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    切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

    2014-12-31 00:00:00柳智鑫蘇波寧王文波
    計算機光盤軟件與應用 2014年23期

    摘 要:今年來,切換系統(tǒng)的研究成為了控制領域研究的核心問題之一,得到了越來越多的學者的關注。切換系統(tǒng)涉及到了很多廣泛的領域,如:電子科技領域、通訊領域、交通領域等,對于切換系統(tǒng)的研究變得尤為重要。本文見以切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究現狀,進而研究了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析,為了切換系統(tǒng)的研究與發(fā)展,繼而提供了切換系統(tǒng)的最優(yōu)穩(wěn)定性的設計,以此展開此文的論述。

    關鍵詞:切換系統(tǒng);穩(wěn)定性;分析;設計;研究

    中圖分類號:TP273

    切換系統(tǒng)是混雜動態(tài)系統(tǒng)中的其中一種重要的模型,具有特殊性,混雜動態(tài)系統(tǒng)包括了兩種動態(tài)系統(tǒng),即離散事件動態(tài)系統(tǒng)和連續(xù)或離散時間變量動態(tài)系統(tǒng)。切換系統(tǒng)在混雜動態(tài)系統(tǒng)中是非常重要的其中的模型。

    1 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

    切換系統(tǒng)的正常運行,是基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性能的前提下的,所以,穩(wěn)定性是切換系統(tǒng)的研究的話題。研究為了提高切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性,使切換系統(tǒng)正常運行。由于對于系統(tǒng)內部的復雜的程序與序列進行符號識別與切換,并保證切換得當,方能確保切換系統(tǒng)的穩(wěn)定操作與運行。對于切換系統(tǒng)內的子系統(tǒng)的穩(wěn)定性能如何,若切換得當,切換系統(tǒng)都能穩(wěn)定運行。因此,切換系統(tǒng)中的切換是否得當,關系到切換系統(tǒng)能否穩(wěn)定運行。以下通過介紹公共Lyapunov函數與多Lyapunov函數是如何控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。

    1.1 公共Lyapunov函數

    為了研究切換系統(tǒng)在任意的切換信號下都能保持穩(wěn)定性,其中達到該目的需要有什么條件,在公共Lyapunov函數的系統(tǒng)中對于任意的切換信號下切換系統(tǒng)保持著相對穩(wěn)定地狀態(tài),因此,公共Lyapunov函數可以解決在任意切換信號下控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的問題。對于公共Lyapunov函數的假設,我們可以認為:切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)都存在公共Lyapunov函數,切換系統(tǒng)在任意切換信號下,都能保持切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

    對于公共Lyapunov函數,如果Lyapunov函數V(x)>0,那么有:

    上式則是公共Lyapunov函數,由以上的式子可以看出,當V(x)>0時,系統(tǒng)能夠達到趨于穩(wěn)定狀態(tài),但是,如果V(x)沒有這一局限性,則系統(tǒng)的穩(wěn)定性是全局性的,不能很好地保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

    在一組穩(wěn)定地矩陣Ai(i∈Q),則存在一個正定矩陣P>0,有:

    該式稱為公共二次Lyapunov函數。

    對于切換系統(tǒng)中的公共Lyapunov函數若符合以下兩個條件:若線性切換系統(tǒng)Lie代數 可解,全部指數穩(wěn)定,則存在二次型公共Lyapunov函數;若非線性切換系統(tǒng),當且僅當 ,系統(tǒng)趨向穩(wěn)定,不分指數穩(wěn)定,則存在公共Lyapunov函數。

    1.2 多Lyapunov函數

    由于公共Lyapunov函數需要滿足的條件非常多且復雜,具有一定的局限性,且許多的切換系統(tǒng)中并不存在公共Lyapunov函數,因此,也就研制出了多Lyapunov函數,該函數是可以根據需要設置出適當的切換信號,使得切換系統(tǒng)穩(wěn)定運行,相對于公共Lyapunov函數的局限性較少,具有更廣泛地應用。對于多Lyapunov函數,其構思是,先定義一組類Lyapunov函數,然后對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判定。

    1.3 基于逗留時間的穩(wěn)定性

    長逗留時間穩(wěn)定性,是指切換系統(tǒng)在各個子系統(tǒng)中進行的序列切換時間足夠長,足以抵消且超過切換過程導致的系統(tǒng)總能量的增長趨勢,這樣,就能使得切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定運行的狀態(tài)。該長逗留時間穩(wěn)定性的方法,是保證了切換系統(tǒng)在對序列的切換過程中的切換是否得當的過程,與上述的兩種公共Lyapunov函數和多Lyapunov函數不同。

    最簡單的長逗留時間穩(wěn)定性的方法是,在切換系統(tǒng)的切換過程中,引入一個正常數x>0,并且進行相應的假設,相鄰的兩個切換過程所用的時間差大于等于x的切換信號,也就是切換系統(tǒng)每次在各自的子系統(tǒng)中的切換過程所逗留的時間不小于x。

    如果各子系統(tǒng)都趨于穩(wěn)定,切換系統(tǒng)的切換信號在子系統(tǒng)中的序列切換逗留足夠長的時間,x足夠大,那么就能夠保證切換系統(tǒng)的所有指數穩(wěn)定。

    2 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

    由于時滯效應廣泛存在于各種類型的系統(tǒng)中,如網絡系統(tǒng)、電子通訊系統(tǒng)、氣壓系統(tǒng)等都存在著時滯效應,因此切換系統(tǒng)內部同樣也存在著時滯效應。時滯效應往往會導致切換系統(tǒng)不能穩(wěn)定運行、切換系統(tǒng)運行過程中劇烈震蕩等不良的情形。以下簡要分析時滯切換系統(tǒng)的兩種不同形式,即一類狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析和一類多時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析。

    2.1 一類狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

    對于一類時滯切換非線性系統(tǒng),有如下函數關系式:

    以上兩個式子中的g、m是關于t的分段連續(xù)函數,其中β:[0,∞)→{1,2……,N}為切換信號。為了保證上式滿足普遍性,通常是設為右連續(xù)。{1,2……,N}表示子系統(tǒng)順序對應的序號集合,N表示子系統(tǒng)的總數目,以β=i,i∈{1,2,……,N}。

    另外,連續(xù)函數中的α:[0,a)→[0,∞)需要以遞增的形式,并且需要滿足α(0)=0,則有α∈K函數。相反,如果a=∞,且r→∞,則α(r)→∞,則α∈k函數。

    對于連續(xù)函數β:[0,a)×[0,∞)→[0,∞),則有,對于任意一個固定的s,都會有一個相應的β(r,s)是關于r的K函數,且對于每個一定的r,則都會有相應的β(r,s)關于s的遞減函數。當s→∞,則有β(r,s)→0,β屬于KL函數。

    在基于長逗留時間的輸入狀態(tài)-穩(wěn)定性的分析中,首先需要考慮的是當切換系統(tǒng)中的子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的,則會有gi(t,x)、mi(t,x)關于t的分段連續(xù)函數。當αi>0、βi>0、θi>0,則

    滿足以上條件,則切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定。以該式子來推算出的最后切換非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的結論,主要是通過限制了自治切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)是指數穩(wěn)定,并且能夠使得切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)都處于輸入-狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)。

    2.2 一類多時滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

    對于一類多狀態(tài)時滯仿射切換非線性系統(tǒng),有如下式子出現:

    上式中的g1、m1是關于t的分段連續(xù)函數。β:[0,∞)→{1,2……,N}為切換信號,是一個時間的變量分段的常數值的函數。為了保證上式滿足普遍性,通常是設為右連續(xù)。{1,2……,N}表示子系統(tǒng)順序對應的序號集合,N表示子系統(tǒng)的總數目,以β=i,i∈{1,2,……,N}。

    對于以上的多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)的式子,當系統(tǒng)內輸入u1(t)=0時,則可以得到多狀態(tài)的時滯自治切換系統(tǒng),如下:

    在上式中, 是一個狀態(tài)的向量,其余的所有數學字符表示的含義與多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)中的字符表示的含義相同。假設在上式中,為一個多狀態(tài)時滯的自治切換系統(tǒng),取N=1時,就可以得到普通的多狀態(tài)時滯自治系統(tǒng)。當切換系統(tǒng)內的各個子系統(tǒng)進行心寒的轉化時, 仍然是連續(xù)性的。

    當多狀態(tài)時滯的自治切換系統(tǒng)內的所有子系統(tǒng)均為穩(wěn)定的,則會有g1、m1是關于t的分段連續(xù)函數。β:[0,∞)→{1,2……,N}為切換信號,u1(t)表示的是控制輸入信號,該函數是一個關于t的連續(xù)有界函數,且需要滿足條件||u1(t)||<=sup||u1(t)||。r1(t,x)是有界函數,該有界函數的絕對值需要小于等于r2,。在子系統(tǒng)內,存在有函數 ,αi>0、βi>0、θi>0,則會推出以下式子

    則會得出多狀態(tài)時滯切換系統(tǒng)中的輸入-狀態(tài)是穩(wěn)定的,其中可以算得平均逗留時間為

    3 結束語

    研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性,已成為現今時代的熱門話題之一,為了今后的切換系統(tǒng)能夠快速的更新換代,為以后的通訊領域、網絡領域、交通領域等各個領域界的發(fā)展貢獻。

    參考文獻:

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    [5]姚振賢.時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制[J].天津大學,2011(06):173-174.

    作者簡介:柳智鑫(1982.09-),女,內蒙古赤峰人,碩士研究生,講師,研究方向:電氣自動化;蘇波寧(1981.04-),男,內蒙古烏蘭察布人,碩士研究生,研究方向:物聯網技術

    作者單位:內蒙古電子信息職業(yè)技術學院,呼和浩特 010070;內蒙古京泰發(fā)電有限責任公司,內蒙古鄂爾多斯 010300

    基金項目:2013內蒙古自治區(qū)高等學院科學技術研究項目(項目編號:NJZC13349)。

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