立考慮齒面接觸溫度的二級(jí)齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。

（2）通過數(shù)值計(jì)算，分析了摩擦系數(shù)、載荷對(duì)齒面閃溫的動(dòng)態(tài)影響。發(fā)現(xiàn)隨著摩擦系數(shù)、載荷的增大，產(chǎn)生的齒面閃溫也將升高。齒根部分與齒頂部分的閃溫增幅較高，更容易發(fā)生齒面膠合。

（3）計(jì)算結(jié)果顯示，齒面閃溫在齒根和齒頂嚙合時(shí)達(dá)到最大，而在節(jié)點(diǎn)附近接近于零。這表明本文的齒面閃溫計(jì)算方法能夠在一定程度上反映了齒輪嚙合時(shí)的溫度變化和滑動(dòng)情況，該方法具有一定的科學(xué)性，在計(jì)算齒面溫度變化時(shí)其基本規(guī)律是正確的。

（4）研究發(fā)現(xiàn)，本體溫度越高，幅值響應(yīng)越劇烈。較大或較小的間隙值、增大誤差對(duì)系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性不利。

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Nonlinear dynamic modelling and analysis of two-stage gear system with tooth contact surface temperature

GOU Xiang-feng1.2，QI Chang-jun2，ZHU Ling-yun1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

The flash temperature of tooth surface of driving gear and driven gear is calculated based on Block＇s flash temperature theory.The mathematic expression for the variation of the contact temperature of the tooth surface changing with time is derived and the tooth profile deformation caused by the change of contact temperature of the tooth surface is computed.The expression of the meshing stiffness which will be changed by the contact temperature of the tooth surface is derived based on Hertz contact theory.A nonlinear dynamic model of a two-stage spur gear system is established when the nonlinear factors such as the contact temperature of the tooth surface，the time-varying stiffness，the tooth surface friction，the backlash and the transmission error are considered.The dynamic characteristic of the system is analyzed，and the influence of the coefficient of friction and the load on the flash temperature of tooth surface is also analyzed under the condition of parameter coupling.The calculated results show that the maximum value of the flash temperature of tooth surface appears when the gear meshes at teeth top and teeth root and it reached to zero near the pitch point.It indicates that the model considering the effect of the flash temperature of gear tooth surface is correct and it can reflect the rules for the change of gear meshing temperature and sliding of gear tooth surface.

machinery dynamics；two-stage gear；temperature of tooth surface；dynamic characteristic；parameter coupling

TH113.1；TH132.417

：A

1004-4523（2015）05-0762-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.011

茍向鋒（1974—），男，教授。電話：15202217826；E-mail：20150022@tjpu.edu.cn

2014-01-16

：2015-02-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51365025，11462012）；甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1212RJZA070）