（2+1）維破裂孤立子方程組的精確解

摘 要：本文針對（2+1）維破裂孤立子方程組，采用指數(shù)函數(shù)法，借助于數(shù)學工具Maple軟件得到了該方程的兩個新的孤立波解。

關鍵詞：（2+1）維破裂孤立子方程組；指數(shù)函數(shù)法；孤立波解

中圖分類號：O175.2

在數(shù)學、物理、工程、化學、生物等許多領域遇到了大量的微分方程[1]，方程解的研究是人們遇到的基本問題，微分方程的求解問題一直是人們關注的熱點問題。在幾十年之前，對非線性方程的求解，還被人們當作個性極強，無從逾越的難題。從60年代以來，面貌有了改觀。1967年，美國的幾位年輕學者Gardner等發(fā)展了反散射方法，求解KdV方程，從而求非線方程精確解成為人們再次關注的焦點?，F(xiàn)在求解的主要方法有幾十種，包括tanh函數(shù)變換法[3]，齊次平衡法[4]，Darboux變換法[5]，反散射方法[6]，Lie群方法[7]，Painleve方法，Hirota（廣田）方法[1]等。本文利用指數(shù)函數(shù)法[2]對2+1維破裂孤立子方程組

ut+αuxxy+4α（uv）x=0

vx=uy （1）

求解，得到一系列孤立波解。

1 方程求解

行波變換為

u（x，y，t）=u（ζ）

v（x，y，t）=v（ζ） （2）

ζ=kx+ly+ct+d

將（2）帶入（1）得

cuζ+αk2luζζζ+4αk（uv）ζ=0

kvζ=luζ （3）

將（3）積分一次可

cu+αk2luζζ+4αkuv=C1

kv=lu-C2 （4）

將（4）整理可得

（c-4αC2）u+4alu2+αk2luζζ-C1=0 （5）

設方程（5）的解能表示成如下形式

（6）

其中ai，bj為未知數(shù)，p，q，r，s為待定的正整數(shù)。通過平衡方程（5）的最階導數(shù)項和最高階非線性項，得到i和j的取值。

（7）

（8）

其中Ci，i=1，…，4為常數(shù)。平衡（7）和（8）的最高次指數(shù)項和最低次指數(shù)項得

2q+2s=q+3s=>q=s

-2p+（-2r）=-（p+3r）=>p=r

因此（6）式可表示為

（9）

為便于求解令p=q=1，則（9）化簡為

（10）

將（10）帶入（5）計算可得

D（D-3e-3ζ+D-2e-2ζ+D-1e-ζ+D0+D1eζ+D2e2ζ+D3e3ζ）=0 （11）

其中，D=（b-1e-ζ+b0+b1eζ）-3

D-3=4la-12αb-1-4C2a-1αb-12+ca-1b-12

D-2=-2k2la-1b-1b0+2k2la0b-12+4la-12αb0+8la-1a0αb-1-8C2a-1αb-1b0-4C2a0αb-12+2ca-1b-1b0+ca0b-12

D-1=2k2la-1b02-4a1αC2b-12-8a0αC2b-1b0-2k2la0b-1b0+4αla-12b1+8k2la1b-12+2a0cb-1b0-4a-1αC2b02+8αla-1a0b0+2a-1cb-1b1-8a-1αC2b-1b1+4αla02b-1+a-1cb02-8k2la-1b1b-1+8αla-1a1b-1+a1cb-12

D0=-4a0αC2b02+2a0cb-1b1+4αla02b0+2a1cb-1b0+6k2la-1b0b1+6k2la1b-1b0-12k2la0b-1b1+a0cb02-8a-1αC2b0b1-8a1αC2b-1b0+2a-1cb0b1-8a1αC2b-1b1-C1+8αla-1a0b1+8αla-1a1b0+8αla0a1b-1

D1=4αla02b1+2a1cb-1b1+a-1cb12-4a-1αC2b12-4a1αC2b02+8αla0a1b0+4αla12b-1+a1cb02+2a0cb0b1-2k2la0b0b1-8k2la1b-1b1-8a1αC2b-1b1+8αla-1a1b1+2k2la1b02+8k2la-1b12-8a0αC2b0b1

D2=2k2la0b12-2k2la1b0b1+8la0a1αb1+4la12b0-4C2a0αb12-8C2a1αb0b1+ ca0b12+2ca1b0b1

D3=4la12b1-4C2a1αb12+ca1b12

要使（11）成立，其系數(shù)Di（i=0，±1，±2，±3）必為0。于是得到一個超定代數(shù)方程組

Di=0，i=-3，…，3 （12）

利用Maple軟件解方程組（12），得到如下結(jié)果：

情形1：當 ，其中k，l，b0，b-1為待定常數(shù)，則

（13）

情形2：當 ，其中k，l，b0，b-1為待定常數(shù)，則

（14）

2 結(jié)束語

本文針對破裂孤立子方程組，借助數(shù)學計算工具Maple和指數(shù)函數(shù)法得到了兩個新的精確解。本文也表明指數(shù)函數(shù)法對于破裂孤立子方程組求解的有效性。

參考文獻：

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[4]X.Q.Liu，S.Jiang.New solutions of the 3+1 dimensional Jimbo-Miwa equation，Appl.Math.Comput，2004.

[5]谷超豪.孤立子理論中的達布變換及其幾何應用[M].上海：上?？萍汲霭嫔纾?999.

[6]Ablowitz M.J.，Clakson P.A.，Solitons，nonlinear evolution equations and inverse scatting Cambridge University Press，1991.

[7]Bluman G.W.，Cole J.D.，Similarity methods for differential equations， Berlin：Springer，1974.

作者簡介：張鵬，四川南充人，教師，助教，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘、科學計算。

作者單位：西南科技大學 理學院，四川綿陽 621010