復合多層RBF網(wǎng)絡及其在偏微分方程數(shù)值解中的應用

徐光魯，莊 健

(安徽工業(yè)大學商學院，安徽馬鞍山243032)

復合多層RBF網(wǎng)絡及其在偏微分方程數(shù)值解中的應用

徐光魯，莊 健

(安徽工業(yè)大學商學院，安徽馬鞍山243032)

針對多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡具有很高的實函數(shù)逼近能力，但每個聚類上的逼近精度不高的特點，通過引進子網(wǎng)絡，構(gòu)造復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡。模擬實驗表明：這種網(wǎng)絡可提高逼近精度，尤其對于實函數(shù)逼近精度更高；將該網(wǎng)絡應用于偏微分方程的求解,可以克服傳統(tǒng)徑向基函數(shù)插值法因為引入導數(shù)邊界條件而精度大幅下降的缺點，使得數(shù)值解的精度提高3～4個數(shù)量級。

子網(wǎng)絡；復合多層RBF網(wǎng)絡；數(shù)值解；偏微分方程

無網(wǎng)格法[1-2]是近20年來發(fā)展起來的求偏微分方程數(shù)值解的新方法。該方法無需像有限元法那樣對區(qū)域進行網(wǎng)格化，因此可以用于有限元法失效的場合，如模擬裂縫的隨機延生、區(qū)域和邊界不規(guī)則、三維以上空間而難以網(wǎng)格化的場合以及物體動態(tài)變形使網(wǎng)格嚴重扭曲以致誤差很大的場合等。

徑向基函數(shù)的插值法是無網(wǎng)格法的一種，它的最大特點是與維數(shù)無關(guān)，可以用于高維的場合。該方法首先由Kamsa[3]、Chen和Golberg[4]提出，之后Hon和Wu[5-6]作了許多有益的工作。但該方法的缺點是在許多情況下精度不高[7-8]，導數(shù)邊界條件難處理以及求逆矩陣時條件數(shù)過大等問題。Liu和Gu[1]提出的強式和弱式相結(jié)合的方法雖然在一定程度上解決了導數(shù)邊界條件的問題，但這種方法不是完全意義上的無網(wǎng)格法。

基于徑向基函數(shù)的插值法的無網(wǎng)法由于其無需網(wǎng)格化，適用于任意區(qū)域，任意邊界和任意維空間。該方法吸引國內(nèi)許多研究者[7-10]，其中文獻[7]找出MQ擬插值算法中形狀參數(shù)必須滿足的條件，解決了這類插值問題中形狀參數(shù)難以確定的問題；文獻[8]在Wu提出的徑向基函數(shù)的擬插值方法的基礎上提出新的動點算法，其精度比Wu的方法更高；文獻[9]對移動最小二乘法的無網(wǎng)格法作了改進，解決這種方法引入邊界條件難的問題；文獻[10]鑒于有限元法存在色散問題，將基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法用于聲學問題，取得良好的效果。本文提出一種復合徑向基函數(shù)網(wǎng)絡，它由多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡[11]和改進的多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡[12]改進而來的，以提高算法的逼近精度。

1 復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡

1.1 多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡

(1)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) 多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡[11-12]由多個單層徑向函數(shù)網(wǎng)絡構(gòu)成，其在第1層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡的基礎上再用第2層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡去擬合第1層網(wǎng)絡的殘差函數(shù)，然后將得到的殘差函數(shù)和第1層的擬合結(jié)果相加得到整個網(wǎng)絡的總輸出；再在2層網(wǎng)絡的基礎上，用第3層網(wǎng)絡去擬合2層網(wǎng)絡的擬合殘差函數(shù)，如此進行下去，得到高精度的多層徑向函數(shù)網(wǎng)絡。

(2)層數(shù)的確定給定一個充分小的正數(shù)ε。記第k層的廣義交叉率為GCVk。如果則計算擬合誤差，繼續(xù)構(gòu)造第k+1層網(wǎng)絡；如果，就放棄這一層網(wǎng)絡，保留k-1層網(wǎng)絡。廣義交叉率GCV按下式計算

權(quán)重的確定方法為

1.2 復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡

為進一步提高多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡的實函數(shù)逼近能力，將聚類中的每個樣本皆看成一個徑向基函數(shù)的中心，這樣一個樣本對應一個徑向基函數(shù)，這些徑向基函數(shù)共同逼近這個聚類上的實函數(shù)，精度就會有很大的提高。

1.3 自適應遺傳算法

文中采用自適應遺傳算法采用浮點數(shù)編碼，每個染色體具有1個向量，對應寬度系數(shù)。自適應遺傳算法的目標函數(shù)是GCV，適應度函數(shù)是GCV的倒數(shù)。交叉操作采用均勻交叉，變異操作采用均勻變異，由于均勻交叉和均勻變異操作對樣本的“破壞”較大，所以交叉概率和變異概率采用自適應方法，根據(jù)適應度值所確定的概率分布選擇生存的個體和淘汰的個體。

2 偏微分方程的求解

先構(gòu)造網(wǎng)絡的第1層。將區(qū)域內(nèi)的樣本點和邊界上的樣本點混合，作增廣樣本，用k-mean法對其進行聚類，得到m1個增廣聚類，由增廣聚類得到m1個樣本聚類。假設第i個樣本聚類有個樣本，其中區(qū)域內(nèi)樣本個，各邊界上的樣本分別為個。將每個樣本作為徑向基函數(shù)，按上述的用基本多層徑向基函數(shù)求偏微分方程數(shù)值解的方法構(gòu)造一個子網(wǎng)絡。這樣共得到m1個子網(wǎng)絡。將各子網(wǎng)絡綜合起來便得到第1層網(wǎng)絡。用同樣的方法構(gòu)造其余網(wǎng)絡，得到整個復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡。當網(wǎng)絡的輸入為區(qū)域或邊界上的點時，輸出為偏微分方程的解的近似值。

3 計算仿真

在區(qū)域內(nèi)取1 600個樣本點，在4條邊界線上各取100個樣本點。每層網(wǎng)絡的聚類個數(shù)為40。遺傳算法的種群個數(shù)取40，最大進化代數(shù)取100。訓練結(jié)果每層的訓練誤差（均方根誤差）及其對比見表1。

由表1可以看出，隨著層數(shù)的增加，方根誤差逐漸減小。特別是第2層，誤差比第1層減小一個數(shù)量級。復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡要比未改進的多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡小3～4個數(shù)量級。

表1 每層的訓練誤差均方根誤差及其對比Tab.1 Comparison of every layer of RMSE

數(shù)值解和解析解的相對誤差，按下式計算

表2給出了幾種方法的相對誤差結(jié)果比較，PPCM模型結(jié)果引自參考文獻[13]，可見復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡的有效性。

表2 解析解與數(shù)值解的相對誤差對比Tab.2 Comparison of numerical solution and analytic solution

4 結(jié) 論

本文提出復合多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡并將其用于求偏微分方程的邊值問題的數(shù)值解。仿真計算結(jié)果表明，用該網(wǎng)絡求解偏微分方程的邊值問題，具有更高的精度，其精度要比基本多層徑向基函數(shù)網(wǎng)絡高3～4個數(shù)量級，比PPCM方法高5個數(shù)量級，且不存在導數(shù)邊界條件問題，因而這是一種有效的求偏微分方程數(shù)值解的無網(wǎng)格法方案。

[1]Liu G R,Gu YT.無網(wǎng)格法理論及程序設計[M].王建明，周學軍，譯.濟南：山東大學出版社，2007:137-143.

[2]張雄，劉君.無網(wǎng)格法[M].北京：清華大學出版社，2004:241-256.

[3]Kansa E J.Multiquadrics—a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics—I surface approximations and partial derivative estimates[J].Computers and Mathematics withApplications,1990,19(8/9):127-145.

[4]Golberg M A,Chen C S,Bowman H.Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM[J].EngineeringAnalysis with Boundary Elements,1999,23(4):285-296.

[5]Hon Y C,Schaback.On unsymmetric collocation by radial basis functions[J].Applied Mathematics and Computation,2001,119 (2/3):177-186.

[6]Hon Y C,Wu Z M.A quasi-interpolation method for solving still ordinary differential equations[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2000,48(8):1187-1197.

[7]馬利敏.徑向基函數(shù)逼近中的若干理論、方法及其應用[D].上海：復旦大學，2009.

[8]高欽嬌.利用徑向基函數(shù)進行微分方程數(shù)值解的動點算法研究與應用[D].上海：復旦大學，2012.

[9]王雙.基于徑向基配點型無網(wǎng)格方法的內(nèi)部聲學問題研究[D].武漢：華中科技大學，2013.

[10]任紅萍.插值型無網(wǎng)格方法研究[D].上海：上海大學，2010.

[11]Zhuang J,Jiang H F,Wu R L.Multi layer RBF network for real functions approximation and nonlinear regression[C/CD]// Scientific Research Public Proceedings of 2011 International Symposium on Statistics and Management Science,Chongqing: Scientific Research Public,2011.

[12]盛飛，莊健.多層RBF網(wǎng)絡的自適應遺傳算法及其在實函數(shù)逼近中的應用[J].安徽工業(yè)大學學報：自然科學版，2013, 30(2):192-202.

[13]Lin X,Liu G R,Tai K,et al.Radial point interpolation collocation method for the solution of partial differential equations[J].Computers and Mathematics withApplications,2005,19(2):1034-1047.

責任編輯：丁吉海

Compound Multilayer RBF Network and ItsApplication to Numerical Solution to Partial Differential Equations

XU Guanglu,ZHUANG Jian
(School of Business,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Multilayer radial basis function network has high ability for real function approximation.But approximation accuracy of each cluster is not high.By introducing sub-RBF network,compound multilayer radial basis function network was constructed.Computer simulation experiment confirmed that with this constructed compound multilayer RBF network the approximation accuracy is improved,especially for real function approximation.When used to solve the numerical solution of partial differential equations,it can overcome the defect of inaccuracy of traditional radical RBF with introducing derivative boundary conditions,and the accuracy of numerical solution is improved by 3-4 orders of magnitude.

subnetwork;compound multilayer RBF network;numerical solution;partial differential equations

O241.82

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.015

2014-09-18

徐光魯(1990-)，男，山東聊城人，碩士生，研究方向為數(shù)理統(tǒng)計。

莊健(1957-)，男，上海市人，博士，研究員，研究方向為數(shù)理統(tǒng)計與機器學習。

1671-7872(2015)-01-0076-05