關(guān)于可列非齊次馬氏鏈泛函滑動平均的一類強極限定理

吳 玉，崔 影，范愛華

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

關(guān)于可列非齊次馬氏鏈泛函滑動平均的一類強極限定理

吳 玉，崔 影，范愛華

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

用分析的方法研究可列非齊次馬氏鏈泛函的極限性質(zhì)。首先利用漸近對數(shù)似然比作為連續(xù)型隨機序列相對獨立隨機序列的偏差的一種隨機性度量，構(gòu)造幾乎處處收斂的上鞅，再由B-C引理，得到關(guān)于可列非齊次馬氏鏈泛函滑動平均的一類強極限定理，并推廣了經(jīng)典結(jié)果。

可列非齊次馬氏鏈；泛函；B-C引理；強極限定理

馬爾科夫過程是隨機過程中歷史最悠久且最為重要的一類隨機過程，它為信息科學(xué)、管理科學(xué)以及金融決策等各個領(lǐng)域提供了強有力的數(shù)學(xué)工具。自1907年蘇聯(lián)科學(xué)家Markov引出馬爾科夫鏈概念以來，人們對馬氏鏈的研究已經(jīng)形成了較為完整的理論體系，取得了豐富的研究成果。近年來，關(guān)于非齊次馬氏鏈的研究引起了許多學(xué)者的廣泛的興趣，如：文獻(xiàn)[1]研究了隨機環(huán)境中馬氏鏈的一類強極限定理，推廣了在隨機環(huán)境中馬氏鏈的泛函極限定理的結(jié)果；文獻(xiàn)[2]研究關(guān)于獨立同分布隨機序列的極限定理，得到了獨立同分布隨機序列滑動平均的熵定理和中心極限定理；文獻(xiàn)[3]研究非齊次馬氏鏈函數(shù)的強大數(shù)定律，并且給出了直接加于鏈和過程樣本函數(shù)上的充分條件；文獻(xiàn)[4-5]研究一類對可列非齊次馬氏鏈普遍成立的強大數(shù)定理，且在幾乎處處收斂的條件下，給出了任意非齊次馬氏鏈狀態(tài)序偶出現(xiàn)頻率和轉(zhuǎn)移概率的一種關(guān)系；文獻(xiàn)[6]中給出了可列非齊次馬氏鏈M元狀態(tài)序組出現(xiàn)頻率的一類強極限定理，所得的結(jié)論對任意可列非齊次馬氏鏈普遍成立；文獻(xiàn)[7]中通過構(gòu)造新的概率密度函數(shù)，在適當(dāng)?shù)南拗茥l件下建立了幾乎處處收斂鞅，得到了關(guān)于非負(fù)隨機序列和的強大數(shù)定律和一類隨機偏差定理；文獻(xiàn)[8-9]研究了可列非齊次馬氏鏈泛函的強大數(shù)定律。上述文獻(xiàn)利用純分析的方法討論了馬氏鏈的極限性質(zhì)，推廣了相關(guān)的結(jié)論。本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，用分析的方法研究可列非齊次馬氏鏈的泛函的極限性質(zhì)，以得到非齊次馬氏鏈泛函滑動平均的一個強大數(shù)定律，并對經(jīng)典強大數(shù)定律加以推廣。

1 預(yù)備知識

定義1隨機過程{Xn,n=1,2,…}稱為Markov鏈，若它只取有限或可列個值，并稱它們是過程的狀態(tài)，{1,2,…}或其子集記為S，稱為過程的狀態(tài)空間。對任意的n≥0以及狀態(tài)i0,i1,…,in-1,in，有

式(1)刻畫了Markov鏈的特性，稱為Markov性。

定義2設(shè){Xn,n≥0}是狀態(tài)空間為S={0,1,2,…}的非齊次馬氏鏈，{fn(x),n≥0}是定義在S上的一列實值函數(shù)，稱隨機過程

為非齊次馬氏鏈{Xn,n≥0}的泛函。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè){Xn,n≥1}是非齊次馬氏鏈，其初始分布與轉(zhuǎn)移矩陣分別為

其中 pn(i,j)=P(Xn+1=j|Xn=i)。

推論1設(shè){Xn,n≥1}是獨立隨機變量序列，{an,n≥0}是一列非負(fù)有界整數(shù)列，若D2為滿足下列條件的點ω的全體：

[1]武曉敏，楊衛(wèi)國.隨機環(huán)境中馬氏鏈的一類強極限定理[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008,25(1):100-103.

[2]簡旭，吳玉，范愛華.關(guān)于獨立同分布隨機序列的若干極限定理[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014,31(2):209-211.

[3]朱成喜，陳俊雅，魏文元.非齊次馬氏鏈函數(shù)的強大數(shù)定律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，1988,31(4):464-474.

[4]汪忠志，楊衛(wèi)國.一類對可列非齊次Markov鏈普遍成立的強大數(shù)定律[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2011,28(5):702-706.

[5]Yang W G.Convergence in the Cesàro sense and strong law of large numbers for nonhomogeneous Markov chains[J].Linear Algebra and itsApplications,2002,354(1/2/3):275-288.

[6]金少華.可列非齊次馬氏鏈的一個強極限定理[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，1997,10(1):42-45.

[7]Wang Z Z.A class of random deviation theorems for sums of nonnegative stochastic sequences and strong law of large numbers [J].Statistics&Probability Letters,2006,76(18):2017-2026.

[8]Liu W.Relative entropy densities and a class of limit theorems of the sequence of m-valued random variables[J].The Annals of Probability,1990,18(2):829-839.

[9]Liu G X,Liu W.On the strong law of large numbers for functional of countable nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Processes and theirApplications,1994,50(2):375-391.

責(zé)任編輯：丁吉海

Some Limit Theorems on MovingAverage of Functions for Countable Non-homogeneous Markov Chains

WU Yu,CUI Ying,FANAihua
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Based on asymptotic method,some limit properties of non-homogeneous Markov chains are studied.Firstly,asymptotic logarithmic likelihood ratio is used as a random measure of deviation between a sequence of continuous random variables and independent ones.Then,by constructing an almost everywhere convergence super-martingale and Borel-Cantelli lemma,a class of strong limit theorems on moving average of functions for countable non-homogeneous Markov chains are obtained.The classical results are generalized.

non-homogeneous Markov chain;functional;B-C lemma;strong limit theorem

O211.3

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.016

2014-05-09

安徽工業(yè)大學(xué)青年教師科研基金(QZ201314)；安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(2013093)

吳玉(1991-)，女，安徽廬江人，碩士生，研究方向為概率論及其應(yīng)用。

范愛華(1964-)，女，安徽安慶人，教授，研究方向為概率論極限理論。

1671-7872(2015)-01-0081-04