基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)算法

李軍成

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南婁底417000)

基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)算法

李軍成

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南婁底417000)

在利用分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng)時,現(xiàn)有方法大多是基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分,而基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的方法較少。為此,分析1～2階分?jǐn)?shù)階微分對圖像增強(qiáng)的作用,基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分構(gòu)造一種用于圖像增強(qiáng)的掩模算子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算子優(yōu)于常用的頻域法和空域法,比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子具有更好的圖像增強(qiáng)效果。

圖像處理;圖像增強(qiáng);分?jǐn)?shù)階微分;掩模算子;1～2階微分;0～1階微分

1 概述

圖像增強(qiáng)是圖像處理中的一個重要研究問題,也是改善圖像視覺效果的一個基本手段。由于圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)是圖像信息的重要組成部分,而圖像的銳化可增強(qiáng)圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)獲得更佳的視覺效果,因此圖像的銳化成為目前應(yīng)用最為廣泛的一種圖像增強(qiáng)方法[1]。常用的圖像銳化方法按作用域可分為頻域法和空域法2類,頻域法是在圖像的變換域中對圖像的變換值進(jìn)行操作后經(jīng)逆變換獲得增強(qiáng)結(jié)果,常用頻域法的有理想高通濾波器、Butteworth高通濾波器等;空域法則是直接在圖像平面中對圖像的像素灰度值進(jìn)行操作,常用的空域法有Laplacian算子等[2]。

近年來,隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論在圖像處理領(lǐng)域中的成功應(yīng)用[3-6],利用分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng)也成為一個研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]構(gòu)建了一種基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分的近似Tiansi微分算子,并將其應(yīng)用于圖像的增強(qiáng);文獻(xiàn)[8]提出了一種基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分的圖像紋理增強(qiáng)多尺度方法;文獻(xiàn)[9]根據(jù)近似分?jǐn)?shù)階Tiansi微分算子的作用特點(diǎn),提出了3種能較大程度增強(qiáng)圖像邊緣信息的改進(jìn)Tiansi微分算子;文獻(xiàn)[10]將四元素理論與分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行有機(jī)結(jié)合,提出了一種四元素分?jǐn)?shù)階方向微分的圖像增強(qiáng)方法;文獻(xiàn)[11]針對分?jǐn)?shù)階微分掩模的最佳分?jǐn)?shù)階階數(shù)需要人為指定這一缺陷,提出了一種自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)方法;文獻(xiàn)[12]針對分?jǐn)?shù)階Tiansi微分算子的不足,提出了一種用于圖像增強(qiáng)的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階掩模算子。由于分?jǐn)?shù)階微分不但可以較大程度地提升甚高頻信號,而且還能增強(qiáng)中頻信號,非線性保留甚低頻信號,因此利用分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng)時不但能明顯突出圖像的邊緣信息,而且還能使圖像的紋理細(xì)節(jié)表現(xiàn)得更加清晰;文獻(xiàn)[13-14]針對整數(shù)階微分對圖像紋理增強(qiáng)效果不明顯的問題,分別研究了可變階次的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)算法。

然而,現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)算法大多是基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分而建立,利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng)的研究并不多見。為此,本文分析1～2階分?jǐn)?shù)階微分對圖像的增強(qiáng)作用,提出一種基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)算法。

2 1～2階分?jǐn)?shù)階微分

分?jǐn)?shù)階微分也稱為非整數(shù)階微分,是整數(shù)階微分運(yùn)算的一種推廣。從不同的應(yīng)用角度分析問題可得到不同的分?jǐn)?shù)階微分定義。經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微分定義主要有Grümwald-Letnikov,Riemann-Liouville和Capotu定義[15]。由于Grümwald-Letniko定義是通過將經(jīng)典微分定義中的階數(shù)由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)推衍而來,在信號的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中表現(xiàn)得更為精確,因此成為圖像處理中較為常用的一種分?jǐn)?shù)階定義。

不失一般性,將函數(shù)s(x)的持續(xù)期[0,x]進(jìn)行N等分,共得N+1個節(jié)點(diǎn),這N+1個因果像素點(diǎn)的值分別記為:

將圖像的邊界作周期擴(kuò)展,對圖像中的非因果像素點(diǎn)進(jìn)行處理,即:

于是,基于Grümwald-Letniko定義可推導(dǎo)出函數(shù)s(x)的v階微分的差分近似公式為[16]:

若補(bǔ)充定義Γ(1)=01=1,則式(1)中的分?jǐn)?shù)階階次v的定義域可擴(kuò)充至1≤v≤2,此時將式(1)定義的分?jǐn)?shù)階微分稱為1～2階分?jǐn)?shù)階微分。

當(dāng)k=n≤N-1時,由式(1)可推導(dǎo)出二元函數(shù)f(x,y)在x方向和y方向上1～2階分?jǐn)?shù)階微分的前3項(xiàng)近似差分表達(dá)式可表示為:

不難驗(yàn)證,當(dāng)v=1時,式(2)與式(3)變?yōu)橐浑A微分的差分近似表達(dá)式,即:

當(dāng)v=2時,式(2)與式(3)變?yōu)槎A微分的差分近似表達(dá)式,即:

由此可見,1～2階分?jǐn)?shù)階微分是一階微分與二階微分的一種推廣。

3 微分算子對圖像增強(qiáng)的作用分析

將式(4)中的整數(shù)階微分算子Dk推廣為任意階微分算子Dv(v∈R+),則分?jǐn)?shù)階微分fv(t)在頻域的形式可表示為[7]:

由式(5)與式(6)可得一階、二階和1～2階分?jǐn)?shù)階微分對信號的幅頻特征曲線如圖1所示。

圖1 微分對信號的幅頻特征曲線

由圖1可知,隨著微分階數(shù)的增加,微分運(yùn)算對高頻信號的提升作用呈非線性的增長,同時,不同階數(shù)的微分運(yùn)算對低頻信號都有一定的削弱作用。一階微分運(yùn)算對甚高頻信號的提升作用明顯小于二階微分運(yùn)算,且對甚低頻信號的削弱作用也明顯大于二階微分。雖然1～2階分?jǐn)?shù)階微分對甚高頻信號的提升作用小于二階微分,但要大于一階微分,高頻信號得到了足夠程度的提升;同時,1～2階分?jǐn)?shù)階微分對中低頻信號有一定的增強(qiáng),且對甚低頻信號也進(jìn)行了較大程度的非線性保留。

圖像的銳化是目前應(yīng)用最為廣泛的一種圖像增強(qiáng)手段,它通過增強(qiáng)圖像的邊緣和紋理信息獲取更佳的視覺效果。由于整數(shù)階微分是圖像銳化中最為簡單通用的一種方法,而1～2階分?jǐn)?shù)階微分作為整數(shù)階微分的一種推廣,與整數(shù)階微分具有相似性,因此可用于圖像的銳化。另外,由微分對信號的作用分析可知,利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng)時,不僅可以較好地保留圖像平滑區(qū)域中的低頻輪廓信息,還可以非線性地增強(qiáng)圖像中的高頻邊緣信息及紋理細(xì)節(jié),其效果總體上要好于一階微分與二階微分。但也注意到,由于邊緣和噪聲都屬于高頻信號,當(dāng)圖像存在噪聲時,1～2階分?jǐn)?shù)階微分在增強(qiáng)邊緣信息的同時對噪聲也會有所增強(qiáng),因此,在實(shí)際應(yīng)用中,可先對圖像進(jìn)行去噪處理后再利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行圖像增強(qiáng),以獲得滿意的結(jié)果。

4 基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分模板的圖像增強(qiáng)

4.1 模板的近似構(gòu)造

由式(2)與式(3)可知,1～2階分?jǐn)?shù)階微分前3項(xiàng)近似差分表達(dá)式的系數(shù)可記為:

其中,1＜v＜2。

對于二維的數(shù)字圖像信號,從如圖2所示的8個方向近似構(gòu)造大小為3×3的1～2階分?jǐn)?shù)階微分銳化模板。

圖2 模板的8個方向

以式(7)中的ai(i=0,1,2)為元素構(gòu)造近似的銳化模板。首先,由于a1為f(x,y)的系數(shù),為了保證a1所在的坐標(biāo)與模板的中心坐標(biāo)(x,y)重合,以a1為中心分別將ai(i=0,1,2)按8個方向依次填充至大小為3×3的模板中,則模板的中心點(diǎn)系數(shù)為8a1,各領(lǐng)域點(diǎn)系數(shù)均為a0+a2;然后,將各系數(shù)除以8(a0+a1+a2)進(jìn)行歸一化處理,可得大小為3×3且各向同性的1～2階分?jǐn)?shù)階微分銳化模板W,如圖3所示。

圖3 1～2階分?jǐn)?shù)階微分銳化模板

4.2 模板的特性

將模板的中心點(diǎn)系數(shù)與領(lǐng)域點(diǎn)系數(shù)分別記為:

其圖形如圖4所示。由圖4可知,當(dāng)1＜v＜2時,f1(v)＞0,f2(v)＜0,且f1(v)+8f2(v)≡1,這表明1～2階分?jǐn)?shù)階微分銳化模板W與傳統(tǒng)整數(shù)階微分銳化模板具有類似的特點(diǎn),即:(1)模板具有旋轉(zhuǎn)同向性。(2)模板內(nèi)系數(shù)有正數(shù)亦有負(fù)數(shù),表示差分運(yùn)算。(3)模板內(nèi)所有系數(shù)之和等于1,表示對常數(shù)圖像進(jìn)行銳化處理時,其結(jié)果將保持不變;而對一般圖像進(jìn)行銳化處理時,其平均亮度將基本保持不變。

圖4 模板內(nèi)系數(shù)與參數(shù)v的關(guān)系

但與傳統(tǒng)整數(shù)階微分銳化模板不同的是,1～2階分?jǐn)?shù)階微分銳化模板W含有1個分?jǐn)?shù)階參數(shù)v,這個參數(shù)的取值對圖像邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)的增強(qiáng)具有重要作用。由圖4可看出,當(dāng)1＜v＜2時,隨著v的增大,模板的中心點(diǎn)系數(shù)先減小后增大,而模板的領(lǐng)域點(diǎn)系數(shù)則相反,這表明隨著v的增大,開始越突出領(lǐng)域點(diǎn)的重要程度,而后則越突出中心點(diǎn)的重要程度。因此,當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)v取不同值時,模板中心點(diǎn)與領(lǐng)域點(diǎn)的重要程度也不相同,于是,對于不同的圖像,用戶可通過調(diào)整分?jǐn)?shù)階參數(shù)v的取值獲得不同的增強(qiáng)效果。

4.3 增強(qiáng)算法

設(shè)大小為M×N的自然灰度圖像I(x,y),由于自然圖像不可避免地會含有噪聲,而1～2階分?jǐn)?shù)階微分模板在增強(qiáng)邊緣紋理信息的同時也會增強(qiáng)噪聲,因此在對自然圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理之前,可先進(jìn)行去噪處理。于是,利用1～2階分?jǐn)?shù)階微分模板進(jìn)行圖像增強(qiáng)的步驟為:

Step 1對圖像I(x,y)進(jìn)行去噪處理,得圖像f(x,y)。

Step 2適當(dāng)選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)v(1＜v＜2),確定1～2階分?jǐn)?shù)階微分模板W。

Step 3利用模板W對圖像f(x,y)進(jìn)行卷積運(yùn)算,得增強(qiáng)后的圖像g(x,y)=f(x,y)?W。

Step 4若增強(qiáng)圖像g(x,y)滿足要求,則輸出;否則,轉(zhuǎn)Step2。

在利用1～2階分?jǐn)?shù)階銳化模板對大小為M×N的灰度圖像進(jìn)行銳化處理時,為了保證3×3的模板能套住原圖像的像素點(diǎn),圖像的四周不做處理,即一般是從原圖像的第2行第2列的像素點(diǎn)開始逐點(diǎn)移動模板進(jìn)行計算,直至第M-1行第N-1列的像素點(diǎn)。

顯然,在利用本文算法進(jìn)行圖像增強(qiáng)時,分?jǐn)?shù)階參數(shù)v的取值決定了圖像的增強(qiáng)效果。在實(shí)際應(yīng)用中,可先對分?jǐn)?shù)階參數(shù)v賦予一個適當(dāng)?shù)臄?shù)值,若所獲得的增強(qiáng)圖像不滿意,則將v的取值作適當(dāng)修改,直到滿意為止。

所謂獲得滿意的增強(qiáng)圖像,可從主觀和客觀2個角度進(jìn)行評價,而分?jǐn)?shù)階參數(shù)v的取值應(yīng)盡可能同時使主觀和客觀評價都滿意為好。在進(jìn)行主觀評價時,一方面可憑人眼觀察是否獲得了較好的視覺效果,另一方面可利用邊緣檢測算子對增強(qiáng)圖像進(jìn)行邊緣檢測,觀察圖像的邊緣信息和局部細(xì)節(jié)都是否有所加強(qiáng);在進(jìn)行客觀評價時,可引入平均梯度[17]對增強(qiáng)圖像進(jìn)行定量分析。平均梯度越大,則表明圖像的層次越多,也就越清晰?；叶葦?shù)字圖像I的平均梯度G(I)的計算公式分別為:

其中,f(i,j)為圖像第i行第j列的灰度值;M與N分別為圖像的總行數(shù)和總列數(shù)。

因此,在實(shí)際應(yīng)用中,可首先依據(jù)式(8)計算出當(dāng)v在區(qū)間(1,2)內(nèi)取不同值(步長一般可取為0.1)時增強(qiáng)圖像的平均梯度,找出2～3個相對較大平均梯度所對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階參數(shù)v,然后輸出這些分?jǐn)?shù)階參數(shù)所對應(yīng)的增強(qiáng)圖像及其邊緣檢測結(jié)果,最終判斷出視覺效果最佳的增強(qiáng)圖像。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在PC機(jī)上(CPU:Pentium T4400,RAM:2 GB, OS:WIN7 Basic)利用Matlab7.0軟件進(jìn)行圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)。

5.1 分?jǐn)?shù)階參數(shù)對圖像增強(qiáng)效果的影響實(shí)驗(yàn)

以circuit圖為例,對比觀察當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)v取不同值時本文算法的圖像增強(qiáng)效果,其中對圖像所采用的去噪算法是Matlab7.0自帶的3×3自適應(yīng)Wiener濾波函數(shù)(下同)。依據(jù)式(8)分別計算得circuit原圖的平均梯度為5.998 7,當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)v在區(qū)間(1,2)內(nèi)取不同值(步長取0.1)時增強(qiáng)circuit圖的平均梯度,如表1所示。

表1 參數(shù)v取不同值時增強(qiáng)pout圖的平均梯度

由表1可知,當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)v取不同值時,增強(qiáng)circuit圖的平均梯度都得到了較大程度的提高,且當(dāng)v=1.1,1.8,1.9時增強(qiáng)circuit圖的平均梯度相對較大,其對應(yīng)的增強(qiáng)圖像如圖5所示,利用Sobel算子對圖5中各圖進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果如圖6所示。

圖5 參數(shù)v取不同值時的增強(qiáng)circuit圖

圖6 增強(qiáng)circuit圖的邊緣檢測結(jié)果

由圖5與圖6可看出,當(dāng)v=1.9時所獲得的增強(qiáng)圖像出現(xiàn)了過亮的現(xiàn)象,且邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)的退化程度較為嚴(yán)重;當(dāng)v=1.1與v=1.8時,本文算法獲得的增強(qiáng)效果基本相當(dāng),增強(qiáng)圖像都比原圖具有更佳的視覺效果,且都能較好地增強(qiáng)圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié),但由表1可知v=1.8時增強(qiáng)圖像的平均梯度要大于v=1.1時的情況。綜上分析,利用本文算法對circuit圖進(jìn)行圖像增強(qiáng)時,最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)應(yīng)取為v=1.8。

由于不同圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)不同,最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)的取值也不同,因此在實(shí)際應(yīng)用中,要根據(jù)不同的圖像綜合利用客觀與主觀評價方法選取最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù),以獲得最佳的圖像增強(qiáng)效果。

5.2 不同算法的圖像增強(qiáng)效果對比實(shí)驗(yàn)

為了對比不同算法的圖像增強(qiáng)效果,分別利用頻域法中的Butteworth高通濾波器、空域法中的二階Laplacian算子、0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子中的Tiansi算子[7]和改進(jìn)Tiansi算子[12]以及本文算法對pout圖(如圖6(a)所示)進(jìn)行圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)。其中, Tiansi算子的最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=0.7,改進(jìn)Tiansi算子的最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=0.5,本文算法的最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)取v=1.8。這里,所謂最佳分?jǐn)?shù)階參數(shù)指的是客觀與主觀兩方面同時獲得最佳增強(qiáng)效果是的參數(shù)。5種不同算法獲得的增強(qiáng)pout圖如圖7所示,利用Sobel算子對增強(qiáng)pout圖進(jìn)行邊緣檢測的結(jié)果如圖8所示。由圖7與圖8可看出,相對于其他4種算法,本文算法所獲得的增強(qiáng)圖像具有更佳的視覺效果,且能更好地增強(qiáng)圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)。

圖7 不同算法對pout圖的增強(qiáng)效果

圖8 不同算法所得增強(qiáng)pout圖的邊緣檢測結(jié)果

為定量比較5種算法對pout圖的增強(qiáng)效果,依據(jù)式(8)計算得pout原圖的平均梯度為2.4821,不同算法所得增強(qiáng)pout圖的平均梯度如表2所示。

表2 不同算法對pout圖進(jìn)行增強(qiáng)處理的平均梯度

由表2可知,本文算法所得增強(qiáng)圖像的平均梯度明顯要高于其他4種算法,這也表明本文算法可將圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)表現(xiàn)得更加清晰。

綜上所述,本文算法的圖像增強(qiáng)效果不僅優(yōu)于頻域法中常用的Butteworth高通濾波器和空域法中常用的二階Laplacian算子,而且也比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子更具優(yōu)勢。

在時間復(fù)雜度方面,由于本文算法先對圖像進(jìn)行去噪處理,然后利用3×3的掩模算子進(jìn)行圖像增強(qiáng),其復(fù)雜度要略高于Laplacian算子、Tiansi算子[7]及改進(jìn)的Tiansi算子[12],但要低于Butteworth高通濾波器,因此本文算法的時間復(fù)雜度是符合實(shí)際需要的。

6 結(jié)束語

本文主要論述了一種基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)算法。當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)取定適當(dāng)時,該算法獲得的圖像增強(qiáng)效果不僅優(yōu)于常用的頻域法和空域法,而且比現(xiàn)有的一些0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子更具優(yōu)勢,為圖像的增強(qiáng)提供了一種有效的方法。由于1～2階分?jǐn)?shù)階微分模板的分?jǐn)?shù)階參數(shù)需要人為設(shè)定,對于實(shí)時性要求較高的場合不太適用,因此如何根據(jù)圖像的特點(diǎn)自適應(yīng)選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)值將是進(jìn)一步的研究方向。

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編輯 顧逸斐

Image Enhancement Algorithm Based on 1～2 order Fractional Differential

LI Juncheng
(Department of Mathematics,Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi 417000,China)

The present fractional differential methods for image enhancement are mostly constructed based on 0～1 order fractional differential.There are rare papers discussing the image enhancement based on1～2 order fractional differential.This paper analyses the effect of1～2 order fractional differential to image enhancement,and constructs a mask operator for image enhancement based on1～2 order fractional differential.Experimental results demonstrate that the presented operator not only has better image enhancement results than the commonly used frequency domain methods and spatial domain methods,but also has better image enhancement results than some present 0～1order fractional differential operators.

image processing;image enhancement;fractional differentiation;mask operator;1～2 order differential;0～1order differential

李軍成.基于1～2階分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)算法[J].計算機(jī)工程,2015,41(2):209-214.

英文引用格式:Li Juncheng.Image Enhancement Algorithm Based on1～2 order Fractional Differential[J].Computer Engineering,2015,41(2):209-214.

1000-3428(2015)02-0209-06

:A

:TP391

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.02.040

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ6081);湖南人文科技學(xué)院省級重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科基金資助項(xiàng)目。

李軍成(1982-),男,講師、博士研究生、CCF會員,主研方向:數(shù)字圖像處理,計算機(jī)輔助幾何設(shè)計。

2014-03-14

:2014-05-01E-mail:lijuncheng82@126.com