高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題常見錯解簡析
2014-12-31 00:00:00李軍
學(xué)園 2014年9期
數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的重點、難點，也是歷屆高考必考的內(nèi)容。數(shù)列問題中常見的錯解有以下幾類：
一 忽略了項數(shù)n的限定條件致錯
例題：已知數(shù)列{an}的前n項和sn=2n2-3n+1，求an的通項公式。
錯解：當(dāng)n=1時，a1=s1=0；
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n+1）-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5。
∴an=4 n-5。
錯解分析：由an=Sn-Sn-1求得an是n從2開始的自然數(shù)，必須驗證n=1時是否也成立，否則通項公式只能用
來表示。
正解：當(dāng)n=1時，a1=s1=0。
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n+1）-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5。
由于n=1時a1不適合上式，因此 。
二 對等差數(shù)列前n項和公式理解不透徹致錯
例題：已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為
An和Bn，且 ，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)n的個
數(shù)是（ ）。
A.3 B.4 C.5 D.6
錯解：由題意設(shè)An=（7n+45）k，Bn=（n+3）k，則
，得不到選項亂選一個或放棄。
錯解分析：錯解錯在對等差數(shù)列前n項和公式?jīng)]有理解透徹。錯解中令A(yù)n=（7n+45）k，即將等差數(shù)列前n項和看成n的一次函數(shù)，顯然是錯誤的。
正解：方法一：由題意設(shè)An=（7n+45）nk，Bn=（n+3）nk。
則an=An-An-1=14nk+38k，bn=Bn-Bn-1=2nk+2k。
要使 為整數(shù)，則正整數(shù)n=1，2，
3，5，11，故選C。
方法二：
。
故n=1，2，3，5，11，故選C。
三 在應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時忽略q=1致錯
例題：在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列，則am，am+2，am+1成等差數(shù)列。（1）寫出這個命題的逆命題。（2）判斷逆命題是否為真。
錯解：（1）逆命題：在等比數(shù)列中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數(shù)列，則Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列。
（2）逆命題為真。證明如下：設(shè){an}首項為a1，公比為q，由（1）得2am+2=am+am+1。
∴2a1q m+1=a1q m-1+a1q m
∵a1≠0，q≠0。∴2q2-q-1=0，∴q= 或q=1（舍）。
又
∴Sm+Sm+1=2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列。
∴逆命題為真。
錯解分析：錯解錯誤在于求出 或q=1后，為了
保證能使用公式 ，而舍掉q=1。
正解：（1）逆命題：在等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數(shù)列，則Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列。
（2）設(shè){an}的首項為a1，公比為q。
由（1）得2am+2=am+am+1，∴2a1q m+1=a1q m-1+a1q m。
∵a1≠0，q≠0?！?q2-q-1=0，∴q= 或q=1。
當(dāng)q=1時，∵Sm=ma1，Sm+2=（m+2）a1，Sm+1=（m+1）a1。
∴Sm+Sm+1≠2Sm+2?！郤m，Sm+2，Sm+1不成等差數(shù)列。
當(dāng) 時， 。
∴Sm+Sm+1=2Sm+2?！郤m，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列。
綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假，當(dāng)公比q≠1時，逆命題為真。
四 忽視了通項an是關(guān)于項數(shù)n的分段函數(shù)致錯
例題：已知數(shù)列{an}滿足 ，試求其前n
項和。
錯解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a3+a5+…+
an-1）+（a2+a4+a6+…+an）
。
錯解分析：這里數(shù)列的通項an是關(guān)于n的分段函數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)或為偶數(shù)時對應(yīng)不同的法則，因此求和必須對項數(shù)n進(jìn)行分段討論。
正解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=（a1+a3+a5+…+an）+
（a2+a4+a6+…+an-1）
。
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=（a1+a3+a5+…+an-1）+
（a2+a4+a6+…+an）
。
五 忽略n的取值范圍致錯
例題：已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，an=n2+λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍。
錯解：因an=n2+λn=（n+ ）2- ，由題意，{an}
是遞增數(shù)列，所以an=n2+λn在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因
此可得 ≤1，λ≥-2，即所求λ的取值范圍。
錯解分析：錯解原因是忽略了n的取值范圍，在本題中，n∈N*，錯解中擴(kuò)大到了n∈[1，+∞），需要注意的是，數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動態(tài)的函數(shù)的觀點研究數(shù)列，但必須時刻注意其特殊性，即定義域為n∈N*。
正解：由于{an}是遞增數(shù)列，因此有an
又因為-（2n+1）max=-3，因此λ>-3，即為所求實數(shù)λ的取值范圍。
六 對極限運(yùn)算法則掌握理解不到位致錯
例題：求極限 。
錯解：原式 。
錯解分析：本題錯解在于對極限運(yùn)算法則掌握理解不到位，運(yùn)算法則成立的條件是：（1）必須對有限項的和，差，積，商求極限；（2）每個數(shù)列的極限都存在。在本題中，當(dāng)
n→∞時， 是無限項的積。
正解：原式
。
〔責(zé)任編輯：高照〕
