彈性材料層表面失穩(wěn)的解析解

孟吉祥， 吳枝根

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

完全粘接的柔性基底和較硬材料表層在側(cè)面受到壓力作用時，容易在較硬材料層的表面引起失穩(wěn)，便可形成皺紋或皺折［1－2］。一方面，表面失穩(wěn)起皺可能引起彈性層在剛性支撐面上產(chǎn)生剝離［3－4］甚至斷裂［5］，導(dǎo)致相 關(guān)器件 不能正 常工作。另一方面，失穩(wěn)起皺的模式可以用于測量彈性層的幾何和物理參數(shù)［6－7］、調(diào)節(jié)相位光柵［8］、制備光學(xué)傳感器［9］以及柔性電子產(chǎn)品［10］等。此外，研究彈性層表面的失穩(wěn)對探討地質(zhì)構(gòu)造的褶皺、地殼的屈曲和史前的造山運動也有一定的理論意義［11］。

彈性層表面穩(wěn)定性問題近年來引起了大量力學(xué)工作者的關(guān)注。通過對受壓橡膠體表面失穩(wěn)的線性擾動分析，文獻［12］提出了超彈性半空間體表面失穩(wěn)的臨界壓應(yīng)變與材料彈性常數(shù)無關(guān)，并預(yù)測了均質(zhì)彈性層表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變，但這個結(jié)果后來經(jīng)實驗被認(rèn)為是偏高的［13］。對于剛性基底上不同硬度的雙層結(jié)構(gòu)凝膠層，若表面層較軟，其表面失穩(wěn)的臨界條件由表面層的材料參數(shù)決定；但表面層較硬時，失穩(wěn)的臨界條件要遠(yuǎn)低于表面層較軟的情況［14］。文獻［15］利用形變勢能的二階變分得到了梯度材料層中關(guān)于增量位移的平衡微分方程，給出了雙層結(jié)構(gòu)彈性層和梯度材料彈性層表面失穩(wěn)臨界條件的有限元數(shù)值解。

由于梯度材料層中關(guān)于增量位移的平衡微分方程很難得到解析解［15］，本文將其退化為均質(zhì)材料層的平衡微分方程，并對其進行求解；通過解析法分析均質(zhì)材料彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件，以及均質(zhì)層表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變和材料參數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，本文又對雙層結(jié)構(gòu)的彈性層模型進行分析，給出了雙層結(jié)構(gòu)彈性層表層與里層的厚度比、彈性模量比與臨界應(yīng)變和臨界波長的關(guān)系。

1 單一均質(zhì)彈性層表面失穩(wěn)分析

圖1所示為厚度為h的彈性材料層，上表面為自由面，下表面與剛性平面完全粘接，坐標(biāo)軸x1位于彈性層的自由面，x2沿彈性層的厚度方向。材料的本構(gòu)關(guān)系為：

其中，σij為應(yīng)力張量；εkl為應(yīng)變張量。彈性張量Cijkl滿足對稱關(guān)系：

圖1 彈性材料層模型

在平面應(yīng)變狀態(tài)下，彈性層兩側(cè)受平行于x1方向的壓力作用。當(dāng)兩側(cè)壓力增加到某一臨界值時，彈性層將由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)槭Х€(wěn)狀態(tài)，并隨著變形的增加在表面形成皺紋或皺折。將側(cè)向壓力作用下表面穩(wěn)定時的應(yīng)力狀態(tài)作為基礎(chǔ)應(yīng)力狀態(tài)，對應(yīng)的應(yīng)力分量記為，則應(yīng)力分量滿足平衡微分方程：

應(yīng)力邊界條件為：

假設(shè)彈性層材料均勻且各向同性，則彈性參數(shù)與拉梅常數(shù)λ和μ的關(guān)系為：

為了確定彈性層在側(cè)向壓力作用下的表面失穩(wěn)的臨界條件，通過對彈性層在基礎(chǔ)應(yīng)力狀態(tài)下形變勢能的二階變分等于0，可以得到平衡方程［15］：

其中，Δui表示xi方向的增量位移；Δui，kl表示Δui連續(xù)對xk和xl求偏導(dǎo)；表示臨界應(yīng)力。應(yīng)力邊界條件為：

設(shè)增量位移的特征模式［14－15］為：

將（6）式代入（4）式、（5）式可得：

位移邊界條件為：

解微分方程（7）式可得：

其中，A1、A2、A3、A4為待定常數(shù)。

將（10）式代入邊界條件（8）式、（9）式，得到關(guān)于待定常數(shù)的4個線性齊次方程，矩陣形式為：

其中，待定常數(shù)矩陣A＝［A1A2A3A4］T；系數(shù)矩陣為：

彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件是（12）式有非零解，因而系數(shù)矩陣（13）式的行列式必為0，即

由（14）式可見，臨界應(yīng)力與波數(shù)ωh、拉梅常數(shù)μ和λ都相關(guān)。如果考慮：

其中，E、ν分別為材料的彈性模量和泊松比。由（11）式可得p、q與E無關(guān)，由（13）式可得方程（14）與E也無關(guān)。因此（14）式可簡化為：

可見，臨界應(yīng)變只和材料的泊松比有關(guān)，而與彈性模量無關(guān)。由圖2所示的臨界應(yīng)變與波數(shù)的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)，臨界應(yīng)變隨著波數(shù)的增加而減小，當(dāng)波數(shù)約大于12時，臨界應(yīng)變基本保持不變，說明均勻彈性層的表面失穩(wěn)形式是波長不確定的短波模式；隨著泊松比的增加，臨界應(yīng)變卻在減小。本文得到的彈性材料的臨界應(yīng)變明顯低于橡膠材料預(yù)測的臨界應(yīng)變［12－13，16］。

圖2 臨界應(yīng)變與干擾波數(shù)ωh的關(guān)系

2 雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)分析

考慮彈性層為2層完全粘接的均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)，其中表層的厚度為hf，里層的厚度為hs，即表層和里層分別位于0≤x2≤hf和hf＜x2≤h。對于每一層，增量位移的特征模式仍然可設(shè)為：

其中，k＝1表示表層，k＝2表示里層。微分方程中的（10）式在雙層材料中形式為：

其中

對于雙層結(jié)構(gòu)彈性層，除了要滿足邊界條件（8）式、（9）式，表層和里層的界面還應(yīng)滿足連續(xù)條件：

雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件為：

由（24）式可見，雙層結(jié)構(gòu)彈性層的臨界應(yīng)變不僅與各層的拉梅常數(shù)有關(guān)，還與層厚比有關(guān)。

3 算例分析與比較

圖3 臨界應(yīng)變與正則化的干擾波數(shù)ωhf的關(guān)系

圖4 臨界應(yīng)變、臨界波長2π／（ω＊hf）與厚度比hs／hf的關(guān)系

由圖4可知，本文得到的理論解與文獻［1］的結(jié)果吻合得很好，驗證了本文理論解的正確性。

4 結(jié)束語

通過求解均質(zhì)彈性層增量位移表示的平衡微分方程，利用邊界條件和界面連續(xù)條件，得出了均質(zhì)層和雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)臨界條件的解析解。對均質(zhì)彈性層的分析結(jié)果表明，臨界應(yīng)變只與材料的泊松比有關(guān)，而與彈性模量無關(guān)，失穩(wěn)形式為波長不確定的短波模式。對于雙層結(jié)構(gòu)的彈性層，臨界應(yīng)變隨著表層和里層的彈性模量比的增加而減少，而臨界波長在增大；當(dāng)里層和表層的厚度比增加時，臨界應(yīng)變在減小，而臨界波長在增大，失穩(wěn)形式為長波模式。

［1］ Huang Z Y，Hong W，Suo Z.Nonlinear analyses of wrinkles in a film bonded to a compliant substrate［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53（9）：2101－2118.

［2］ Cao Y P，Hutchinson J W.Wrinkling phenomena in neo－Hookean film／substrate bilayers ［J］.Journal of Applied Mechanics，2012，79（3）：031019.

［3］ Mei H，Huang R，Chung J Y，et al.Buckling modes of elastic thin films on elastic substrates［J］.Applied Physics Letters，2007，90（15）：151902.

［4］ Hutchinson J W，Thouless M D，Liniger E G.Growth and configurational stability of circular，buckling－driven film delaminations［J］.Acta Metallurgica et Materialia，1992，40（2）：295－308.

［5］ Yin H，Huang R，Hobart K D，et al.Buckling suppression of SiGe islands on compliant substrates［J］.Journal of Applied Physics，2003，94（10）：6875－6888.

［6］ Cerda E，Mahadevan L.Geometry and physics of wrinkling［J］.Physical Review Letters，2003，90（7）：074302

［7］ Chung J Y，Nolte A J，Stafford C M.Surface wrinkling：a versatile platform for measuring thin－film properties ［J］.Advanced Materials，2011，23（3）：349－368.

［8］ Harrison C，Stafford C M，Zhang W，et al.Sinusoidal phase grating created by a tunably buckled surface［J］.Applied Physics Letters，2004，85（18）：4016－4018.

［9］ Bowden N，Brittain S，Evans A G，et al.Spontaneous formation of ordered structures in thin film of metals supported on an elastomeric polymer［J］.Letters to Nature，1998，393：146－149.

［10］ Lacour S P，Wagner S，Huang Z，et al.Stretchable gold conductors on elastomeric substrates［J］.Applied Physics Letter，2003，82（15）：2404－2406.

［11］ Brunelle E J.Surface instability due to initial compressive stress［J］.Bulletin of the Seismological Society of America，1973，63（6）：1885－1893.

［12］ Biot M A.Surface instability of rubber in compression［J］.Journal of Applied Sciences Research A，1963，12（2）：168－182.

［13］ Gent A N，Cho I S.Surface instabilities in compressed or bent rubber blocks［J］.Rubber Chemistry and Technology，1999，72（2）：253－262.

［14］ Wu Z，Bouklas N，Huang R.Swell－induced surface instability of hydrogel layers with material properties varying in thickness direction［J］.International Journal of Solids and Structures，2013，50（3／4）：578－587.

［15］ Lee D，Triantafyllidis N，Barber J R，et al.Surface instability of an elastic half space with material properties varying with depth［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2008，56（3）：858－868.

［16］ Hong W，Zhao X，Suo Z.Formation of creases on the surfaces of elastomers and gels［J］.Applied Physics Letters，2009，95（11）：111901.