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    線性代數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用實(shí)例

    2015-01-06 05:30:23靳寶霞廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院
    大陸橋視野 2015年20期
    關(guān)鍵詞:特效藥配平市區(qū)

    靳寶霞/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

    線性代數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用實(shí)例

    靳寶霞/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

    線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,特別是電子計(jì)算機(jī)使用的日益普遍,作為重要的數(shù)學(xué)工具之一,線性代數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)深入到了自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等各個(gè)領(lǐng)域。但是對(duì)于剛接觸線性代數(shù)的大多數(shù)學(xué)生而言,仍然感到其理論比較枯燥,不知道學(xué)習(xí)線性代數(shù)到底能用到生活中的哪些地方,本文將舉出幾個(gè)其在實(shí)際生活中的例子來展示線性代數(shù)應(yīng)用的廣泛性,同時(shí)也能更好的加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

    線性代數(shù); 矩陣; 方程組

    1 交通問題

    四個(gè)城市的單向航線圖如下

    2 藥方配置問題

    問題:某中藥廠用九種中草藥(A-I)根據(jù)不同的比例配制成了7中特效藥,各用量成份見表一(單位:克)

    ?

    (1)某醫(yī)院要購買這七種特效藥,但藥廠的第3號(hào)藥和第6號(hào)藥已經(jīng)賣完,請(qǐng)問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品?

    (2)現(xiàn)在醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥,表2給出了三種新的特效藥的成份,請(qǐng)問能否配制?如何配制?

    1號(hào)新藥2號(hào)新藥3號(hào)新藥A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 80 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30

    解:(1)把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量,分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。

    若向量組線性無關(guān),則無法配制脫銷的特效藥;

    若向量組線性相關(guān),并且能找到不含 u3,u6的一個(gè)最大線性無關(guān)組,則可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品。

    經(jīng)計(jì)算該向量組線性相關(guān),一個(gè)最大無關(guān)組為u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2,u6=3u2+u4+u5.所以可以配置處這兩種脫銷的藥品。

    (2)三種新藥用v1,v2,v3表示,問題化為v1,v2,v3能否由u1—u7線性表示,若能表示,則可配制;否則,不能配制。

    經(jīng)計(jì)算可得:v1=u1+3u2+2u4,v2=3u1+4u2+2u4+u7,v3則不能被線性表示,所以無法配藥。

    3 產(chǎn)品成本的計(jì)算

    某廠生產(chǎn)三種成品,每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)已知。試提供該廠每季度在每種產(chǎn)品上的成本表。

    解 將M和P相乘,得到的矩陣設(shè)為Q,Q的第一行第一列元素為Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

    不難看出,Q表示了夏季消耗的原材料總成本。

    4 人口遷徙模型

    設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ摹H丝诘姆植紕t因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住,而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時(shí)有30%的居民住在市區(qū),70%的居民住在郊區(qū),問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少?30年、50年后又如何?

    解 這個(gè)問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示。

    從初始到k年,此關(guān)系保持不變,因此上述算式可擴(kuò)展為

    經(jīng)Mablab計(jì)算可得:

    當(dāng)無限增加時(shí)間k,市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。

    5 化學(xué)方程的配平

    試確定x1,x2,x3,x4,配平上面化學(xué)方程式。

    解 使方程兩邊原子數(shù)相同稱為方程式的配平。則可得到下列方程

    寫成矩陣方程為

    以上是幾個(gè)簡單的能用線性代數(shù)的知識(shí)解決的案例,其中比較復(fù)雜的計(jì)算可用數(shù)學(xué)軟件Matlab來解決,隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展,線性代數(shù)的應(yīng)用會(huì)越來越多,越來越簡單。

    【1】線性代數(shù)∕段復(fù)建主編.— 北京:科學(xué)出版社,2010.

    【2】線性代數(shù)的應(yīng)用 西安理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.

    【3】黃玉梅,彭濤.線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用典型案例 蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)

    2014年廣西高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目《數(shù)學(xué)軟件在獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)類課程中的應(yīng)用研究與實(shí)踐》(項(xiàng)目編號(hào):2014JGZ192);2015年廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展專項(xiàng)項(xiàng)目《公共數(shù)學(xué)課“教、學(xué)、評(píng)”的研究與實(shí)踐》(項(xiàng)目編號(hào):2015ZXZD004)。

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