二元復(fù)合重心有理插值

侯中麗，趙前進(jìn)

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽 淮南232001）

Thiele型有理插值常被用來(lái)逼近帶極點(diǎn)的函數(shù)，但是它難以避免極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)，也難以控制極點(diǎn)。Berrut，Baltensperger，Klein，Nguyen等對(duì)重心有理插值進(jìn)行了深入的研究［2-15］，張玉武給出了二元重心有理插值的具體形式，插值節(jié)點(diǎn)較多并且是等距節(jié)點(diǎn)時(shí)，逼近效果不是很好。在文獻(xiàn)［1］中，F(xiàn)loater和Hormann通過(guò)在子節(jié)點(diǎn)集上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然后用特定的權(quán)函數(shù)對(duì)這些插值多項(xiàng)式進(jìn)行重心型的混合，構(gòu)造了無(wú)極點(diǎn)高精度的復(fù)合重心有理插值。本文將文獻(xiàn)［1］中的方法推廣到矩形域上的二元復(fù)合重心有理插值。首先在小矩形域上構(gòu)造二元重心有理插值，然后基于特定的權(quán)函數(shù)進(jìn)行重心型的復(fù)合，構(gòu)造二元復(fù)合重心有理插值，并且證明了其插值性質(zhì)。最后，給出的數(shù)值例子說(shuō)明了新方法的逼近效果。

1 二元復(fù)合重心有理插值

設(shè)矩形區(qū)域D＝（a，b）×（c，d），

對(duì)任意整數(shù)d1和d2（0≤d1≤m，0≤d2≤n），對(duì)于每個(gè)i＝0，1，2，…，m-d1，j＝0，1，2，…，n-d2，設(shè)Pij（x，y）為｛（xk，yq）｜k＝i，i＋1，…，i＋d1；q＝j(luò)，j＋1，…，j＋d2｝上的二元重心有理插值，對(duì)重心有理插值復(fù)合，構(gòu)造二元有理函數(shù)

3 數(shù)值例子

圖1 被插值函數(shù)

圖2 m＝n＝10時(shí)的插值函數(shù)

圖3 m＝n＝10的誤差函數(shù)

圖4 m＝n＝20時(shí)的插值函數(shù)

表1 不同方法的最大誤差

例2 取函數(shù)f（x，y）＝e-x2-y2在區(qū)間［-1，1］×［-1，1］，m＝n＝50，d1＝d2＝5，用二元復(fù)合重心有理插值得到的最大絕對(duì)誤差為3．710172249e-04；用二元重心有理插值得到的最大絕對(duì)誤差為0．0054671356。可見(jiàn)新方法的插值效果優(yōu)于（26）式的插值效果。

4 結(jié)論

本文給出矩形域上的二元復(fù)合重心有理插值，首先在每個(gè)小矩形域上構(gòu)造二元重心有理插值，然后復(fù)合重心方法，構(gòu)造出了二元復(fù)合重心有理插值，證明了二元復(fù)合重心有理插值無(wú)極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)，最后給出數(shù)值例子驗(yàn)證了新方法的逼近效果。

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