時滯Lurie控制系統(tǒng)的參數(shù)絕對穩(wěn)定性

許 超 滕文君

（山東中醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校公共基礎(chǔ)部，山東 煙臺264199）

0 問題描述

考慮如下的Lurie控制系統(tǒng)

這里x（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u為系統(tǒng)的控制向量，y為系統(tǒng)的輸出向量；參考輸入r∈Rl，為包含原點的緊的單連通區(qū)域R上的常向量。A（p），Ad（p），B（p），C（p），D（p）是具有適當(dāng)維數(shù)的參數(shù)矩陣，且關(guān)于參數(shù)p是連續(xù)的，假設(shè)參數(shù)p屬于緊的單連通集p∈P，對所有的p∈P，A（p），B（p）是可鎮(zhèn)定的。

系統(tǒng)（1）的初始條件為：

假設(shè)（1）：非線性函數(shù)φ（e（t））：Rl→Rl是連續(xù)可微且滿足φ（0）=0且（Dφ（e））T=Dφ（e），?e∈Rl（2）

其中Dφ（e）表示φ（e）的雅可比矩陣。

假設(shè)（2）：考慮誤差e=0的鄰域E，假設(shè)鄰域e是由參數(shù)輸入r決定的控制誤差e的可能的平衡點區(qū)域，且對?e?∈E，?e∈Rl區(qū)域條件為：

本文考慮如下的線性反饋狀態(tài)控制器

得到閉環(huán)控制系統(tǒng)

顯然當(dāng)參考輸入向量r=0時，對任意的p∈P，原點是該系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，但當(dāng)r≠0時，由于系統(tǒng)的線性部分與非線性部分的不確定性，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不是原點且變得未知。因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅依賴于參考輸入r同時也依賴于參數(shù)p，因此做如下定義：

定義1：對于閉環(huán)控制系統(tǒng)（6），若對任意向量（r，p）∈R×P和滿足假設(shè)1和假設(shè)2的非線性φ（e），下列條件成立：

（1）存在唯一平衡狀態(tài)xe（r，p）且對應(yīng)的控制誤差ee（r，p）∈E，

（2）平衡狀態(tài)xe（r，p）是全局漸進穩(wěn)定的，

則稱閉環(huán)Lurie系統(tǒng)（6）是參數(shù)穩(wěn)定的。

本文的目標(biāo)是找控制器（5）使得閉環(huán)控制系統(tǒng)（6）參數(shù)絕對穩(wěn)定。

1 平衡點的分析

對任意參數(shù)（r，p）∈R×P，Lurie系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe（r，p）是如下方程

引理1：對于方程f（z，r）=0，若對（z*，r*）∈Rn+m×R，有f（z*，r*）=0且存在正數(shù)h＞0，使得

則對于任意r∈R，方程f（z，r）=0有解ze（r）。

定理1：若對于p∈P，存在適當(dāng)維數(shù)的對稱矩陣X=X（p）和閉環(huán)控制器k1，k2，使得不等式成立

則對任意參數(shù)（r，p）∈R×P和任意滿足條件（8）的非線性函數(shù)φ（e），方程存在解

其中x2（p）是矩陣x（p）的最下面的m行構(gòu)成的子塊，｜｜·｜｜表示歐幾里德模，λmin[·]表示最小特征值。

由于R（p）＞0，故

最后，對于任意參數(shù)（r，p）∈R×P計算平衡點ee（r，p）的存在區(qū)域Ee（r，p）。令z=ze（r），由方程f（ze（r），r）=0得

2 穩(wěn)定性分析

令（r，p）∈R×P是任意固定的參數(shù)向量，且xe（r，p）是閉環(huán)系統(tǒng)（6）的平衡狀態(tài)，則下列系統(tǒng)與（6）等價

顯然系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe（r，p）的穩(wěn)定性與系統(tǒng)（12）的平衡狀態(tài)=0的穩(wěn)定性等價。

引理2：對任意適維向量a，b和矩陣N，X，Y，Z，其中X和Z是對稱的。若

假定存在正定矩H(r,p)，對稱矩陣Q，X，Z和矩陣Y

則系統(tǒng)可以改寫為：

V1關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)為

應(yīng)用引理2得

定理2：若對任意的p∈P，存在（n+m）×（n+m）矩陣X（p），使得（10）成立，且對任意參考輸入r∈R，有Ee（r，p）?E，對任意參數(shù)（r，p）∈R×P，存在正定矩陣H（r，p），對稱矩陣Q，X，Z和矩陣Y，使得

其中M=H（r，p）E（p）+ET（p）H（r，p）+Y+YT+dX+Q

E（p）=A（p）+B（p）k1

F（p）=Ad（p）+B（p）k2

則Lurie控制系統(tǒng)（1）是參數(shù)絕對穩(wěn)定的。

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